概率论第9讲将条件概率的概念到随机变量

1、三条件分布(将条件概率的概念推广到随量)二维离散型随设已知二维离散型随量的条件分布律量( X ,Y )的概率分布P( X xi ,Y y j ) pij ,i, j 1,2, P( X xi ) pij 0pi若j1P( X xi ,Y y j ) pij记作 P(Y y jX xi )则称P( X x )pi ij 1,2,为在 X = xi的条件下，Y 的条件分布律.1 P(Y y j ) pij 0,p j若i1P( X xi ,Y y j ) pij记作 P( X xi Y y j )则称P(Y y )pjji 1,2,的条件下，X 的条件分布律.为在 Y = yj类似于乘法公式P(

2、X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y jX xi )或 P(Y y j )P( X xi Y y j )i, j 1,2,2二维连续型随设二维连续型随量的条件密度函数量(X,Y )的联合分布函数为F (x,y), 联合密度函数为因此, 不能像离散型随f (x,y),由于PY=y=0,量那样定义条件分布,用下面的方法来定义P X x Y y lim P( X xy Y y y)y0 lim P( X x,y Y y y )P( y y Y y y )y0 y) F ( x, y F ( x, y) f (u, y) du fY ( y)3x lim y0 F (, y y)

3、F (, y)定义:若f (x,y)在点(x,y)连续，f Y (y)在点y处连续且 f Y (y) 0, 则称f (x, y)fY ( y)为Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数，记作 f X Y (x y)类似地,则称若f X (x)在点x处连续且 f X (x) 0,f (x, y)为X = x 的条件下Y 的f X (x)条件概率密度函数，记作 fYX ( y x)4例: 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,解求 fYX ( y x) x r 221 y2 r 2其他x2,f (x, y) r 2 xf X (x) 0,-rrf (x, y)dyx2r

4、21r 2 x2r 2 x2r x r其他dy,r 2=0,边缘分布不是均匀2x2r 2r x r其他, r 20,分布！5x2r 2当 r x r时， xf (x, y)f( y x)YXf(x)X x2 y x2r 21x2r 2r 2,2x2r 20,其他 这里 x 是常数，当X = x 时，Y U x2 ,x2r 2r 26四随量的独立性(将事件的独立广到随量)量, 若对任意实数定义:设X1,Xn 为n 个随x1,xn有P(n ) x2 ) P( Xn2 P( X 1则称随 x1 )P( X 2 xn ),量（X1,Xn）是相互独立的。相互独立等价于对于一切实数x1,xn有F(x1,x

5、n)=F1 (x1 )Fn (xn)其中F(x1,xn )为X1,Xn 的联合分布函数, 而Fi(xi)为随量Xi 的分布函数, i=1,2,n.7定理1: 若(X1,Xn)是离散型随量，则X1,Xn相互独立的充分必要条件是对任意实数x1,xn有 xn ) P( X1 x1 )P( X n xn ).P(定理2:n若(X1,Xn)是连续型随量，则X1,Xn相互独立的充分必要条件是对任意实数x1,xn有f ( x1, xn ) f1 ( x1 ) fn ( xn )其中f(x1,xn )为X1,Xn 的联合密度函数, 而fi(xi)为Xi 的密度函数, i=1,2,n.8量X1,Xn相互独立的充

6、分定理3:随必要条件是对任意点集A1,An有P( X1 A1 , X n An ) P( X1 A1 ) P( X n An ).例1:设X,Y是两个离散型随互独立, 分布律分别为量, 它们相-11-11XYP0.40.6P0.40.6求(1)X,Y的联合分布律;(2) P(X=Y).9解:(1)由于X,Y相互独立, 故P( X 1, Y 1) P( X 1)P(Y 1) 0.4 0.4 0.16P( X 1, Y 1) P( X 1)P(Y 1) 0.4 0.6 0.24P( X 1, Y 1) P( X 1)P(Y 1) 0.6 0.4 0.24P( X 1, Y 1) P( X 1)P(

7、Y 1) 0.6 0.6 0.3610因此X,Y的联合分布律为(2)P( X Y ) P( X 1, Y 1) P( X 1, Y 1) 0.52注: 若两个随量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随量相等.11pijXY11110.160.240.240.36量(X ,Y)服从二维正态分布例2: 若随N ( , 2; , 2; ), 则X与Y 相互独1122立的充分必要条件是 = 0.N ( , 2; , 2; ) 故证明:由于( X, Y ) 1122 ( x1 )212 2f (x) , x e121X1 ( y2 )22 2f ( y) , y e22Y212如果 = 0,1充分性

8、:f ( x, y) 则x 2 1exp12 2 1 122 1 21 2x y y 2 21222122 ( x1 )2 ( y 2 )2112 22 2ee1 2 222 1f X (x) fY ( y).对任意x, y 成立, 因此X与Y 相互独立.13必要性: 如果X与Y 相互独立, 则f (x, y) f X (x) fY ( y)特别有对任意x, y 成立.Y (2 )即111.2 12 22 1 212 = 014例3:已知( X, Y ) 的联合概率密度为2 x3 yx 0, y 0其他6ef (x, y) 0判断X ,Y 是否相互独立.解:2e2 xx 0,其他 y 0,其他

9、.f X (x) f (x, y)dy 03e3 yfY ( y) f (x, y)dx 0由于 f (x, y) f X (x) fY ( y) 因此X ,Y 相互独立.153.3 随量的函数及其分布量，z = (x)是一个已知的函数。设X是随Z量取值为z = (x)，如果当X取值为x时，随量X的函数，记作Z = (X).量 X 的概率特性 分布函数或则Z称是随问题: 已知随密度函数(分布律)求 随机因变量Z = (X)的概率特性.方法：将与Z有关的事件转化成 X 的事件.16一.离散型随量函数的分布若X 的分布列为:则Y = g(X)的分布列为如果g(xi)中有相等的项，则需要将它们合并为

