概率论基础知识

1、概率论基础知识第1页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四主要内容第一章：随机事件与概率第二章:随机变量及其概率分布第三章:多维随机变量及其概率分布第四章:随机变量的数字特征 第五章:大数定律及中心极限定理第六章：统计量及其抽样分布第七章：参数估计第八章：假设检验第九章：回归分析第2页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四第一章 随机事件与概率1.1 随机事件1.2概率1.3条件概率1.4事件的独立性自测题一返回第3页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.1 随机事件一、随机现象二、随机试验和随机事件三、样本空间四、事件的关系与运

2、算例子（事件的关系和运算）练习题第4页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四一、随机现象1. 确定性现象: 例如，向上抛一颗石子必然下落；同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下60度的水必定不会沸腾，等 等。2. 随机现象: 例如，抛一枚硬币结果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一门炮向同一目标射击的弹着点不尽相同，等等。这类现象有一个共同特点：即在个别试验中其结果呈现出不确定性,而在大量重复试验中其结果又具有某种规律性统计规律性.3. 概率论与数理统计具有广泛的应用。 返回第5页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四二、随机试验和随机事件 随机试验(

3、三个特征):(1)可以在相同的条件下重复地进行; (2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确所有可能的结果; (3)进行一次试验之前不能确定会出现哪个结果。随机试验的每个可能发生的结果称为随机事件.简称为事件.事件通常用英文字母A，B，C或A1,A2表示，记成如下形式：A=可能发生的结果.例子第6页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四随机事件例子例1：已知一批产品共30件，内含正品26件，次品4件，从中一次取出5件的试验.则Ai=恰有i件次品, (i =0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品；C=正品不超过2件等都是随机事件，他们在一次试验中可能发生也可能不发生.

4、例2：掷一粒骰子，观察它出现的点数。可能的结果为： A= 1, 2, 3, 4, 5, 6。 返回第7页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四三、样本空间 一般地，在随机试验中，把不可分割的事件称为基本事件；由两个及两个以上基本事件组合而成的事件称为复合事件. 对于随机试验的每一个基本事件，我们可以用只含一个元素的单元素 表示，其中 与 表示的基本事件一一对应.和所有基本事件相对应的元素的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，通常记作 ，样本空间中的元素称为样本点.返回第8页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四四、 事件的关系与运算1.包含关系和相等

5、关系: 若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,记作AB。 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等BA第9页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2事件的并由属于A或者属于B的所有样本点组成的集合，称为A与B的并（或者和），记作 或者A+B.显然事件表示“事件A与B事件至少有一个发生”这一事件.AB第10页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3事件的交由属于同时A又属于B的所有样本点组成的集合，称为A与B的交（或者积），记作 或者 .显然事件 表示“事件A与事件B同时发生”这一事件.AB第11页，共189页，2022年，5月20

6、日，23点28分，星期四4事件的差由属于A但不属于B的所有样本点组成的集合，称为A与B的差，记作 .事件 表示“事件A发生而事件B不发生”这一事件. AB第12页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四5对立事件样本空间 与A的差 称为事件A的对立事件（或者逆事件），记作 ，事件 表示“事件A不发生”. 对立事件A和 间的关系可以表示为：.A第13页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四6互不相容事件如果在同一试验中，事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互不相容.记作 .基本事件是互不相容的.AB补充点第14页，共189页，2022年，5月20

7、日，23点28分，星期四补充点事件的并、交和互不相容事件可推广到n个事件间的关系.现就互不相容事件叙述如下：在一次事件中，如果n个事件 两两互不相容，则称 是互不相容的事件组.如果互不相容的事件组 满足 ，则称事件组 为一个划分.第15页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四可以验证集合的运算率均适用于事件的运算，即事件的运算满足下列关系式：（1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： （4）德莫根(Demorgan)公式： 其中分配律和德莫根公式可以推广到有限多个 事件的情形.返回第16页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四例子1例 一个货箱中装有

