空间统计分析方法

1、第5讲 空间统计分析讲课人：王 杰Email: wangjie09安徽大学 资源与环境工程学院地理信息系统科研方法课程空间统计分析方法第1页本讲内容探索性空间统计分析地统计分析方法 空间统计分析方法第2页空间统计分析,即空间数据（spatial data）统计分析，是当代计量地理学中一个快速发展方向和领域。空间统计分析，其关键就是认识与地理位置相关数据间空间依赖、空间关联或空间自相关，经过空间位置建立数据间统计关系。空间统计分析任务，就是利用相关统计方法，建立空间统计模型，从凌乱数据中挖掘空间自相关与空间变异规律。 空间统计分析空间统计分析方法第3页空间数据分析与传统统计分析主要有两大差异：(

2、1)空间数据间并非独立，而是在维空间中含有某种空间相关性，且在不一样空间分辨率下展现不一样之相关程度；(2)地球只有一个，大多数空间问题仅有一组（空间分布不规则）观察值，而无重复观察数据。所以，空间现象了解与描述是极为复杂，而传统方法，尤其是建立在独立样本上统计方法，不适合分析空间数据。空间统计 VS. 经典统计经典统计：独立性、随机性假设空间统计：自相关、依赖性、异质性空间统计分析方法第4页地理学第一定律（FLG）: everything is related to everything else, but near things are more related than distant

3、things (Tobler,1970).空间统计基本思想：Waldo Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November birthday. /wiki/Waldo_R._Tobler Tobler, W. R. (1970). A computer movie simulating urban growth in the Detroit region. Economic Geography, 46(2): 234-240.FLG普通性

4、: 自然地理、人文地理、社会经济空间统计分析方法第5页空间自相关是普遍存在，不然地理分析便没有多大意义。 经典统计：独立 空间自相关存在，使得经典统计学所要求样本独立性假设不满足。假如地理学从根本上值得研究，必定是因为地理现象在空间上改变不是随机。 经典统计：随机空间统计分析方法第6页能够借助空间统计更加好地了解地理现象。 或许学习空间统计最主要原因是我们不但仅想知道问题“怎么样”，更想知道“哪里怎么样” 空间统计学能够帮助我们准确地判断详细地理模式原因。 John Snow霍乱地图 当发觉某种病仅仅发生在靠近河流村庄时，河流中寄生物可能是病源。空间统计学能够帮助我们处理大复杂数据集, 这是G

5、IS经常面正确事情。为何要用空间统计空间统计分析方法第7页霍乱病死者居住分布图(John Snow, 1854)1854年8月到9月英国伦敦霍乱流行时，当局一直找不到发病原因，以后医生约翰斯诺(John Snow) 参加调查。他在绘有霍乱流行地域全部道路、房屋、饮用水机井等内容1：6500百分比尺地图上，标出了每个霍乱病死者居住位置，得到了霍乱病死者居住分布图。空间统计分析方法第8页一. 探索性空间统计分析 基本原理与方法 应用实例 空间统计分析方法第9页探索性空间数据分析(ESDA)ESDA是指利用统计学原理和图形图表相结合对空间信息性质进行分析、判别，用以引导确定性模型结构和解法。 ESD

6、A与EDA区分在于它考虑了数据空间特征，在方法上它将数据分解为普通趋势和叠加于其上局部改变两部分。然后用一定数学函数去拟合由样本点产生经验变率函数，进行诸如克立格内插等空间操作。空间统计分析方法第10页 通常定义一个二元对称空间权重矩阵W，来表示n个位置空间区域邻近关系，其形式以下式中：Wij表示区域i与j临近关系，它能够依据邻接标准或距离标准来度量。 1. 基本原理与方法 （一）空间权重矩阵 空间统计分析方法第11页 简单二进制邻接矩阵 基于距离二进制空间权重矩阵 两种最惯用确实定空间权重矩阵规则 空间统计分析方法第12页（二）全局空间自相关 Moran指数反应是空间邻接或空间邻近区域单元属

