高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程高中数学复习教案64排列组合的综合应用

1、题目第十章排列、组台、二项式定理排列组合的综合应用高考要求1进一步加深对排列、组合意义懂得的基础上,把握有关排列、组合综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的才能,学会分类争论的思想2使同学把握解决排列、组合问题的一些常用方法解题思路归纳解排列组合问题,第一要弄清一件事是“ 分类” 仍是“ 分步” 完成,对于元素之间的关系,仍要考虑“ 是有序” 的仍是“ 无序的”,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次, 对一些复杂的带有附加条件的问题,需把握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊

2、元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法 例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有_个 （答案： 30 个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题,由于情形繁多,因此要对各种不怜悯形, 进行科学分类, 以便有条不紊地进行解答,防止重复或遗漏现象发生 例如：从 6 台原装运算机和 5 台组装运算机中任取 5 台,其中至少有原装与组装运算机各两台,就不同的选取法有_种 （答案： 350）分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部 等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；插空法 解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后

3、插入其余元素,使问题得以解决 例如： 7 人站成一行, 假如甲乙两人不相邻,就不同排法种 数是 _ 答案 :3600 捆绑法 相邻元素的排列,可以采纳“ 整体到局部” 的排法,即将相邻的元素当成“ 一个” 元素进行排列,然后再局部排列例如： 6 名同学坐成一排,其中甲、乙必需坐在一起的不同坐法是 _种 （答案： 240）排除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系, 从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要留意使用相关知识对答案进行取舍 例如：从集合 0 ,1, 2,3,5,7,11 中任取 3 个元

4、素分别作为直线方程 Ax+By+C=0中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_条 （答案： 30）剪截法（隔板法） ：n 个 相同小球放入mmn 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m段（插入 m1 块隔板）,有 C n m1 1种方法错位法： 编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为1 到 n 的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同, 这种排列称为错位排列特殊当 n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,442 个、 3 个、 4 个元素的错位排列简单运算关于 5 个元素的错位排列

5、的运算,可以用剔除法转化为 2 个、 3 个、 4 个元素的错位排列的问题：55 个元素的全排列为：A 5 120；剔除恰好有 5 对球盒同号 1 种、恰好有 3 对球盒同号 2 个错位3 2的 C 5 1 种、恰好有 2 对球盒同号 3 个错位的 C 5 2 种、恰好有 1 对1球盒同号 4 个错位的 C 5 9 种3 2 1 120-1-C 5 1-C 5 2-C 5 944用此法可以逐步运算：6 个、 7 个、 8 个、 元素的错位排列问题容斥法： n 个元素排成一列 , 求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数 , 宜用容斥法题型讲解例1 将6本不同的书按以下分法,各有多少种不同

6、的分法？分给同学甲 3 本,同学乙 2本,同学丙 1本；分给甲、乙、丙 3人,其中 1人得 3本、 1人得 2 本、 1 人得 1 本；分给甲、乙、丙 3人,每人 2本；分成 3堆,一堆 3 本,一堆 2 本,一堆 1 本；分成 3堆,每堆 2 本分给分给甲、乙、丙 3人,其中一人 4本,另两人每人 1本；分成 3堆,其中一堆 4本,另两堆每堆 1本分析： 分书过程中要分清：是匀称的仍是非匀称的；是有序的仍是无序的特殊是匀称的分法中要留意算法中的重复问题解：是指定人应得数量的非匀称问题：方法数为3 2 1C C C ；3 P 3；是没有指定人应得数量的非匀称问题：方法数为C3 6C2 31 C

7、 12 2 2是指定人应得数量的匀称问题：方法数为 C C C 2；3 2 1是分堆的非匀称问题（与等价）：方法数为 C C C ；是分堆的匀称问题：方法数为 C 6 2C 4 2C 2 2P 3 3；4 1 1 3是部分匀称地分给人的问题：方法数为 C 6 C 2 C 1 P 3；2P 24 1 1是部分匀称地分堆的问题：方法数为 C 6 C 22 C 1P 2点评：以上问题归纳为非匀称分给人（有序）分成堆（无序）C3 6C2 31 C 13 P 3C3 6C2 3C1 1匀称C2 6C2 4C2 2C2 6C2 4C2 23 P 3部分匀称C4 6C1 2C1 13 P 3C4 6C1 2