8、12只同类型的产品，其中3只是一等品，9只是二等品，从其中随机地抽取两次，每次任取一只， 表示第i次抽取的是一等品，试用 表示下列事件：B=两只都是一等品C=两只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取的是一等品解题过程第17页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四解题过程解 ：由题意， 第i次抽取的是一等品，故 第i次抽取的是二等品例子2第18页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四例 从1，2，3，4，5，6六个数字中任取一个数，A=取得的数为4的约数，B=取得的数为偶数，C=取得的数不小于5.试用集合表示下列事件：(1)(2)事件“A

9、发生，C不发生”；事件“B,C至少有一个发生”的逆事件 解题过程例子2第19页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四解题过程解 设i表示基本事件取得的数为i所对应的样本点，则样本空间 (1)(2)返回第20页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四练习题1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？（1）某商店有男店员2人，女店员8人，任意抽调3人去做其他的工作，那么A=3个都是女店员,B=3个都是男店员，C=至少有1个男店员，D=至少有1个女店员(2) 一批产品中只有2件次品，现从中任取3件，则A=三件都是次品，B=至少1件正品，C=至多1件正品，

10、D=恰有2件次品和1件正品练习题2第21页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四练习题22。一个工人加工了4个零件，设 表示第 i个零件是合格品，试用 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）只有一个零件是不合格品.3。A,B,C为一次试验中的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：（1）A发生，B,C不发生； (2)A,B中至少有一个发生； (3)A,B,C至少有一个不发生；(4)A,B,C至多有一个发生.返回第22页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.2 概 率一、概率的定义1.概率的统计定义2.概率的古

11、典定义3.概率的定义与简单计算二、概率的运算公式 加法公式第23页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四一、概率的定义1.概率的统计定义在相同的条件下进行n次重复试验，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数；m与n的比值称为事件A发生的频率，记作 引例一第24页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四一般地，当试验次数n增大时，事件A发生的频率 总是稳定在某个常数p附近，这时就把p称为事件A发生的概率，简称事件A的概率，记作 上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确定的，故这个定义称为概率的统计定义.根据这个定义，通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地

12、作为它的概率，这是求一个事件的概率的常用基本方法. 引例二返回第25页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.概率的古典定义考虑下面两个随机试验：E1：投掷一颗均匀的骰子，观察其出现的点数，基本事件有6个，由骰子的“均匀性”可知，每一个基本事件发生的可能性相等.E2：一批产品有N个，要随机抽取一个，检测其等级，则N个产品被抽取的机会是相同的，每一次检测的结果就是一个基本事件，故N个基本事件出现的可能性相等.第26页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四这两个试验都具有以下特点：(1)只有有限个基本事件(2)每个基本事件在一次试验中发生的可能性相同.这类

13、随机试验称为等可能概型，由于这种概型在概率论发展初期是主要研究对象，所以也称为古典概型.在古典概型中，若基本事件的总数为n，事件包含的基本事件数为m，则事件的概率定义为 ，这个定义称为概率的古典定义.返回第27页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3概率的定义与简单计算与随机试验相联系的数量指标 ，都具有下列共同的属性：(1)(2)(3) 为互不相容事件，则 在数学上，刻划随机试验中事件A的 发生 的可能性大小的数值，如果满足上述三条性质，就称为事件的概率.第28页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四由上述三条基本性质还可以推出： 引例三返回第29页

14、，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四二、概率的运算公式加法公式由概率的性质知道，若事件A和B互不相容，即 则 AB第30页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四事件 时，上式就不成立了. AB而有该公式称为概率的加法公式第31页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四加法公式可推广到有限个事件至少有一个发生的情形，如三个事件 的并的加法公式为：引例四返回第32页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.3条件概率一、条件概率与乘法公式1.条件概率2.乘法公式二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式1.全概率公式2

15、.贝叶斯公式 补充点练习题返回第33页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四一、条件概率与乘法公式一般地，把“在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率”称为条件概率，记作，读作“在条件B下，事件A的概率”.同理AB1.条件概率引例五返回第34页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.乘法公式由条件概率的一般公式,得 上述公式称为概率的乘法公式.第35页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四概率的乘法公式可推广到有限个事件交的情形.设有n个事件 满足 则 当n=3时引例七返回第36页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，