7、性值相同程度。 Geary 系数与Moran指数存在负相关关系。 Patrick A.P.Moran （1917-1988） Moran指数和Geary系数是两个用来度量空间自相关全局指标。 全局空间自相关概括了在一个总空间范围内空间依赖程度。空间统计分析方法第13页 假如是位置（区域）观察值，则该变量全局Moran指数I，用以下公式计算 式中： I 为Moran指数； ；。空间统计分析方法第14页 Geary 系数C计算公式以下 式中：C为Geary系数；其它变量同上式。 假如引入记号 空间统计分析方法第15页 则全局Moran指数I计算公式也能够深入写成 Moran指数I取值普通在-1，1

8、之间,小于0表示负相关，等于0表示不相关，大于0表示正相关； Geary系数C取值普通在0，2之间，大于1表示负相关，等于1表示不相关，而小于1表示正相关。 空间统计分析方法第16页 （三）局部空间自相关 描述一个空间单元与其领域相同程度，能够表示每个局部单元服从全局总趋势程度（包含方向和量级），反应了空间异质性，说明空间依赖是怎样随位置改变。 局部空间自相关分析方法包含3种: 空间联络局部指标(LISA)； G统计量； Moran散点图空间统计分析方法第17页空间联络局部指标(LISA) 空间联络局部指标（local indicators of spatial association ，缩写

9、为LISA）满足以下两个条件： （1）每个区域单元LISA，是描述该区域单元周围显著相同值区域单元之间空间集聚程度指标； （2）全部区域单元LISA总和与全局空间联络指标成百分比。空间统计分析方法第18页 LISA包含局部Moran指数（local Moran index）和局部Geary指数（local Geary index），下面重点介绍和讨论局部Moran指数。空间统计分析方法第19页局部Moran指数被定义为可深入写成 式中： 和 是经过标准差标准化观察值。局部Moran指数检验标准化统计量为 空间统计分析方法第20页 G统计量 全局G统计量计算公式为对每一个区域单元统计量为 探测区

10、域单元是属于高值集聚还是低值集聚空间分布模式.空间统计分析方法第21页 对统计量检验与局部Moran指数相同，其检验值为 显著正值表示在该区域单元周围，高观察值区域单元趋于空间集聚，而显著负值表示低观察值区域单元趋于空间集聚,与Moran指数只能发觉相同值(正关联)或非相同性观察值(负关联)空间集聚模式相比，含有能够探测出区域单元属于高值集聚还是低值集聚空间分布模式。空间统计分析方法第22页 Moran散点图 以（Wz，z）为坐标点Moran散点图，常来研究局部空间不稳定性，它对空间滞后因子Wz和z数据对进行了可视化二维图示。 全局Moran指数，能够看作是Wz对于z线性回归系数，对界外值以及

11、对Moran指数含有强烈影响区域单元，可经过标准回归来诊疗出。 因为数据对（Wz，z）经过了标准化，所以界外值可易由2sigma规则可视化地识别出来。空间统计分析方法第23页 Moran散点图4个象限，分别对应于区域单元与其邻居之间4种类型局部空间联络形式： 第1象限代表了高观察值区域单元被高值区域所包围空间联络形式； 第2象限代表了低观察值区域单元被高值区域所包围空间联络形式；空间统计分析方法第24页 第3象限代表了低观察值区域单元被低值区域所包围空间联络形式； 第4象限代表了高观察值区域单元被低值区域所包围空间联络形式。空间统计分析方法第25页2. 应用实例 中国大陆30个省级行政区人均G

