高等数学答案(北大版)李忠周建莹第五章总练习题

1、 2 2 2 2 第章练题1.设a 为两个非零向量 指下列等式成的充分必要条 : (1)| a + | a + a |;(3) a + b与 共线解(1)| a + b a + | | b | b b = 0 a, 正交.(2) + a | + | a | |2 b | | b | a b b | | b cos a, b共线且方向相反. + b与 共线 ( + b ) a = , 共线.2.设a,b,c 为非向量, 判断下列等式是否成 : b ( c);(2)( a b2= a2b2;(3) ( ) a 解(不成.例如( i i ( j .(2)不成立例 : i j )2= 0 2j2成立a

2、 ( b 和 a ) 都是a 的有体积 且定向相同.设a,b为非零量,7 与 正,与 与7 正,求 2 解(7a ) ( b) 0,( ) (7a ) 0. b (2)(1) 161(a) 利向运算 证明下列几何命 : 射定考虑直角角形ABC 中为直 是边的, D AB BD AC 证 AB DB DC AB AD ) ( ) AD DC DC DB DC DC BD DC ( 同) AD BD BD CD ) BD ).AC BD CD CD ( ) 知点A , 的标别为(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1).若CDBD是平行四形求 点D的坐.解A B C C (0,1,1), AB

3、 (0,1,0), OD AD (1,0,0) (0,2,1) 点D的坐标 1 1 2 1 2 1 1 2 |1 1 1 2 1 2 1 1 2 |1 6.设 为零量证( = 2 b 证( )a | b |2sin b | b , b a | b a | b 2 b ba )7.设有两直线L :平方程x y z x y z , : 平于 , L 且与它们等的 1 i j 解n 求面点 2,1/ 所平:-5( 2) y 2) z 2) x y 设直线通点P 且其方向向量为 , 证外0 P P |一点P的距离d可表为 0 1 v P0vL证平行四边形 的积0 1 v 0 1P1设两直线L , L

4、分通过点PP ,它们的方向向量 , v 证明L 与L 共面的充分1 2 2 1 2必要条件为 ( v ) 1 2 证 与L 共面 共面 ( ) 0.1 2 1 2 设两直L L 分别通过点P P 且它们的向向量为v , v L L 之间的距离定1 2 1 2 1 1 2 义为 | Q Q 证明(1)当L L 平行时 们之间的距离可表示为 1 Q v Q PP ( v ) (2)当L 与L 为异面直线时,它们之间的距离可表为 d 2 v |1 证 (当 L 行时,它们之间的距离为 上任意一点到L 的距,由8题, 1 2 d 2 v 1 ( v )1 ( v ) P 在L 与L 的公垂线方向的单位

5、向量上的投,1 1 1 1 故其长度 ( v ) 1 ( ) |1 是异面直线L 与L 之间的距离 v |1 设直线L方程为:A D 1 1 1A B z D 2 证 : 对于任意两个不全为零的常数 方程1 2 x y ) A z D ) 1 1 1 2 2 2表示一个通过直线L平面(2)任意给定一通过直线L的平面必存在两个不全为零的实数 使平面1 2的方程为 x y z ) A x B z D ) 1 1 1 1 1 2 2证 (向量( A B C )与( B , C )不共 故对于两个不全为零的常数 , 1 2 2 x y ) A z D ) 的主系数1 1 1 2 2 2 B , C +

6、 A ) 是一个平面的方程,并且 L点的坐标 1 1 2 2 2( x , )足A D 1 1 1A B z D 2 2, 故满足 x y ) A z D ) 0.1 1 1 2 2 2(2)设平过直线L, 其方程为( ) ( y y ) ( z ) By D 0.0 ( x y z )在三个向量( , , ) ( , B C )与 A 均垂直于的方向向量 0 0 2故共面 又 , B , C )与( , , )都是非零向, 故存在两个不全零的数 ,1 1 1 2 2 2使得( A, , ) , C + A ).1 1 2 D + ) + ) ) z 0 0 1 2 1 1 2 1 2 2 B

7、 y ) A B y z ) 1 0 0 2 1 故示为 x y z ) A x B z D ) 0.1 1 1 1 1 2 2 20试求通过直 :1 y 且与直线 : x 平行的平面方程. 2解根1题的结论所求平面方程有形式 x y 0.1 2 1 2 1 2由于平面与L 平( (1,1,1) 2 2令 得所求平面方程2 x y 1 2 2 z 已知面的方程为 : 平面程为 2 x y 0. 求曲面的行于 平面方程;(2) 在面 上求到面为最及长, 求最短最的离 y解 (1)的法量( x, z ).4 x 0. ( ) Y ( Z ) 1 1 P A 2 2 P A 2 2 2 1 1 P

8、A 2 2 P A 2 2 2 已知曲面S的方程为S x2 平面程为 4 2求曲面的平行于平面方;(2) 在曲面S 求到平面离为最短及长的, 求最短及最长距离.解 的点记( x, z ).的法向量(2 22 x / 切平面与,则法向量对坐标成比例： .z x y .2 2与曲面方程联立 x22 x21 , 2切平面方程 ( X ) (Y ( ) ，2 1利用曲面方程得 xX zZ 2. 2 2平面点A P 11 7点P P 2 2P到面离d 1 17( , 1 n 310 31 5点P , ,1,1), 2 25( ,1,1) (2,1,2)2 到平面离 n 323.1 1在曲面 到平面离最短及最长的点分别是 和 ,1,1),2 22 10并求最短及最长的距离分别 和 3 3 y z14.线 绕z旋转一, 所得 1