16、星期四二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式1.全概率公式设 是联系于一随机试验的完备事件组.任一事件 可表示成 第37页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四由前面已学公式得该公式称为全概率公式引例八返回第38页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.贝叶斯(Bayes)公式设 是样本空间的一个完备事件组,A是任一事件,且 ,则该公式称为贝叶斯公式.在使用该公式时往往先利用全概率公式求出引例九返回第39页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四补充点对于全概率公式和贝叶斯公式.可以直观地进行如下理解:把事件A看成“结果”,把 看

17、成导致这一结果的“原因”,把全概率公式看成为“由原因推结果”,把贝叶斯公式看成“由结果找原因”。两者正好相反.返回第40页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.4事件的独立性1.事件的独立性 引例十 练习题2.N重贝努利试验 引例十一 练习题返回第41页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.事件的独立性一般地，设事件A,B是一随机试验的两个事件,且 ，若 ，则称事件B对事件A是独立的，否则称为不独立的.结论第42页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四结论由定义可推出下列结论：(1)若事件A独立于事件B，则事件B也独立于事件A

18、,即两事件的独立性是相互的.(2)若事件A与事件B相互独立，则三对事件 与 ，A 与 ， 与 B也都是相互独立的.(3)事件A与B相互独立的充要条件是，两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率与另一事件是否发生互不影响.推广第43页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四推广事件的独立性可推广到有限个事件的情形:若事件组 中的任意k 个事件交的概率等于它们的概率积，则称事件组 是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其他事件发生与否的影响.例如:三个事件A,B,C若满足等式 则称事件A,B,C是相互独立的 注意点第44页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星

19、期四注意点事件组相互独立，其中任意两事件相互独立；反之却不一定正确.在实际问题中，两事件是否独立，并不总是用定义或充要条件来检验的，而可以根据具体情况来分析、判断.只要事件之间没有明显的联系，我们就可以认为它们是相互独立的.返回第45页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.N重贝努利试验如果随机试验只出现两种结果 ,则称其为伯努里试验 .在相同的条件下,对同一试验重复进行n次,如果每次试验的结果互不影响,则称这n次重复试验为n次独立试验.n次独立的伯努里试验称为n重伯努里试验.对于n重贝努利试验,我们最关心的是在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率定理第46页，

20、共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定理在n重贝努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p( ) ,则事件A恰好发生k次的概率若记则 ,由于 恰好是展开式的k+1项,所以称此公式为二项概率公式返回第47页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四第二章:随机变量及其概率分布2.1离散型随机变量2.2随机变量的分布函数2.3连续型随机变量及其概率密度2.4随机变量函数的概率分布自测题二 返回 第48页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.1离散型随机变量1.随机变量的概念2.离散型分布变量及其分布律3.0-1分布与二项分布 0-1分布

21、 二项分布 泊松分布 练习题2.1 返回第49页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.随机变量的概念为便于用数学的形式来描述、解释和论证随机试验的某种规律性，我们需要按照研究的目的将试验中的基本事件与实数集建立某种联系.例如:某人向一飞机射击，观察其是否击中飞机， 则基本事件A=击中,B=未击中构成一个完备事件组.为了便于研究,我们引进变量X,规定X取1,0分别对应“击中”,“未击中”事件.从而对事件A,B的研究就转化为对实数X的研究.定义第50页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定义一般地，按研究随机试验的某种规律性要求，建立样本空间与实数集的

22、某个子集的某种对应关系，使每个基本事件都有一个确定的实数与之对应.与全体基本事件相对应的数组成的集合记为M，用一个变量在M中（或在M的某个范围内）的取值来表示和变量的取值所对应的基本事件组成的事件，我们把这样的变量称为随机变量，M称为随机变量的取值范围. 随机变量通常用X,Y,Z等表示. 引例2.1返回第51页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.离散型分布变量及其分布律若随机变量的取值可以一一列举（有限个或无穷可列个）出来，则称这类随机变量为离散型随机变量.对于离散型随机变量,我们需要知道它的所有可能值及取每一个可能值的概率. 分布律第52页，共189页，2022年，