8、1 C 12 P 22 P 2见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；要将问题转化为六种分书模型来解决例 2 求不同的排法种数：（1）6 男 2 女排成一排, 2 女相邻；（2）6 男 2 女排成一排, 2 女不能相邻；（3）4 男 4 女排成一排,同性者相邻；（4）4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻解：（ 1）是“ 相邻” 问题,用捆绑法解决：2 7A A 76 男先排实位,再（2）是 “ 不相邻” 问题,可以用插空法直接求解在 7 个空位中排2 女,即 用插孔法解决：6 2A A 7另法：用捆绑与剔除相结合：8 A 82 7A A 74 4 2（3）是“ 相邻” 问题,应先捆绑后排位：

9、A A A 24 3 1（4）是“ 不相邻” 问题,可以用插空法直接求解 : A A A 2例 3 有 13 名医生 , 其中女医生 6 人 现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往灾区 , 如医疗小组至少有 2 名男医生 , 同时至多有 3 名女医生 , 设不同的选派方法种数为 P,就以下等式5 1 41 C 13 C C 6;2 3 3 2 4 1 52 C C 6 C C 6 C C 6 C 7 ; 5 1 4 53 C 13 C C 6 C ; 2 34 C C 11 ; 其中能成为 P 的算式有 _ _种分析 : 交换医疗小组的两成员次序是同一选派方法 , 故为组合问题用直接法解 :

10、选派 5名医生分为 2男 3女,3 男 2女,4 男 1 女,5 男这四类, 故2正确; 用间接法解 : 不考虑限制条件 , 选派方法有5 C 13种, 需剔除的有 1 男 4 女,5 女两类, 故3 正确因此结论为 : 23点评：本例要特殊防止误选 4例 4 对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品 , 一一进行测试 , 到区分出全部次品为止 如全部次品恰好在第五次测试被全部发觉 , 就这样的测试方法有 种解 : 在各次测试结果中交换其中两者的次序 , 成为两种不同的测试方法 , 因此是排列问题 故全部测试方法是 6 件不同正品取出 1 件与 4 件次品排成一列且1 1 4最终一件是次

11、品：C A A =576 种例 5 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 , 开演前有增加了2 个新节目 , 假如将这两节目插入节目单中 , 那么不同的插法种数为 _解: 实质是 7 个节目的排列 , 因原定的 5 个节目次序不转变 , 故排这5 个节目是一个组合 , 有 C 种方法 , 在排新插入的两个节目有 5A 种方法 , 25 2故 C A 2 42点评：分清是排列仍是组合问题 排列与组合的根本区分是元素之间有否次序 如元素之间交换次序 后是两种不同的情形 , 就是排列问题 ; 如元素之间交换次序后是相同的情形 ,就是组合问题 ; 另外如元素之间已经规定了次序, 就仍是组合问题

12、例 6 从 10 种不同的作物中选出 6 种放入 6 个不同的瓶子中展出 , 如果甲、乙两种种子不能放入第 1 号瓶内 , 那么不同的放法共有 种2 4 1 5 1 5 1 5 A C 10 A B C A C C A D C A 8解: 先排第 1 号瓶 , 从甲、乙以外的 8 种不同作物种子中选出 1 种有 C 8 15 1 5种方法 , 再排其余各瓶 , 有 A 种方法 , 故不同的放法共有 C A 9 应选 C点评：这样解分步合理、过程简捷 但此题更简单想到先从 10 种不同的作物种子中选出 6 种 , 然后排列 由于选出的 6 种种子中是否含甲、 乙不确定 ,导致后继排列也不确定 ,

