数列知识结构梳理

1、数列知识梳理（必会）一：基本知识定义按一定顺序排列的一列数表示法:列表法”图象法和通项公式法通项公式:第项/、序号之同的关系式4一K）分类有穷数列和无穷数列二不可以分成递增数列、递减数列、常数列和摆动数列前正项和：$h=.+即+/递推公式:关于数列的通项或前凡项和的等式图象:数列的图象是一群孤立的点（定义:数列从第2项起悔一项与它的前一项的差都等于同一个常数判断方法:定义注、证明4+册为常教数列等差数列通项公式:等比数列前八项和公式=个广数列等差数列通项公式:等比数列前八项和公式=个广）=晒+”与dl递推公式：4u=%+d定义:数列从第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一个常数判断方法:定义

2、法证明=常数通项公式:与-%十-1前立项和公式鸟一欣2),%=-,求a。nnn+nn-11n【变式训练】已知数列Ua的前n项和为Sn,若S1=1,S广2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(nGN*,n且n2),求该数列的通项公式.【精练2】(1)已知数列an满足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an;(2)已知数列an满足an+1=2nan,且a1=1,求an.【变式训练3(1)已知数列a,a=2,a=詈4(几三2),求a；n1nn1+an-1(2)已知数歹Uan满足an+1=3an+2(nGN*),a1=1,求通项公式an【精练2】(1)求和:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2

3、n-1).()已知等差数列Ua满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求a及S;(2)令b=(nGN*)，求数歹1b的前n项和T.%1反思1.若数列an的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项相消法求和.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.常见的裂项相消技巧有:(1)1n(n+1)(1)1n(n+1)=11nn+1(2)(2n-1)(2n+1)W-)；212n-12n+1177=7(i-;n(n+k)k、nn+k(3)-=1=Vn+1-Vn;Vn+1+Vnan+1(4)若数列a为等差数列，公差d0,则-an+1nanan+1

4、【变式训练2】在等比数列an中,a0(nGN*)，公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.求数列an的通项公式；(2)设b=5-logan，数列bj的前n项和为S”，设Tn=1+1-+-1,求7n.n2nnnSS2Sn【精练】已知正项等差数列an的前n项和为Sn若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)记bn=ann的前n项和为Tn,求Tn.【练习】TOC o 1-5 h zCn冗5c HYPERLINK l bookmark20 (1)已知数列a的前n项和为S,a=2+ncos,neN*,则S=.nnn2201

5、8(2)已知数列a的前n项和为Sa+(-Da=2n+1,neN*，则S=.nn，n+1n60设Sn为数列an的前n项和，Sn=(一1)nan2n,nGN*,则a3=；S1+S2+S100=.考点三以数阵为背景的数列问题所谓数阵是指将某些数,按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵不仅有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常解题中最常见的是前两种.数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列.解决此

6、类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生具有较强的观察分析、归纳猜想以及对数列知识融合迁移的能力.下面看一下几种题型.【精练3】（1）如图所示的数阵，第n行最右边的数是.1-7911键是找出其中的规律,这就要求考生具有较强的观察分析、归纳猜想以及对数列知识融合迁移的能力.下面看一下几种题型.【精练3】（1）如图所示的数阵，第n行最右边的数是.1-7911313151719T5172721232527299A白白；（2）（2）德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1、分母为正整数的分数）称为莱布尼茨三角形.根据前5行的规律,写出第6行的数从左到右依次是.（3）自然数

7、按如图所示的规律排列，则2016是第行第个数.43678910112131415（4）给定81个数排成数阵如图所示,若每一行,每一列都构成等差数列,且正中间一个数a55=5,则此数阵中所有数之和为a11a12a19a21a22a2991a9299（5）12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数2N

8、100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110考点四数列的综合问题数列是高中代数的重点内容,也是高考的必考内容,它始终处在知识的交汇点上,如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题.另外,等比数列与等差数列的综合应用也是高考的热点之一,对公式的变形应用是考查的重点,一般多以解答题的形式考查,有时作为压轴题,难度较大.【精练4】(1)已知单调递增的等比数列”满足a2+a3+a4=28,且+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列aj的通项公式；(2)若bn=anlog1an,Sn=b1+b2+bn,对任意正整数几2Sn+(n+m)an+11.na

9、1a2anan2(1)求数列an的通项公式；(2)若九=2,bn=(2n-4001)an,当n为何值时,bn最大？专题五数学思想方法数学思想方法是数学的精髓,是将知识转化为能力的桥梁,数列中含有丰富的数学思想,了解数学思想对我们的解题大有益处.函数思想数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题，比如求等差数列前n项和S的最值时，常转化为求关于n的二次函数的最值或用数形结合或利用函数图象来求值的方法.【精练5】在等差数列an中,3a8=5a13,a10,若Sn为an的前n项和，贝US1,S2,Sn中有没有最大值?请说明理由.分类

10、讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统一研究或推理时,需通过分类讨论解决,如运用等比数列求和公式时，需对q分q=1和q两种情况进行讨论;an与Sn的关系需分n=1和n2两种情况讨论;等差数列的单调性需分d0,d=0和d0三种情况讨论;等比数列的单调性就要分二重讨论，在a/0（或ai1,q=1,0q1,q1lna-1的n最大取值是（）n123nnA.99B.100C.198D.199【练习】数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+2Sn（nGN*）.（1）求数列an的通项an；（2）求数列nan的前n项和Tn.TOC o 1-5 h z【练习】设Sn为等差数列an的前n项和，若%1,则使Sn0

11、成立的最小正整数n为（）A6B7C8D9设Sn为等差数列an的前n项和，若a2017+a201r0,a2017a2018V0,则使Sn0成立的最小正整数n为二,Sn最大的项是.n.化归与转化思想化归与转化思想就是把待解决的问题或未知解的问题转化归纳为已有知识范围内可解的问题的一种数学思想.数列中一些很复杂的问题往往可以转化为等差数列或等比数列来解决.【精练7】已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,且Sn+4an+2（nGN*）,求an的通项公式.【练习】（2016上海高考）无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和.若对任意nGN*,SnG2,3,则k的最大值为.10（2016.全国甲高考）Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1,S7=28.记bn=lgan,其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,lg99=1.求b1,b11,b101;（2）求数歹lj乙的前1000项和.11（2016-全国丙高考）已知数歹U”的前n项和Sn=1+an，其中0.证明a