23、5月20日，23点28分，星期四分布律设X为离散型随机变量,可能取值为且 则称 为X的分布律(或分布列)分布律常用表格表示,这样更为直观.X P性质第53页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四分布律性质随机变量的分布律具有下列性质：(1)(2)引例2.2和练习题返回反之，若一数列具有以上性质，就可以看作为某一随机变量的分布律第54页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四0-1分布若随机变量X只取两个可能值0,1,且则称X服从0-1分布.X的分布律为:其中010-1分布常用于随机试验只考虑两种结果,比如抛硬币,正面与反面;投篮,中与不中等等.返回第55页

24、，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四二项分布一般地，在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发生的概率为p，X表示在n次试验中A发生的次数，则X的分布列为 其中则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为二项分布是一种常用的分布。名称由来（引例2.3）引例2.4泊松定理第56页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四泊松定理设是 常数，n是任意正整数，且则对于任意取定的非负整数k，有由泊松定理，我们可得，当n很大，p很小时，有近似公式注：在实际的计算中，当 时，计算用上述公式效果颇佳！其中返回第57页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四泊

25、松分布如果随机变量的分布律为 ，则称X服从参数 的泊松分布，记作 .服从泊松分布的随机变量X的概率值可在附录的泊松分布表中查出.引例2.5返回第58页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.2随机变量的分布函数 1。 分布函数的概念 2。 分布函数的性质返回第59页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1。分布函数的概念设X为随机变量，称函数为X的分布函数。注意：随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量。 离散型的分布函数第60页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四离散型的分布函数由于 ，由概率的性质知， 即:其中求和是对所有

26、满足 时相应的概率 求和引例2.6返回第61页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四分布函数的性质(1) 是不减函数,即对于任意的 有 即(4) 右连续,即已知X的分布函数F(x),我们可以得出下列事件的概率. 结论第62页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四结论(1)(2)(3)引例2.7返回第63页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.3连续型随机变量及其概率密度1。连续型随机变量及其概率密度2。均匀分布与指数分布 均匀分布 指数分布3。正态分布 分位数练习题2.3返回第64页，共189页，2022年，5月20日，23点28

27、分，星期四1。连续型随机变量及其概率密度若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意的实数x，有则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。 连续型随机变量在某一点的概率第65页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四连续型随机变量在某一点的概率对于任意的实数x， ，有当f(x)可积时，F(x)为连续函数，令则 即连续型随机变量在某一点的概率为零.性质第66页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四性质（1）（2）（3）（4）设x为f(x)的连续点，则 存在，且另有若(1)(2)两个性质符合就

28、是连续型随机变量的概率密度注，性质(3)离散型没有几何意义第67页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四几何意义如图yx0abf(x)图中阴影部分面积代表了该区域的概率。引例2.8返回第68页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2。均匀分布与指数分布定义:若随机变量X的概率密度为则称X服从区间 上的均匀分布,简记为其分布函数为:直观图形第69页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四几何图形如图f(x)0 xabF(x)0abx另有计算公式第70页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四另有公式如果 是 的一个子区间

29、（即 ），则有上式表明X在 任一子区间取值的概率与区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，也就是说，X在区间 上的概率分布是均匀的，因此叫做均匀分布.使用这一公式计算均匀分布的概率很方便.引例2.9返回第71页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四指数分布定义:若随机变量X的概率密度为其中 为常数,则称X服从参数为 的指数分布.简记为其分布函数为指数分布有着广泛的应用，常用来做各种“寿命”分布的近似，例如动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时间等，都通常假定服从指数分布. 引例2.10返回第72页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3。正态

30、分布定义:若随机变量X的概率密度为其中 为常数且 ，则称X服从参数为 的正态分布，记作 .正态分布的密度函数的图像称为正态曲线 几何图形第73页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四几何图形如图f(x)x0图形特点及正态分布曲线的性质(1)曲线关于 对称(2)当 时，取到最大值(3)参数 决定正态曲线的形状， 较大曲线扁平， 较小曲线狭高. 分布函数第74页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四分布函数设 ，则X的分布函数为特别地，当 时的正态分布 ，称为标准的正态分布。其密度函数为其分布函数为 标准正态分布密度函数图形第75页，共189页，2022年，