12、DP空间关联分析。依据各省（直辖市、自治区）之间邻接关系，采取二进制邻接权重矩阵，选取各省（直辖市、自治区）1998人均GDP自然对数，依照公式计算全局Moran指数I，计算其检验标准化统计量Z（I），结果以下表所表示。年份IZP19980.50014.503 50.000 019990.506 94.555 10.000 00.511 24.597 80.000 00.505 94.553 20.000 00.501 34.532 60.000 0空间统计分析方法第26页 从表中能够看出，在1998期间，中国大陆30个省级行政区人均GDP全局Moran指数均为正值；在正态分布假设之上，对Mo

13、ran指数检验结果也高度显著。这就是说，在1998期间，中国大陆30个省级行政区人均GDP存在着显著、正空间自相关，也就是说各省级行政区人均GDP水平空间分布表现出相同值之间空间集聚，其空间联络特征是：较高人均GDP水平省级行政区相对地趋于和较高人均GDP水平省级行政区相邻，或者较低人均GDP水平省级行政区相对地趋于和较低人均GDP水平省级行政区相邻。空间统计分析方法第27页 选取我国30个省级行政区人均GDP数据，计算局部Gi统计量和局部Gi统计量检验值Z(Gi)，并绘制统计地图以下。空间统计分析方法第28页 检验结果表明，贵州、四川、云南西部3省Z值在0.05显著性水平下显著，重庆Z值在0

14、.1显著性水平下显著，该4省市在空间上相连成片分布，而且从统计学意义上来说，与该区域相邻省区，其人均GDP趋于为一样是人均GDP低值省区所包围。由此形成人均GDP低值与低值空间集聚，据此可认识到西部落后省区趋于空间集聚分布特征。 空间统计分析方法第29页 东部江苏、上海、浙江三省市Z值在0.05显著性水平下显著，天津Z值在0.1显著性水平下显著。而东部上海、江浙等发达省市趋于为一些相邻经济发展水平相对较高省份所包围，东部发达地域空间集聚分布特征也显现出来。空间统计分析方法第30页 以（Wz,z）为坐标，深入绘制Moran散点图 能够发觉，多数省（直辖市、自治区）位于第1和第3象限内，为正空间联

15、络，属于低低集聚和高高集聚类型，而且位于第3象限内低低集聚类型省（直辖市、自治区）比位于第1象限内高高集聚类型省（直辖市、自治区）更多一些。空间统计分析方法第31页空间统计分析方法第32页 上图深入显示了30个省级行政区人均GDP局部集聚空间结构。能够看出，从人均GDP水平相对地来看： 高值被高值包围高高集聚省（直辖市）有：北京、天津、河南、安徽、湖北、江西、海南、广东、福建、浙江、山东、上海、江苏； 低值被低值包围低低集聚省（自治区）有：黑龙江、内蒙古、新疆、吉林、甘肃、山西、陕西、青海、西藏、四川、云南、辽宁、贵州； 被低值包围高值省（直辖市）有：重庆、广西、河北；被高值包围低值省份只有湖

16、南。空间统计分析方法第33页1978、1990、全国各省市人均GDPLISA显著水平图空间统计分析方法第34页二、地统计分析方法地统计方法基本原理 应用实例 空间统计分析方法第35页地统计学(Geostatistics), 又称地质统计学，是法国著名统计学家G.Matheron在大量理论研究基础上提出。地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上现有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性，或空间格局与变异，并对这些数据进行最优无偏内插预计，或模拟这些数据离散性、波动性。协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为基础建立起来地统计学两个最基本函数。地统计学主要方法之一

17、，克立格法就是建立在变异函数理论和结构分析基础之上。 空间统计分析方法第36页 当一个变量展现为空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量经常反应某种空间现象特征，用区域化变量来描述现象称之为区域化现象。 区域化变量，亦称区域化随机变量，G. Matheron（1963）将它定义为以空间点x三个直角坐标为自变量随机场 区域化变量含有两个最显著，而且也是最主要特征，即随机性和结构性。1. 地统计方法基本原理 （一）区域化变量 空间统计分析方法第37页区域化变量功效：由于区域化变量是一种随机函数，因而能同时反映空间变量结构性和随机性。一方面，当空间点 x 固定后，Z(x)就是一个随机变量，这体现了其

