二章控制系统的数学模型课件

1、第二章 控制系统的数学模型2.1 数学模型的特点及类型2.2 控制系统的时域数学模型微分方程 2.5 控制系统的结构图及其化简2.4 典型环节传递函数2.3 控制系统的复域数学模型传递函数2.6 信号流图及梅逊公式2.7 小结12.1 数学模型的特点及类型系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。 若系统当前输出仅由当前的输入所决定，称为静态系统或稳态系统。数学模型：描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。 若当前输出不仅由当前输入所决定，而且还受到过去输入的影响，这样的系统称为动态系统。22.1.1数学模型的特点1）相似性 数学模型可能相同，即具有相同的运动规律。方程的符号抽象

2、为变量，系数抽象为参数。结论具有一般性。2）简化性和准确性 常在误差允许的条件下忽略一些对特性影响较小的物理因素，用简化的数学模型来表达实际系统。3）动态模型: 描述变量各阶导数之间关系的微分方程。4）静态模型: 在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述变量之间的代数方程。32.1.2数学模型的类型3）用比较直观的方块图模型进行描述。 2）状态变量描述或内部描述。它特别适用于多输入、多输出系统，也适用时变系统、非线性系统和随机控制系统1）输入-输出描述或外部描述。如微分方程、传递函数和差分方程. 2.2 控制系统的时域数学模型微分方程 2.2.1列写微分方程式的一般步骤1.分析系统运动的因果

3、关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2.作出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。4例2-1电路系统举例：电阻-电感-电容串联系统，如图2-1所示。列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。解：按照列写微分方程式的一般步骤有：1）确定输入量、输出量、中间变量i（t）；2）网络按线性集总参数考虑，且忽略输出端负载效应；3）由克希霍夫定律写原始方程： （2-1）4）列写中间变量与输出变量的关系式： （2-2）5）将上式代入原始方程消中间变量得：6） 整理成标准型：令T1=L/R,T2=RC,则方程化为： （2-3） （2-4）T1、T

4、2的量纲：T1=L/R=秒 T2=RC=秒 则T1、T2是电路网络两个时间常数，ucurCLRi图2-1RLC电路系统6例2-2机械系统举例：弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图2-2所示。列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。2）系统按线性集总参数考虑，且当无外力作用时，系统处于平衡状态；3）由牛顿第二定律写原始方程： （2-5）4）写中间变量与输出变量的关系式： （2-6）5）将上式代入原始方程消中间变量得：6）整理成标准型： 该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。解：按照列写微分方程式的一般步骤有：1）确

5、定输入量、输出量，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t) ，均作为中间变量；mfKy(t)F(t)图2-2机械系统（2-7）（2-8）令（2-9）则方程化为：72.2.2实际物理系统线性微分方程的一般特征 线性定常方程形式：r(t) 输入量 c(t) 输出量 从工程可实现的角度来说，该方程满足以下的要求：1.方程的系数为实常数，由物理系统自身参数决定。2. 输出的阶次都高于或等于输入的阶次。3.方程两端各项的量纲都是一致的。定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式，就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量，叫做相似量。9弹簧阻尼系统机械系统 电系统力F质量m

6、黏性摩擦系数f弹簧系数k位移x速度v转矩T转动惯量J黏性摩擦系数f扭转系数k角位移角速度 电压u电感L电阻R电容的倒数1/C电荷q电流I表2-1 相似系统中的相似变量10线性系统 满足叠加原理物理系统r(t)c(t)激励响应(2)齐次性：保持比例因子 ar(t) ac(t)非线性系统(1)叠加性：线性系统内各个激励产生的响应互不影响 r1(t)+r2(t) c1(t)+c2(t) r1(t) c1(t) r2(t) c2(t)2.3 控制系统的复域数学模型传递函数 传递函数：在线性定常系统中, 当初始条件为零时, 输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比.2.3.1传递函数的定义11设单

7、输入单输出线性定常系统: r(t) 输入量 c(t) 输出量 在零初始条件下: 拉氏变换:传递函数:n个m个nmG(s)r(s)c(s)方框图 C(s)=G(s)R(s)122.3.2传递函数的实际意义1）现实的控制系统多是零初始条件。2）在输入没加入之前，认为输入恒等于零。3）对于非零初始条件所产生的影响，可用叠加原理来进行处理。2.3.3传递函数的性质1) 传递函数是一种数学模型, 与系统的微分方程相对应。2) 是系统本身的一种属性, 与输入量的大小和性质无关。3) 只适用于线性定常系统.4) 传递函数是单变量系统描述,外部描述。5) 传递函数是在零初始条件下定义的, 不能反映在非零初始条

8、件下系统的运动情况。6) 一般为复变量 S 的有理分式, 即 nm。且所有的系数均为实数。137）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。8）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。9) 传递函数与脉冲响应函数一一对应. 脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。当单位脉冲输入系统时，R(s)=L(t)=1 因此系统的输出为C(s)=G(s)C(s)=G(S)反变换得脉冲响应：L-1G(s)=g(t) (2-12)（2-11）G(s)0tr(t)(t)(t)g(t)g(t)0tc(t)图2-3系统的脉冲响应14

9、传递函数的零点和极点同时表示在复数平面上的图形, 叫做传递函数的零极点分布图。例如 :j0-11xx-1-2-3x图2-4零极点分布图图中零点用“o”表示, 极点用“”表示。传递函数的这种形式及零极点分布图在根轨迹法中使用较多。16(2) 时间常数表达式（2-14）（2-15）由拉氏变换的终值定理, 当S0时, 描述时域中t时的性能, 此时系统的传递函数就转化为静态放大倍数即 式中, i、Tj称为时间常数; K 称为传递系数或静态增益。传递函数的时间常数表示形式很容易将系统分解成一些典型环节。17比例环节惯性环节（一阶）微分环节积分环节 延迟环节振荡环节（二阶）e -sK运动方程为：c(t)=

10、kr(t)应用实例：放大器、测速发电机、电位器特点：输出量延缓地反映输入量的变化T是惯性环节的时间常数Tt010.63C(t)应用实例：直流电机的励磁电路tr(t)01Tc(t)积分环节令tr(t)01c(t)延迟环节tr(t)01c(t)振荡环节tr(t)01Tc(t)微分环节tr(t)01kc(t)19比例环节的输出量与输入量成正比, 动态关系与静态关系都一样, 不失真也不迟延, 所以又称为“无惯性环节”或“放大环节”. 它的特征参数只有一个, 即放大系数 K.式中T0,01.T 称为振荡环节时间常数；称为阻尼比；n称为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s平面左半部的共轭极点： 式中，=n,RLC串联电路、弹簧质量阻尼器串联系统都是二阶系统。只要满足01，则它们都是振荡环节。工程上如无弹性变形的杠杆传动、电子放大器、比例式执行机构等都是比例环节的一些实际例子20积分环节具有记忆功能, 常用来改善系统的稳态性能 .理想微分环