31、5月20日，23点28分，星期四标准正态分布密度函数图形如图0图形关于 轴对称，且在 取得最大值标准正态分布函数 的性质(1)(2)计算公式第76页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四计算公式标准正态分布函数的值可以直接查表得。一般的正态分布函数 与标准的正态分布函数 的关系，设引例2.11引例2.12第77页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四分位数（临界值）定义 标准正态分布的临界值记为 ， 满足 则称点 为标准正态分布的分位数（或临界值） 由 ，查标准正态分布表求 .引例2.13返回第78页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星

32、期四2.4随机变量函数的概率分布1.离散型随机变量函数的概率分布 练习题2.4（1）2.连续型随机变量函数的概率分布 练习题2.4（2）返回第79页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.离散型随机变量函数的概率分布设g(x)是一给定的连续函数,称 为随机变量X的一个函数,显然Y也是一个随机变量.当X取值x时,Y取值y=g(x).重点在于讨论如何由已知的随机变量X的概率分布,去求函数 的概率分布.引例2.14结论第80页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四结论离散型随机变量X的取值可列 ,则Y的取值也是可列的 ,因此Y也是个离散型随机变量.但是 中可

33、能有相等的情况.当 有相等的情况时,应把 相等的那些 所对应的概率相加,作为Y取值的概率.注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然顺序重新排列一下返回第81页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.连续型随机变量函数的概率分布设X为连续型随机变量，其密度函数为设 是一严格单调的可导函数，其值域为 且 。记 为 的反函数，则的概率密度特别地，当 时引例2.15返回第82页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四第三章:多维随机变量及其概率分布3.1多维随机变量的概念3.2随机变量的独立性3.3两个随机变量的函数的分布 自测题3返回第83页，共189页，20

34、22年，5月20日，23点28分，星期四3.1多维随机变量的概念1。二维随机变量及其分布函数2。二维离散型随机变量 练习题3.1（1）3。二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 练习题3.1（2）返回第84页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1。二维随机变量及其分布函数定义 n个随机变量 ，构成的整体 称为一个n维随机变量或n维随机向量， 称为X的第i个分量。定义 设 为一个二维随机变量，记称二元函数 为X与Y的联合分布函数或称为 的分布函数。续第85页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四（续）二维随机变量 的两个分量X与Y各自的分布函数分别称

35、为二维随机变量 关于X与关于Y的边缘分布函数，记为 与 。 边缘分布函数与联合分布函数的关系。 几何图形第86页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四几何图形如图xyoDD为分布函数 在 处的函数值D为以 为顶点，位于该点左下方的无穷矩形xy0矩形域为落在区域内的概率。计算公式第87页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四计算公式落在矩形域内概率为分布函数 的性质(1) 是变量x或y的不减函数(2)(3) 关于x和关于y均右连续(4)对任意固定的 ， 有返回第88页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2。二维离散型随机变量定义 若二

36、维随机变量 只取有限多对或可列无穷多对 ，则称 为二维离散随机变量。设二维随机变量 的所有可能取值为 ， 在各个可能取值的概率为：分布律性质第89页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四性质 的分布律具有下列性质：(1)(2)由 的分布律可求得它的分布数 ，引例3.1引例3.2边缘分布律第90页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四边缘分布律定义 对于离散型随机变量（X,Y），分量X或Y的分布律称为（X,Y）关于X或Y的边缘分布律，记为 或可由（X,Y）的分布律求出。 性质第91页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四性质边缘分布律具

37、有下列性质：（1）（2）返回第92页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3。二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度定义：设二维随机变量 的分布函数为若存在非负可积函数为 ，使得对于任意的实数x,y都有则称 为二维连续型随机变量，并称为 的概率密度函数或X与Y的联合密度函数。性质第93页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四性质按定义：概率密度函数 有以下性质：（1）（2）分布函数与密度函数的关系若 在 处连续，则有概率计算公式第94页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四概率计算公式如果已知 的概率密度 ，则在平面区域D内取值的

