专升本中值定理及导数的应用

1、专升本中值定理及导数的应用专升本中值定理及导数的应用2.拉格朗日定理：P64 满足条件: 如果函数例题：P66 例1，2第2页/共39页2.拉格朗日定理：P64 满足条件: 如果函数例题：P66 第3页/共39页第3页/共39页第4页/共39页第4页/共39页罗必塔法则：P67,68 第5页/共39页罗必塔法则：P67,68 第5页/共39页则第6页/共39页则第6页/共39页第7页/共39页第7页/共39页1.认真掌握课本P68-69的例题2.独立完成P70 的习题（用罗必塔法则求极限）第8页/共39页1.认真掌握课本P68-69的例题2.独立完成P70 的习题（2）解：（1）解：例求下列极

2、限第9页/共39页（2）解：（1）解：例求下列极限第9页/共39页（3）解：第10页/共39页（3）解：第10页/共39页（4）解法1：(对数法）设所以第11页/共39页（4）解法1：(对数法）设所以第11页/共39页解法2：(指数法）第12页/共39页解法2：(指数法）第12页/共39页导数的应用 1. 切线方程和法线方程： 第13页/共39页导数的应用 1. 切线方程和法线方程： 第13页/共39页2. 曲线的单调性: P71 定理1 第14页/共39页2. 曲线的单调性: P71 定理1 第14页/共39页求单调区间的4个步骤：（1）确定函数的定义域，求出导数（2）求出导数等于0（驻点）

3、和导数不存在的点（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号（4）判断：注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握P71 例题1-4第15页/共39页求单调区间的4个步骤：（1）确定函数的定义域，求出导数（2）证明：（采用函数的单调性证明） 第16页/共39页证明：（采用函数的单调性证明） 第16页/共39页例3. 证明:证明: 设 第17页/共39页例3. 证明:证明: 设 第17页/共39页所以从而因此第18页/共39页所以从而因此第18页/共39页解：设所以第19页/共39页解：设所以第19页/共39页从而因此第20页/共39页从而因此第20页/共39页 3.

4、函数的极值 极值的定义：P72 第21页/共39页 3.函数的极值 极值的定义：P72 第21页/共39页极值存在的必要条件：P72 定理2 （3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。第22页/共39页极值存在的必要条件：P72 定理2 （3）极值点的取值范围 极值存在的充分条件： 定理1(极值的第一充分条件）： P73 定理3第23页/共39页 极值存在的充分条件： 定理1(极值的第一充分条件）： P定理2：(极值的第二充分条件） P74定理4第24页/共39页定理2：(极值的第二充分条件） P74定理4第24页/共39（4）求极值的4个步骤：P73（1）确定函数的定义域，求出导数（2）求出导

5、数等于0（驻点）和导数不存在的点（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号（4）判断（2）中的点是否是极值点，是极大值还是 极小值理解教材 P71-74 的例题5至例题7第25页/共39页（4）求极值的4个步骤：P73（1）确定函数的定义域，求出导例 求函数的单调增减区间 和极值。 第26页/共39页例 求函数的单调增减区间 和极值。 第26页/共39页第27页/共39页第27页/共39页4. 函数的最大值和最小值 (1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值。 (2) 当函数在一个区间内可

6、导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。(3)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。 理解P75-76 的例题8-11 第28页/共39页4. 函数的最大值和最小值 (1)闭区间上连续函数的最值的求第29页/共39页第29页/共39页x2a-2xx第30页/共39页x2a-2xx第30页/共39页第31页/共39页第31页/共39页C BAD 第32页/共39页C BAD 第32页/共39页第33页/共39页第33页/共3

7、9页例欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/m，其余三面所用材料的造价为3元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？解：设：场地的正面长为x米 第34页/共39页例欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料解：设：第35页/共39页第35页/共39页 5曲线的凹向及拐点：P78 (3)第36页/共39页 5曲线的凹向及拐点：P78 (3)第36页/共39页求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：P80（1）确定函数的定义域，求出导数（2）求出二阶导数等于0和二阶导数不存在的点（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号（4）判断：注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握P79-80的例题1-5第37页/共39页求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：