专题讲座-根系关系

1、专题讲座-根系关系专题讲座-根系关系一、综合题的特征： 综合题是指涉及知识、技能较多，在解法上应用数学思想方法较多，条件较隐蔽，题目的构思较新颖， 结构较复杂的一类题目. 按内容可分为代数综合题、几何综合题、代数几何综合题. 按结构可分为串联型综合题与并联型综合题.以初三知识为主方程思想，转化思想，分类讨论思想，数形结合思想和配方法，换元法，待定系数法等.一、综合题的特征： 综合题是指涉及知识、技能较二、解综合题的关键 1.熟练掌握双基是解综合题的基础双基教学到位双基训练到位双基落实到位二、解综合题的关键 1.熟练掌握双基是解综合题的基础双基教2.分析综合法是探求综合题解题思路的 基本方法 解

2、答综合题首先要认真审题，明确数学语言的含义，分清题设和结论，挖掘隐含条件的意义与题设条件之间的联系，但最关键的是沟通已知条件与未知结论之间的联系，获得正确的解题途径，这时分析综合法是最有效的方法.2.分析综合法是探求综合题解题思路的 解答综合 分析法是指从问题的结论出发，探求结论成立所需要的条件的思维方法. 即从未知想需知. 综合法是指从问题的题设出发，通过一系列已经确定的命题，逐步推演、导出结论的思维方法. 即由已知想可知 分析综合法：从已知和结论两头夹击，寻求已知与未知之间的联系. 3.数学思想方法是解综合题的灵魂 平时教学要注意渗透，要有意识地用 分析法是指从问题的结论出发，探求结论成立

3、所需三、解综合题的程序（4步）1.检索解题信息 2.确定主攻方向 3.分析因果联系 4.重视解后反思 已知条件隐含条件解题方案已知与未知三、解综合题的程序（4步）1.检索解题信息 2.确定主攻方向无论多么复杂的综合题，检索题目信息是解题的前提.一要把题目中给出的条件，即把“明”的信息摆出来；二要把题目中隐藏的性质，即把“暗”的信息挖出来。可以说检索题目信息是解综合题的基础。1、检索解题信息： 无论多么复杂的综合题，检索题目信息是解题的前提.1、检索解题2、确定主攻方向： 在解综合题时，要根据检索的信息和以往经验确定一个主攻方向，从而使思路集中起来，当主攻方向遇到阻碍，推进无序时，可以适当调整思

4、路，从新的角度去寻求解题思路.2、确定主攻方向： 在解综合题时，要根据检索的信息和3、分析因果联系： 题设和结论之间必须架起一座桥梁，才能沟通它们之间的联系，要广开思路，善于寻求知识之间的联系，灵活处理问题。3、分析因果联系： 题设和结论之间必须架起一4、解后反思： 解后反思是对分析过程，解题过程的重新审视，看看有无偏差，有无遗漏，有无“陷阱”等，在解题过程中有什么规律、思想、方法以及常见的解题思路、解题途径等，这样可以使思路更加严谨有序，在教学中应给予重视。4、解后反思： 解后反思是对分析过程，解题过程5、常规综合题仍唱主角 在代数综合题中，常规综合题仍唱主角。代数综合题涉及的主要知识点一般

5、有：一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，函数的图象及性质等. 代数综合题多以一元二次方程根的判别式及根与系数关系和求函数解析式的题目出现. 代数综合题主要包括三方面：一是方程型综合题；二是函数型综合题；三是方程与函数相结合型综合题. 要求学生有扎实的基础知识和灵活运用知识，分析解决问题的能力。5、常规综合题仍唱主角 在代数综合题中，常规综合题仍唱主四、近年中考综合题命题方向： 1.过于繁难的综合题有所减少2.结合图象特点求解的综合题 有所增多 3.隐含条件的题目频频出现 4.新型题逐渐增多 5.常规综合题仍唱主角 四、近年中考综合题命题方向： 1.过于繁难的综合题有所减少2五、