38、概率为：几何意义：随机点 落在平面区域D上的概率等于以平面区域D为底，以曲面 为顶的曲顶柱体的体积。引例3.3两种重要的分布第95页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四两种重要的分布1。均匀分布 定义 2。二维正态分布 定义 连续型随机变量的边缘分布返回第96页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四均匀分布定义设D为平面上的有界区域，其面积为S且S0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作 特殊情形第97页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四特殊情形（1

39、）D为矩形区域， 此时（2）D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为圆心，R为半径的圆域上服从均匀分布，则（X,Y） 的概率密度为 返回第98页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四二维正态分布定义若二维随机变量（X,Y）概率密度为：其中 都是常数，且则称（X,Y）服从二维正态分布，记作返回第99页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四连续型随机变量（X,Y）的边缘分布定义：对连续型随机变量（X,Y），分量X或Y的概率密度称为（X,Y）关于X或Y的边缘概率密度，简称边缘密度，记为 或 。边缘密度可由概率密度 求出： 引例3.4返回第100页，共189页，20

40、22年，5月20日，23点28分，星期四3.2随机变量的独立性1。两个随机变量的独立性 定义2。二维离散型随机变量的独立性3。二维连续型随机变量的独立性 小结论4。n维随机变量 练习题3.2返回第101页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定义设 ， 和 分别是二维随机变量（X,Y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对于任意的实数x,y有则称X与Y相互独立。该式（）等价于任意的实数x,y有 （3.2.1）引例3.5返回第102页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2。二维离散型随机变量的独立性设(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为边缘分布律为X与Y相

41、互独立的充要条件为，对一切i,j有 引例3.6返回第103页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3。二维连续型随机变量的独立性设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)， ， 分别为（X,Y）的关于X与Y的边缘概率密度，则X与Y相互独立的充要条件是：等式注：上式几乎处处成立引例3.7返回第104页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四小结论一般情况下：联合分布可确定边缘分布，但是边缘分布不能确定联合分布；但是由随机变量相互独立的定义及充要条件可知：当X与Y相互独立时，联合分布可由边缘分布确定。另有：当X与Y相互独立，那么它们各自的函数也互相

42、独立返回第105页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四4。n维随机变量定义：设 的分布函数为其概率密度为 ，则函数和分别称为 关于 的边缘概率分布函数和边缘概率密度。n维随机变量相互独立第106页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四n维随机变量相互独立定义：若对于一切 ，有即则称 是相互独立的返回第107页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3.3两个随机变量的函数的分布1。离散型随机变量的函数的分布 引例3.8 练习题3.3(1)2。两个独立连续型随机变量之和的概率分布 引例3.9返回第108页，共189页，2022年，5月2

43、0日，23点28分，星期四2。两个独立连续型随机变量之和的概率分布设(X,Y)是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),关于X,Y的边缘概率密度分别为 ,设X,Y相互独立,求Z=X+Y的概率密度.因为X,Y相互独立,所以Z=X+Y的分布函数为:概率密度第109页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四概率密度令得Z的概率密度为同理可得上两式称为独立随机变量和的卷积公式.返回第110页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四第四章:随机变量的数字特征4.1 随机变量的期望4.2 方差4.3 协方差与相关系数自测题4返回第111页，共189页，2022年，

44、5月20日，23点28分，星期四4.1 随机变量的期望1。离散型随机变量的期望 几个重要的离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量函数的数学期望2。连续型随机变量的期望 几个重要的连续型随机变量的数学期望 连续型随机变量函数的数学期望3。二维随机变量函数的期望4。期望的性质返回第112页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1。离散型随机变量的期望先看一例子 引例4.1定义：设离散型随机变量X的分布律为：若级数 绝对收敛（即 收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为X的取值可以是有限多个，也可以是可列多个引例4.2第113页，共189页，2022年，5月20日，23点