13、 这时就要分类了 选出的 6 种种子中只含甲或只含乙5 1 5的不同放法都为 C A A 种, 选出的 6 种种子中 , 同时含甲与乙的不同放法有4 2 4 6C A A 种; 选出的 6 种种子中 , 都不含甲与乙的不同放法有 A 种 故不同的5 1 5 4 2 4 6 1 5放法共有 2C A A 5 C A A 4 A 8 C A 种例 7 将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里 , 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物 , 不同的种植方法共有 _种解: 依据同种作物最多能种植的块数分类争论 : 11 当其中有一种作物种三块时 , 选取这种作物有 C 种, 它们只能种在1

14、 2两端及中间位置 , 有不同的种植方法 C A 2 6 种, 2 当其中两种作物各种两块时, 选取这两种作物有2C 3 种, 然后选定其中一种作物 , 其不同种植方式有以下六类 : 1 2 3 4 5 6 第1256 类的种法都是 2 种; 第 3 类有 1 种种法 ; 第4 类有3 种种法 , 于是这种情形有 C 3 2 4 2 1 3 36 种种法 , 故不同的种植方法共 42 种例 8 四周体的顶点和各棱中点共 10个点, 在其中取 4 个不共面的点 , 不同的取法共有 _种C4种方法, 剔除解: 此题直接计数很困难 , 用间接法 , 从 10 个点中取 4 个有10四点共面的情形有

15、: 1 四个面上的种数为4 C460; 6; 3 种, 62 三点在一条棱上 , 另一点为其对棱中点的种数为 3 任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有故不同的取法共有4 C 106063141种点评：确定用分类法、分步法、仍是间接法计数为求完成某件事的方法种数 , 假如我们分步考虑时 , 会显现某一步的方法种数不确定或计数有重复 , 就要考虑用分类法 , 分类法是解决复杂问题的有效手段 , 而当正面分类情形种数较多时, 就就考虑用间接法计数例 9 从黄瓜,白菜,油菜,扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必需种植,不同的种植方法共有 _种解: 按要求从

16、4 种蔬菜品种中选出 3 种有 C 种方法 , 种在不同土质的三 23 2 3块土地上有 A 种方法 , 不同的种植方法共有 C A 3 18 种例 10 有四个不同的小球 , 全部放入四个不同的盒子内 , 恰有两个盒子不放球的放法总数为 _2解: 选取两个不放球的盒子 , 有 C 4 6 种选法； 把 4 个球分成两堆 , 可分2 2为两堆各为 1,3 个或两堆都有 2 个球这两类 , 有 C C 31 1 C C 42 2 7 种; 再把A 2两堆分别放入两个盒子里有 A 2 2 2 种, 所求放法总数为 6 7 2 84 种点评：如何实施先组合 , 后排列对常见的排列组合综合问题, 应先

17、组合 , 后排列 , 可分为以下两类例 11 把 9 个相同小球放入其编号为 1、2、 3 的三个箱子里 , 要求每个箱子放球的个数不小于其编号数 , 就不同的放球方法共有 _种解: 先给编号为 2、3 的三个箱子里分别放入 1 个、 2 个小球 , 有 1 种方2法；再将剩余的 6 个小球串成一串,截为三段有 C 5 10 种截断法,对应放到编号为 1、 2、3 的三个箱子里因此,不同的放球方法有 1 1010 种例 12 某校预备参与 2022 年高中数学联赛 , 把 10 个选手名额安排到高三年级的 8 个教学班 , 每班至少一个名额 , 就不同的安排方案共有 _种解 问题等价于把 10

18、个相同小球放入 8个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题将 10 个小球串成一串,截为7 段有7 C 936种截断法,对应放到8 个盒子里因此,不同的安排方案共有 36 种点评：剪截法（隔板法） ：n 个 相同小球放入 mmn 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪成m段（插入 m1 块隔板）,有Cm n1 1种方法例 13 编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为1 至 6 的 6 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 , 其中恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有 _ _种2解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法

19、有 C 6 15 种, 其余 4 组球与盒子需错位排列有 9 种放法 , 故所求方法有 15 9 135 种点评： 错位法： 编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 特殊当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44例 14 将 A、B、C、D、E、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路 , 假如元件 A 不排在始端 , 元件 B 不排在末端 , 那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是 _ 6解：不考虑限制条件共有 A 种排法 , 元件 A 排在始端和 B