6、代数综合题方程 与函数 函数方程知识：与一元二次方程有关的知识 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 与函数有关的知识 函数的图象和性质 一元二次方程和二次函数的关系五、代数综合题方程 与函数 函数方程知识：与一元二次方程有熟练掌握一元二次方程和二次函数间关系 一元二次方程：ax2 + bx + c = 0（a0） 二次函数：y = ax2 + bx + c（a0） 一元二次方程根的判别式= b24ac 0，一元二次方程有两个不相等实数根， 抛物线与x轴有两个交点 =0，一元二次方程有两个相等实数根， 抛物线与x轴有一个交点（两交点重合） 0 ，x1x20 ，

7、x1+ x20 一元二次方程有两个正实数根 抛物线与x轴两交点在x轴正半轴上. OA= x1 ，OB= x2 O，x1x2O ，x1+ x20 ，x1x20 ，x1+ x20 O， O，x1x2O 一元二次方程有一正根，一负根， 正根绝对值大 抛物线与x轴两交点一个在x轴 正半轴上，另一个在x轴负半轴上， 且正半轴上点到原点距离大. OA= x1 OB= x2 OBOA O，x1x2O O，x1x2O ，x1+ x2OB熟练掌握双基，掌握各知识点之间内在联系，是解综合题的基础. O，x1x2O ，x1+ x20 （3）(m - 6)2 - 4(7 - n) = 0（4）- (m 4)2 4(5

8、 n)0m=2,把m=2代入（3）,得n=3.例4 已知m、n均为整数,并且方程:x2-mx-n+例5 （北京市94年中考试题） 已知x1,x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1,y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2, x2-y2=2,求m、n的值. （海淀96年中考试题） 已知x1,x2（x10 ,得到 k 由 k 且k为整数 得到k=0，1分析：由=94（2k1）0 得到k 由反比 例7（99年北京市中考试题） 已知：二次函数 y = x2 + 2ax2b +1 和 y =x2 +（a3）x + b21 的图象都经过x轴上两个不同 的点M、

9、N， 求: a、b的值. 例7（99年北京市中考试题） 分析： 设M（x1 ，0）、N（x2 ，0） ，x1x2 由x1 ，x2是x2 + 2ax2b + 1 = 0两个实数根， 得到 x1+ x2 = 2a， x1x2= 2b+1 由x1 ，x2是x2 +（a3）x + b21=0的两个实数 根， 得到 x1+ x2 = a3 ，x1x2=1b2 求出a、b值后，要进行检验，看函数图象是否与x轴 有两个交点，再决定取舍 当a=1、b=0时，=0，y = x2 +2ax2b +1与x轴 只有一个交点，应舍去.建立方程思想 得到 或 分析：求出a、b值后，要进行检验，看函数图 例8 （2003年

10、北京市中考题）已知：关于x的方程x22mx +3m = 0 的两个实数根是x1 ，x2 ，且 （x1x2）2=16，如果关于x的 另一个方程x22mx + 6m9 = 0 的两个实数根都在x1和x2之间， 求: m的值. 例8 （2003年北京市中考题）分析：由x1 ，x2是方程x22mx + 3m = 0两个实数根, 得 x1+ x2 =2m ， x1x2 =3m 由（x1x2）2=16 即：（x1+ x2）24x1x2 =16 得 4m22m =16, 得 m1= 1 ，m2 =4 当m= 1时， 方程为x2 +2x3=0 , x1= 3 ， x2=1 方程为x2 +2x15=0 x3=