45、28分，星期四几个重要的离散型随机变量的数学期望1。两点分布 X 0 1 P 1p p 2。二项分布 XB(n,p)3。泊松分布 XP()E(X)=pE(X)=npE(X)=返回第114页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四离散型随机变量函数的数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为令Yg(X)，若级数 绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为：引例4.3返回第115页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2。连续型随机变量的期望定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若广义积分 绝对收敛,则称该积分为随机变量X的数学期望(简称期望或均值),记为 ,

46、即引例4.4返回第116页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四几个重要的连续型随机变量的数学期望1.均匀分布2.指数分布3.正态分布 返回第117页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四连续型随机变量函数的数学期望定义:设X为连续型随机变量,其概率密度函数为 ,又随机变量 ,当 收敛时,有引例4.5返回第118页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3.二维随机变量函数的期望定理（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为 ，边缘分布律为则 续（2）第119页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四续（2）（2）

47、若（X,Y）为二维连续型随机变量， ， 分别为（X,Y）概率密度与边缘概率密度,则二维连续函数的数学期望第120页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四二维连续函数的数学期望定理：设g(X,Y)为连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数g(X,Y)（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数 收敛，则（2）若（X,Y）为连续型随机变量，且积分 收敛，则引例4.6返回第121页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四4。期望的性质性质1 常数的期望等于这个常数。 即 （C为常数）性质2 常数与随机变量X的乘积的期望等于该常 数与随机变量X的期望的乘积， 即性质

48、3 随机变量和的期望等于随机变量期望之 和， 即性质续第122页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四性质续性质3可推广如下：类似可推广到n个随机变量性质4 两个互相独立的随机变量乘积的期望等 于期望的乘积，即若X,Y是互相独立的随机 变量，则性质4可推广到n个随机变量引例4.7返回第123页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四4.2 方 差1。方差的概念2。常见随机变量的方差3。方差的性质引例4.9练习题4.2返回第124页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1。方差的概念定义：设随机变量 的期望存在，则称 为随机变量X的方差，

49、记为D（X） 即若X为离散型随机变量，则若X为连续型随机变量，则称 为X的标准差或（均方差） 简便计算公式第125页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四简便计算公式计算方差常用如下公式：若X为离散型随机变量，则若X为连续型随机变量，则引例4.8返回第126页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2。常见随机变量的方差（1）01分布（2）二项分布（3）泊松分布（4）均匀分布（5）指数分布（6）正态分布归纳表格返回第127页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3。方差的性质性质1 常数的方差等于零；随机变量与常数之 和的方差等于随机变

50、量的方差。即性质2 常数与随机变量乘积的方差等于这个常 数的平方与随机变量方差的乘积。即性质3 两个独立随机变量之和的方差等于它们 方差之和即 性质3可推广到n个相互独立的随机变量。返回第128页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四4.3 协方差与相关系数1.协方差2.相关系数 引例4.123.矩、协方差矩阵返回第129页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.协方差定义 设二维随机变量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,则称此值为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E(X-E(X)

51、(Y-E(Y)离散型计算公式连续型计算公式另有计算公式第130页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四计算公式有如下计算公式特别地,取X=Y时有引例4.10协方差的性质第131页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四协方差的性质（1）（2）（3）（4）若X,Y互相独立，则反之若 ，则X,Y一定不互相独立另需注意， 是X与Y相互独立的必要非充分条件。返回第132页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.相关系数定义：若 ， 称 为X与Y的相关系数，记为即引例4.11相关系数的性质第133页，共189页，2022年，5月20日，23点2

52、8分，星期四相关系数的性质（1）（2） 的充分必要条件是存在常数a,b使定义 若相关系数 则称X与Y不相关注：两个随机变量的相关系数是两个随机变量间线性联系密切程度的度量。 越接近1，X与Y之间的线性关系越密切。注：易得X与Y不相关的充要条件是 。特别地：二维随机变量服从正态分布，不相关的充要条件是两者互相独立返回第134页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四3.矩、协方差矩阵定义：设X为一随机变量，k为正整数，如果 存在，则称 为X的k阶原点矩，记为 ，即 如果 存在，则称 为X的k阶中心矩，记为 ，即显然：一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差。定义续第135页，