20、排在末端各5有 A 种排法 , 把它们都剔除 , 就 A 排在始端同时 B 排在末端的总数多减了一4 6 5 4次, 需补上 A 种 故组成不同的电路 A 6 2 A 5 A 4 504 种点评： 容斥法 ：n 个元素排成一列 定位置的排法种数 , 宜用容斥法 小结：六种分书模型；, 求某两个元素各自不排在某两个确解决排列、 组合问题的一些常用方法：板法）、捆绑法、剔除法、插孔法 同学练习容斥法、 错位法、 剪截法（隔1将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,就不同的投法的种数是（）A 3 4B 4 3C A 4 3D C 4 32某赛季足球竞赛的计分规章是：胜一场,得 3 分；平一场,得

21、1 分；负一场,得 0 分；一球队打完 的情形共有（）15 场,积 33 分,如不考虑次序,该队胜、负、平A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种3 43如 A m 6 C m,就 m（）A 9 B 8 C7 D6 4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块地上,其中黄瓜必需种植,不同的种植方法共有（）A 24 种 B 18 种 C 12 种 D 6 种5从 6 台原装运算机和 5 台组装运算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装运算机各 2 台,就不同的选取法有 种（结果用数值表示）6在一块并排 10 垄的田地中, 挑选 2 垄分别种值 A 、

22、B 两种作物, 每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,就不同的选垄方法共有 种 （作数字作答）*7有 n n N 件不同的产品排成一排,如其中 A、B 两件产品排在一起的不同排法有 48 种,就 n8将 3 种作物种植在如图的5 块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有 种（以数字作答）9把 6 名同学排成前后两排,每排 3 人,就不同排法的种类（）A 36B 120C 720D 1440 ）C44 人,10 6 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是（A 288B 480C 600D 640 11 12 名同

23、学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,如每个路口就不同的安排方案共有（）C4 8种AC4 12 C4 8C4 4种B 34 C 12C4 8C4 4种CC4 124 C 83 A 3种D4 C 1243 A 312从 6 名理想者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作,其中甲、乙两名理想者都不能从事翻译工作,就选派方案共有（）种A 280B 240C 80D 96 3 的,无重复数13用 1,2,3,4,5 这五个数字组成比20220 大,且百位数不是C 78D 96 字的个数是（）A 64B 7214从某班同学中,选出四个组长的不同选法有m 种,选出正、副组长各一名的不同选

24、法有n 种,如 m:n=13:2 ,就该班的同学人数是（）A 10B 15C 20D 22 15如下列图,为某市的四个小镇,现欲修建三条大路,将这四个镇连接起来,就不同的修路方案种数为（C 16）D 24 A 6B 1216从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数,共可得到不同的对数值（）A 53 个 B 55 个 C 57 个 D 59 个17 8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行了单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的其次名进行剔除赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第 3,4 名,大师赛共有

25、场竞赛（用数字作答）18平面上有 4 条平行线与另外 5 条平行直线相互垂直,就可围成 个矩形（用数字作答）19设编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒内,要求每个盒内投放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,就不同的投放方法有 种（用数字作答）20楼道里有 10 盏灯,为节省用电,在肯定时间可关掉其中的 3 盏灯,但关掉的灯不能相邻,而且不在楼道两端,就不同的关灯方法共有 种21如图,一个地区分 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供挑选,就不同的着色方 法共有 种（用数字作答） 22将 10 个相同的小球装入 3 个编号分别为 1,2,3 的盒子 （每次要把 10 个球装完）,要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数,这样的装法种数是（用数字作答）23某药品争论所研制了 5 种消炎药 a 1、a 2、a 3、a 4、a 5, 4 种退烧药b 1、b 2、b 3、b 4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验,但又知 a 、a 2 两种药必需同时使用,且 a 、b 4 两种药不能同时使用,就不同的试验方案有 种24对于任意正整数 n,定义“n 的双阶乘 n！” 如下：当 n 是