11、5 ，x4=3 5，3不在3和1之间，不合题意 当 m= 4 时， 方程为x28x +12=0 ， x1=2 ，x2=6 方程为x28x +15=0 ， x3=3 ，x4=5 2356 符合题意 分析：由x1 ，x2是方程x22mx + 3m = 0两 例9（2003年北京市中考题改） 已知：抛物线 y=x22mx +3m 与x轴交于两点（x1 ，0）和（x2 ，0）且（x1x2）2=16，如果另一抛物线 y=x22mx + 6m9 与x轴的两个交点都在点（x1，0）和（x2，0）之间， 求: m的值. 例9（2003年北京市中考题改） 例10 （北京市95年中考试题）已知x1,x2是关于x的

12、方程4x2-(3m-5)x-6m2=0的两个实数根,且 ,求m的值. 例10 （北京市95年中考试题）分析：由题意知x1+ x2= ， x1x2= m2 = 2 44（6 m2）0若关于m的一次不等式，先解出m范围，再求值 若关于m的二次不等式（不解），先求m值，后 检验分析：由题意知x1+ x2= ， x1 由 = 知去掉绝对值符号时， 存在两种情况，要考虑正、负，关键是 确定x1与x2是同号？还是异号？于是转 化为由x1x2= m2 0 由 = 知去掉绝对例11 （2005年北京市中考试题） 关于x的方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y=x2-(2

13、a+1)x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁. (1)求实数a的取值范围； (2)当 时，求a的值.例11 （2005年北京市中考试题）例12 （2005年石景山一模试题） 已知关于x方程x2+(2m+1)x+m-5=0（1）求证：无论m取何值时，方程总有两 个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都小于2，求m 的取值范围. 例12 （2005年石景山一模试题）例13 （2004年北京市中考试题） 已知：关于x的两个方程2x2+(m+4)x+m-4=0与mx2+(n-2)x+m-3=0 方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根. （1）求证方程的两根符号相同； （2）

14、设方程的两根分别为、，若：=1:2, 且n为整数，求m的最小整数值。例13 （2004年北京市中考试题）专题讲座-根系关系专题讲座-根系关系 例14 （2005年海淀区中考试题） 已知抛物线 y=x2-mx+m-2 （1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）若m是整数，抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值； （3）在(2)的条件下，设抛物线顶点为A ,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB,求点M的坐标. 例14 （2005年海淀区中考试题） 例15 （2001年北京市海淀区）已知：关于x的方程 x22（k+1）x + k2 +2k1=

15、0 求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等 的实数根； 如果a是关于 y 的方程 y2（x1+ x22k）y+（x1k）（x2k）=0 的根，其中x1 ，x2 为方程 的两个实数根， 求代数式（ ） 的值. 例15 （2001年北京市海淀区）分析： 欲证方程总有两个不相等的实数根，只须证0 此题=80，若是一个含有k的代数式，经常用到配方法 由根与系数关系可知 x1 + x2 =2（k+1） x1x2 = k2 +2k1 代入第个方程中，可得到关于y的方程 y22y1=0 （消掉待定系数k） a是关于y的方程的根，代入可转化为关于a的方程 a22a1=0， 求出a的值， 再求代数式值即可.

16、通过解方程求a，再代入求值很繁，应注意解题技巧， 将a2 = 2a+1整体代入，可简化运算.分析： 由根与系数关系可知 x1 + x2 =2（k+1） 例16 已知：关于x的方程x2 + 3x + m = 0 的两个实数根的倒数和等于3；关于x的方程（k1）x2 +3x2m = 0 有实数根, 且k为正整数，求代数式 的值. 例16当m =1时，方程为x2 + 3x1=0有实 数根, 方程转化为（k1）x2 + 3x +2=0 由于方程没有指明是一元二次方程，因 此二次项系数要分等于0与不等于0两种 情况进行讨论 分析： 设方程的两个实数根为x1 ，x2 ，由根与 系数关系得 x1+ x2=