53、共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定义续定义：设X,Y为随机变量，若存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩，若 存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。协方差Cov(X,Y)就是X,Y的二阶混合中心矩二维协方差矩阵第136页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四二维协方差矩阵定义：将二维随机变量 的4个二阶中心矩排成矩阵的形式，称此矩阵 为随机变量 的协方差矩阵。n维随机变量协方差矩阵第137页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四n维随机变量协方差矩阵定义：设n维随机变量 的二阶混合中心矩存在，则称矩阵 为n为随机变量的协方差

54、矩阵。注：因为 所以，协方差矩阵的对角线元素即为 的方差。引例4.13返回第138页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四第五章:大数定律及中心极限定理5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 练习题5.15.2 大数定律5.3 中心极限定理 练习题5.3自测题5返回第139页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式定理:(切比雪夫等式)设随机变量X的期望E(X)及方差D(X)存在,则对任意的小正数 ,有或不等式的含义:当 很小时,区间也很小,不等式用于估计X落入上述区间的概率.当D(X)很小时, X落入上述

55、区间的概率很大,落入区间外的概率很小.引例5.1返回第140页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四5.2 大数定律1.贝努利大数定律2.独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律返回第141页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.贝努利大数定律定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对任意正数 ，有证明略。该定律表明：当n充分大时，事件A发生的频率与概率p的绝对值偏差小于任意给定的正数 这一事件的概率可以任意接近于1.也正是“概率是频率的稳定值”的确切含义。返回第142页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，

56、星期四2.独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律若随机变量序列 是相互独立的，且所有的 又具有相同的分布，则称 是独立同分布的随机变量序列。定理：设 是独立同分布的随机变量序列， ， 均存在，则对于任意的 有 定律分析第143页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定律分析定理说明：经过算术平均后得到的随机变量 在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密地聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述，同时，也是数理统计 重要理论基础。另：贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的特殊情况。（ 相互独立且服从相同的01分布）返回第1

57、44页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四5.3 中心极限定理1.独立同分布序列的中心极限定理2.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理返回练习题5.2第145页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.独立同分布序列的中心极限定理定理：设 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差 记随机变量的分布函数为 则，对于任意实数x，有，其中 为标准正态分布函数定理分析第146页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定理分析由该定理可得以下结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和 的分布近似于正态分布 。（2）当n充分大时，独立

58、同分布的随机变量的平均值 的分布近似于正态布 。引例5.2返回第147页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四2.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理定理：设随机变量 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x其中q=1-p， 为标准正态分布函数。定理分析第148页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四定理分析由该定理得如下结论：（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p，又设 为n次独立重复试验中事件A发生的频数，当n充分大时， 近似服从正态分布 。（2）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p， 为n次独立重复试验中事件A发生

59、的频率，则当n充分大时， 近似服从正态分布 。引例5.3返回第149页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四第六章：统计量及其抽样分布6.1 引言6.2总体与样本6.3统计量及其分布返回第150页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四6.1 引言前面五章的研究属于概率论的范畴，在那里随机变量及其概率分布全面描述了随机变量的统计规律性，在概率论的许多问题中，概率分布通常假定为已知的，而一切计算推理均基于这个已知的分布进行。但在实际问题中，我们考察的随机变量的概率分布往往是未知的，这就需要我们用数理统计的方法来解决此类实际问题。返回第151页，共189页，2

60、022年，5月20日，23点28分，星期四6.2总体与样本1.总体与个体2.样本3.样本数据的整理与显示返回第152页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四1.总体与个体在统计学中，把研究对象的全体称为总体（或母体），而把构成总体的每一个对象称为个体.例如，研究一批灯泡的质量时，该批灯泡的全体就构成了总体，而其中的每一个灯泡就是个体.实际问题中，从数学角度研究总体时，所关心的是它的某些数量指标，如灯泡的使用寿命（数量指标），这时该批灯泡这个总体就成了联系于每个灯泡（个体）使用寿命数据的集合 . 续第153页，共189页，2022年，5月20日，23点28分，星期四续若抛开实