标量衍射理论角谱及其传播

1、标量衍射理论角谱及其传播第1页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四快速抢答！（续）平面波的复振幅（三维空间）：线性位相因子常量振幅平面波的复振幅 (在与原点相距为 z 的平面上):第2页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四光波的数学描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向.反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方

2、向cosa =l fx , cosb =lfy 要与光的时间频率严格区分开空间是有形的, 比时间更具体,更直观.在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维F.T.在光学上的意义:第3页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四光波的数学描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 :三个空间频率不能相互独立： 因此 在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解

3、决了最基础的平面波衍射问题 第4页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播 1、复振幅分布的角谱Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数expj2p(fxx+fyy) 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 称为x-y平面上复振幅分布的频谱 对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 物理上, expj2p(fxx+fyy) 代表传播方向余弦为cosa=lfx, cosb=lfy 的单

4、色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定. 其逆变换为：第5页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱根据可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不同传播方向(a,b)的单色平面波的振幅(|A|)和初位相(argA)角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示第6页，共25页，2022年，5月20日，5点1

5、7分，星期四复振幅分布的角谱： 例在x-y平面上, 光场复振幅分布为余弦型:可以分解为:U(x,y)的空间频谱函数:U(x,y)的空间角谱函数:第7页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四复振幅分布的角谱练习: P47, 2.2第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y):第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)第四步: 求出U(x,y,0)的频谱A(fx, fy,0

6、)第五步: 利用 将 A(fx, fy, 0)改写成角谱作业： P47: 2.1, 2.3第8页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四z2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播2、平面波角谱的传播Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum 光场分布U0(x,y,0)光场分布U (x,y,z)孔径平面（ z =0）P(x,y,0)观察平面（ z =z）P(x,y,z)U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？传播的问题先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和A(fx, fy,z)之间的关系角谱的传播角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y

7、)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位相取决于相应的角谱第9页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2、平面波角谱的传播角谱是传播距离 z 的函数在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :传播距离z后到达z=z平面, 光场变化为U(x,y,z), A是空间频率(角度)的函数, 同时是z的函数. 传播的效应体现为角谱由 变化为 .第10页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2、平面波角谱的传播思路: 找出并求解

8、A满足的对z的微分方程,从而得到角谱随 z 变化的函数关系对任何 x,y,z 均应成立, 故代入亥姆霍兹方程 (2+k2)U(x,y,z)=0, 并交换积分和微分的顺序将U(x,y,z)的表达式 第11页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2、平面波角谱的传播角谱沿 z 传播遵循的规律方向余弦 cos2a + cos2b 1: 代表倏逝波初始条件: z = 0 时, A = (孔径平面). 微分方程的解为: 第12页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统 表征系统频谱特性的传递函数 ：系统的传递函数:系统的输出系统

9、的输入第13页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统 1/lfxfy0系统的传递函数:把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径为1/l的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于1/l的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。第14页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的

10、作用Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum孔径的复振幅透过率：t (x0,y0) = 1 在 内0 其它光场通过衍射屏后的变化：Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) 角谱的变化：At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) F.T.由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。第15页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用Ui (x0,y0)Ut(

11、x0,y0)例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化At (fx,fy) = d (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。 Ai (fx,fy)= d (fx,fy)Ui (x0,y0) = 1 T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b) 第16页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四(2)衍射理论要解决的问题是

12、：光场中任意一点为P 的复振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。 2-3 标量衍射的角谱理论 几何阴影区平面波入射衍射现象第17页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-3 标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式 1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不能定量计算.衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复振幅

13、U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。 第18页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-3 标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉,并且应当考虑不同方向子波的差异. 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果. 其数学表述为:常数幅相因子倾斜因子球面子波表达式源点光扰动U(P0)ds: 球面子波的振幅相干叠加观察点(场点)复振幅 球面子波源第19页，共25页，2022年，5月20日，5点

14、17分，星期四2-3 标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式原波阵面源点处的面元法线场点源点到场点的距离所考虑的传播方向与面元法线的夹角源点成功: 可计算简单孔径的衍射图样强度分布.局限:难以确定K(q ).无法引入-p /2的相移第20页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四惠-菲原理基尔霍夫衍射公式基尔霍夫边界条件2-3 标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下:P0nPPrr常数幅相因子 1/jl 自动出现，K(q)函数形式确定第21页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-3

15、 标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射.在傍轴近似下基尔霍夫衍射公式第22页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-3 标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射公式略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z 的二次以上的项, 则在振幅部分取r的一级近似, 位相因子用r的二级近似,代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。第23页，共25页，2022年，5月20日，5点17分，星期四2-3 标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：注意fx=cosa /l,