17、3，x1 x2=m， 又知 + = 3, 可得m= 1 当m =1时，方程为x2 + 3x1=0有实 当k1=0时，方程为一元一次方程 3x +2=0 有实数根 k=1 = 0 当k10时，方程是一元二次方程 （k1）x2 +3x +2 = 0 由=98（k1）0，可求出k ， 又由k取正整数，k1 得 k=2 当k=2时， 没有意义， k=2舍去 =0当k1=0时，方程为一元一次方程当k10时，方程 例17 已知：二次函数 y = x2(2m+4) x + m24 （x为自变量）的图象与y轴的交点在原点 的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B 的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB 满

18、足3（OBAO）=2AOOB .直线y=kx +k 与这个二次函数图象的一个交点 为P，且 锐角POB正切值为4. 求这个二次函数的解析式； 确定直线y=kx + k的解析式. 例17 由3（OBAO）=2AOOB ，得到 3（x2 + x1）=2x2x1 从而转化为关于m的一元二次方程 3（2m + 4）=2（m24） 求出待定系数 m =1，m = 2（舍去）. 进而确定二次函数解析式 y = x22x3分析：由抛物线与y轴交点在原点下方，得到 m240 ， m2由根与系数关系知 x1+ x2=2m+40 ；x1x2= m24 0. 由直线y = kx + k与抛物线交点P（x ，y） 可

19、知坐标x ，y是方程组 的解， 得到 或 可得到P（1，0）或P（k+3，k2+4k） 由tanPOB = 4 知 = 4 或 =4 分类讨论，求出直线解析式 y =2 x+2 或y = 2x 2 由B（3，0），POB为锐角， 由直线y = kx例18 （2002年北京市丰台区） 已知：抛物线 y = x2（2a+1）x + a2 + a (a0)，经过点A（x1，0）和B（x2，0） 两点，其中x1x2，且x12 + x22=13.求：（1）求这条抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点C（5，y1）在这条抛物线上，问 在y轴上是否存在点P，使BCP为直角 三角形，若存在，求出点P的坐标，并

20、 写出直线PC的解析式；若不存在，请说 明理由.例18 （2002年北京市丰台区） 求：（1）求这条抛物线例19 （2003年重庆市中考题） 已知：抛物线y= x2 +（m4）x+2m+4 与x轴交于点A（x1，o），B（x2，o）两点， 与y轴交于点C，且x1 x2 ，x1+2x2 = 0，若 点A关于y轴 的对称点是点D.求： 过C、B、D的抛物线的解析式 若P是（1）中所求抛物线的顶点， H是这条抛物线上异于点C的另一点， 且HBP与CBD面积相等，求直线 PH的解析式.例19 （2003年重庆市中考题）由x1=2m8，x2=m + 4代入 得到m1 = 2 m2 = 7由x1 x2 ，

21、2m8m + 4，得m 4，所以m = 7（舍去） m=2时，抛物线 y =x22x + 8与x轴交点 A（4，0）, B（2，0） , C（0，8） 点A关于y轴对称点D（4，0）. 过C、B、D抛物线解析式为 y = a（x2）（x4）, a = 1 即：y = x26x+8分析： 根据题意得 由x1=2m8，x2=m + 4代入 得到m1 = 由P（3，1），H（6，8）,可求PH解析式 y = x26x + 8 = (x3)21， 顶点P（3，1）， 设H（x，y），由SBCD = SHBD， 由顶点知点H只在x轴上方， 得 = 8 , y= 8 将y = 8代入y = x26x +

22、8中 得x = 6或x = 0 所以H（6，8）或H（0，8）， 由H与C点不同, 得H（6，8） 由P（3，1），H（6，8）,可求PH解析式 y 例20 已知：二次函数 y = x2(2m+4) x + m24 （x为自变量）的图象与y轴的交点在原点 的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B 的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB 满足3（OBAO）=2AOOB .直线y=kx +k 与这个二次函数图象的一个交点 为P，且 锐角POB正切值为4. 求这个二次函数的解析式； 确定直线y=kx + k的解析式. 例20 由3（OBAO）=2AOOB ，得到 3（x2 + x1）=2x2x1 从而转化为关于m的一元二次方程 3（2m + 4）