定积分物理应用课件

1、 定积分的物理应用 复习微元法一、非均匀细杆的质量二、变力沿直线所作的功三、液体的侧压力四、引力问题微元法的步骤和关键:复习微元法（定积分概念的一个简化）1.将非均匀分布在区间a,b上的所求总量A分割成分布在各子区间的局部量 ,.A必须对区间a,b具有可加性，即2.关键的一步确定部分量 的近似值,只需考虑任意小区间x, x+dx上部分量的近似值，小微元d A条3. 对小微元取定积分条xyo 曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 x 轴旋转一周所成的立体体积体积元素薄片计算体积求旋转体体积柱壳法: p286.19abf (x)yx0曲边梯形 y= f (x) ，x=a,

2、x=b, y=0 绕 y 轴xdxabyx0 xf (x)dx内表面积dV=2 x f (x)dx壳例1.解：03p292.1y二 、变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .在其上所作功微元因此变力F(x) 在区间 上所作的功为利用常力作功例1. 有一圆锥形储水池,深15m,口径20m,尖头在下,盛满水, 今将水抽干, 需作功多少？p292.6解:yxO10 15-10如图建立坐标系取任一小区间x, x+dx，这一薄层水的重力为做功微元斜线方程为做功 例2.半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相

3、同, 从水中取出球, 做功多少(p293.7)解：yx02r选取x为积分变量，其变化区间0,2r（注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）重力微元：在小区间x, x+dx上相应的球体薄片随球体离开水面后，在水上方的行程做功微元做功面积为 A 的平板三、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为 在端面建立坐标系.解例1. 建立坐标系如图.解：例2.压力元四、引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .小段

4、与质点的距离为水平方向的分力元素为注意：引力元的方向各不相同，这些力不能直接按数量相加，因而也不能直接积分。例2.有一半径为r 的均匀半圆弧，质量为m，求它对位于圆心处的单位质量质点的引力。P292.12解：(1)建立如图的坐标系,确定积分变量和积分区间：0y xr-r设线密度为 取 为积分变量，则(2) 求微元：对将 对应的弧长质量看成一个质点, 则 对应的弧长质量为 0y xr-r它对单位质点的引力微元为由对称性知所以有(3) 求定积分：把对位于圆心处的单位质量质点的引力表示成定积分计算得 故圆弧对质点的引力为方向从圆心指向半圆弧的中点，即 轴方向. 小结：1.定积分可以計算非均匀分布在某区间的量。微元法-建立所求量的积分表达式。2.应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量适当的置于坐标系下，利用以不变代变，以直代曲的思想方法确定出小微元。3.小微元的几何形