高等数学导数与微分练习题之欧阳学创编

1、求 d y2 欧阳学创编求 d y2 作业习题时间：2021.03.031、求下列函数的导数。创作：欧阳学（）y 3 x22； （2） x； （）y sin bx；（ 4 ）y x 2 ； （ 5 ） ； （ 6 ） )1 。2、求下列隐函数的导数。（）y sin cos( x ) 0；（）已知xy , y。3 、求参数方程x (t t ) y t )( 0)所确定函数的一阶导数dy与二阶导数 。dx24、求下列函数的高阶导数（） y x 求 y ( n ) ； （2）y x2sin 2 x 求 y(50)。5、求下列函数的微分。（）y , ( 0)； （） arcsin x1 2。6、双曲线

2、x y a 2 ，在点(2 a, 3b)处的切线方程与法线方程。7、用定义求f，其中 ,f ( x ) x 0, 0.并讨论导函数的连续性。欧阳学创编x 欧阳学创编x 作业习题参考答案：1、（）解：y3 x22322x3( 2 ( 2 2 。（）解：ysin x x sin x ) x x 2。（）解：ysin sin a bx cos 。（）解：y x22)x 2 x22x 2 x2x2 x22。（）解： ) 1 1 ( ) ) 2 ( ( x 1 2( x 2 ( x 2 。（）解： x ln ) )x 1 x) x ( ln1 1 )。2、（）解：两边直接关 求导得 cos sin( y

3、 x x )。（）解：将 代入原方程解得y 原方程两边直接关 x 导得yxy，上 方 程 两 边 关 于再 次 求 导 得 y2y欧阳学创编将 ， 2 欧阳学创编将 ， 2 代入上边第一个方程得y ，将 ，y 代入上边第二个方程得y。3、解：dx dya(1 t ), sin t dt ； dt a t cot (1 t ) 2； y d dt ( ) 2 dx dx2t 1 1 t ) (1 t ) 4 2。4、（）解：y；y；依此类推y( ) ( x, ( 。（）解：设u sin x, ,则u ( ) sin(2 x 2)( ，代入萊布尼茨公式，得y(50) x2sin )(50) 50

4、x ) 50 x ) 2 48 ) 2! 2 50 ( sin 2 x cos 2 12252sin 2 x)。5、（）解：y dy x .（）解：y 2 2arcsin 2 2x ；(1 2)32dy 2 x。32(1 6 、 解 ： 首 先 把 点(2 a, 3b)代 入 方 程 左 边 得欧阳学创编， 即点； 故x 0( ) x x 0 求 欧阳学创编， 即点； 故x 0( ) x x 0 求 2 2 4a b 2 4 , 3b) a 2 a b 2是切点。对双曲线用隐函数求导得 x 2 yy 2 0, y , 2 2 过点(2 a, )的切线的斜率为y , ) ab 23a 2b3a故

5、过点(2 a, )的切线方程为 3b b( x ；过点(2 a, )的法线方程为 3b 3a( x )。7、解：f(0) x 0f ( ) f (0) x x 0 x xx sin xx 0同理f f 0 。显 然f 2 1 1 1 1 cos x sin x x x x在 点 连续，因此只需考查f 在 点的连续性即可。但已知1x在 点不连续，由连续函数的四则运算性质知f在 点不连续。讨论习题：1、设f ( ) x , f。2、求和 xx x。3、设 函 数f ( x 在上 有 定 义 ， 且 满 足x f ( x) x 3 x, x 证明f 存在，且f 。讨论习题参考答案：欧阳学创编2 x

6、3 2 x 3 3 f l lim1、解：因为欧阳学创编 ( x x f ( x (3 ), 0 x 易知f ( x在开区间2x( x 0.( (0,3) 内都是可导的；又对于分段点 ， ，有f limx f ( x) f (0) x limx x ) x，f(0) limx f ( x) f x limx x2( x ，即 ；f limx 3x 2 ( x lim x 2 x ，f(3) limx 3x2 x limx ( 2) ，即 f不存在；所以除 之外在区间( (3, 內均可导，且有2、解：因为1 1 1 ， (1 n) n )nx ， n n x n nx n ) 2；3 、 证 ：

7、 ， 0 0 x f ( x) x 3 x, x 可 知 当 时 ，即f (0) 。又 f ( x f ( ) f x 3 , ( x x x x；已知 xx 0 x 03，由两边夹定理可得欧阳学创编u ( x) f (u )u ( x) f (u ) x f lim f ( x) (0) x 。思考题：1、若f u) u不可导，在 可导，且 u0 x 0，则 f g ( ) 处（ ）（1）必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。2、设g 连续，且f ( x ) 2 g ( )，求f 。思考题参考答案：1、解：正确选择是（）例如：在 处不可导；若取u g x) x在x 0 则f ( x) 在 即（）不正确。又若取