10、一项。17Yg(x1)g(x2)g(xk)Pp1p2pkXx1x2xkPp1p2pkX 的分布列为例1设随量-1012X P0.20.30.10.4Y = ( X-1 )2 的分布列试求量 Y 的取值为0，1，4解:随且 Y = 0对应于 ( X-1)2 = 0，X = 1解得所以 P（Y = 0）= P （X=1 ）= 0.118例1（续）同理P（Y = 1）= P（X = 0）+ P（ X= 2）= 0.3 + 0.4 = 0.7P（Y = 4）= P（X = -1）= 0.2所以，Y = ( X-1 )2 的分布列为014YP0.10.70.219的情况Y = g(X1, Xn ) ，也

11、是同对于样的方法.对每一个可能的取值(x1, xn ) ，计算出Y = g(x1, xn )的值, 就可以得到Y 的分布列，如果在结果中有重复的项，则要进行合并。20例2: 设二维离散型随量( X,Y )的概率分布为pij-112XY1 8-10X Y , X Y , XY ,YX求的概率分布。21解: 根据( X,Y )的联合概率分布如下表格：12P(-1,-1) (-1,0) (1,-1)(1,0)1100(2,-1)13-2-1/2(2,0)2200( X,Y )X +Y X -Y X YY / X-2011-1-10002-1-122故得X + Y-2-1012P-10123X - Y

12、1 81 41 41 81 4P23-2-101X Y1 811 241 61 4P-1-1/201Y /X1 61 811 241 4P24离散的卷积公式:设(X,Y )为相互独立的随量, 它们都取非负整数值, 其概率分布分别为ak和bk,则Z=X+Y的分布律为:rPZ r P X Y r P X k, Y r kk 0 P X k P Y r k ak br k .rrk 0k 025两个重要结论：设 X B(n1,p), Y B(n2,p), 且 X ,Y 相互独立，则 X + Y B(n1+n2, p)设 X P (1), Y P (2), 且 X ,Y 相互独立，则 X + Y P(

13、1+ 2)26关于二项分布的和的分布的说明：X B(n1, p), Y B(n2, p), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n1+ n2设n1 n2 , 当k n1时，P(Z k ) P( X i,Y k i),i0 P( X i)P(Y k i),i0kkk Ci0Ck i pk i (1 p)n2 k in1n2pk (1 p)n1 n2 k Ck27n1 n2ki Ck i CkC其中n1 n2n1n2i0当 n1 k n2 时P(Z k ) P( X i,Y k i)i0n1n1 Ci0Ck i pk i (1 p)n2 k in1n2pk (1 p)n1 n2

14、k Ckn1 n228当 n2 k n1+ n2 时n1P(Z k ) P( X i,Y k i)ik n2 n1 Cik n2Ck i pk i (1 p)n2 k in1n2pk (1 p)n1 n2 kn1+ n2 , p) Ckn1 n2故 X + Y B (事实上，从二项分布的背景，若每次试验事件A 发生的概率为 p , 则X + Y 表示做了n1+ n2 次独立试验事件A 发生的次数29关于泊松的和的分布的证明：X P(1), Y P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ,P(Z k ) P( X i,Y k i),ki0k ek iie1212(k i)!

15、k!i!i0 e12k ik ii!(k i)!12k!i0 ( )k e12k 0,1,2,12k!30量的情形.下面连续型随二.一个随量函数的分布问题: 设X 是连续型随量，其密度= g( X )是 X函数为 fX (x).的函数，假定再设 YY也是连续型随量. 试求Y= g(X)的密度函数fY (y).31方法:（1）先求 Y = g ( X ) 的分布函数F y P Y y P g X y Yf X x dxg x y（2）利用关系 fY (y) = FY(y),求Y = g ( X )的密度函数.32例3: 设随量 X 具有概率密度, x ,0 x 4其他f X (x) 8 0,试求

16、Y=2X+8 的概率密度.(1) 设 Y 的分布函数为 FY (y)FY y P Y y P 2 X 8 y 解:y 8 F y 8 P X X 22FY y y 8f X x dx2则33例3（续）fY ( y) = FY( y) 可以求得(2)利用 y 8 y 8 y ffYX22 1 y 8 1 ,y 8 40 8 2022,其它 y 8 ,8 y 16其它34f y 320故Y,例4 设 X 具有概率密度 f X ( x) , 求 Y = X 2 的概率密度FY ( y)(1) 设Y 和X 的分布函数分别为解:FX ( x)和 y 0因为 Y X 2 0 ，所以 y 0 时，FY y

17、P Y y 当 y 0 时，FY P X 2 P y y y X y FXy FX35例4（续）fY ( y) FY ( y)(2)利用可以求得y 1 fy 0fy,f y 2y XXYy 00,36当 y=g(x) 是单调函数时有：定理:量 X 只在(a,b)上取若连续型随值，它的概率密度为 fX(x)，又 y =(x) 是严格单调的可导函数，则Y =(X )是连续型随量，其概率密度为 ( y) y 其他f( y).0( y) XfY其中 x = (y) 是 y =(x) 的反函数，(, )是y =(x),a x 0时是单调增的，且 y 的值域为(0,1)。可以求出其反函数为x 1 ln(1 y),y (0,1)所以2( 1 ln(1 y) | ( 1 ln(1 y)|f ( y) fY22 (1 y) 2exp2 1 ln(1