18、随机性。其次，在空间两个不一样点 x 与 x+h 处区域化变量值具有某种程度相关性，这体现了其结构性。空间统计分析方法第38页区域化变量组成部分 数据点结构性 能够用均值和常数趋势表示空间相关 数据通常展现正空间相关性 随机性 测量误差，其它误差 空间统计分析方法第39页distance elevation结构性随机性实际值空间统计分析方法第40页（二）协方差函数 协方差函数概念 区域化随机变量之间差异，能够用空间协方差来表示。 在概率论中,随机向量X与Y协方差被定义为 区域化变量 在空间点x和x+h处两个随机变量和二阶混合中心矩定义为Z(x)自协方差函数，即（4.2.2）(4.2.1)空间统

19、计分析方法第41页协方差函数计算公式 式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后； 为 在空间位置 处实测值； 是 在 处距离偏离h实测值i=1，2， ， 是分隔距离为h时样本点对（paris）总数， 和 分别为 和 样本平均数,即 (4.2.3)(4.2.4)(4.2.5)空间统计分析方法第42页 若 = =m（常数），则上式能够改写为 式中：m为样本平均数，可由普通算术平均数公式求得，即 (4.2.6)空间统计分析方法第43页（三）变异函数 变异函数概念 变异函数(variograms)，又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有基本工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上改

20、变时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处值Z(x)与Z(x+h)差方差二分之一为区域化变量Z(x)在x轴方向上变异函数，记为(h)，即 (4.2.7)空间统计分析方法第44页 在二阶平稳假设条件下，对任意h有 所以，公式能够改写为 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量 x和h，当变异函数 仅仅依赖于距离h而与位置x无关时， 可改写成 ，即 (4.2.9)(4.2.8)空间统计分析方法第45页变异函数性质 设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设条件下，变异函数式含有以下性质： (1) =0，即在h=0处，变异函数为0； (2) = ，即 关于直线h=0是对称，它是一个偶函数； (3) 0，即

21、 只能大于或等于0；空间统计分析方法第46页变异函数计算公式 设 是系统某属性Z在空间位置x处值， 为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离， 和 分别是区域化变量 在空间位置 和 处实测值i=1,2,N(h)，那么，变异函数 离散计算公式为(4.2.10)空间统计分析方法第47页 这么对不一样空间分隔距离h，计算出对应 和 值。假如分别以h为横坐标， 或 为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就能够直接展示区域化变量Z(x)空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和空间结构分析有效工具

22、。空间统计分析方法第48页空间统计分析方法第49页比如：假设某地域降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观察值空间正方形网格数据如图4.2.1所表示（点与点之间距离为h=1 km）。试计算其南北方向及西北和东南方向变异函数。空间统计分析方法第50页图4.2.1 空间正方形网格数据（点间距h=1 km） 从图4.2.1能够看出，空间上有些点，因为某种原因没有采集到。假如没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值情况下，也能够计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（图4.2.2）。空间统计分析方法第51页图4.2.2 缺失值情况下样本数对组成和

23、计算过程为缺失值 空间统计分析方法第52页图1 空间正方形网格数据（点间距h=1km） 空间统计分析方法第53页图2 空间正方形网格数据（点间距h=2km） 空间统计分析方法第54页 首先计算南北方向上变异函数值，由变异函数计算公式可得 =385/72=5.35 图4.2.2 缺失值情况下样本数对组成和计算过程为缺失值 空间统计分析方法第55页 一样计算出 最终，得到南北方向和西北东南方向上变异函数计算结果见下表。一样能够计算东西方向上变异函数。 方向 南北 方向 西北东南 h12345h1.412.824.245.657.07N(h) 36 27 21 13 5 N(h) 322113825

24、.359.2617.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00空间统计分析方法第56页变异函数参数 变异函数有4个非常主要参数，即基台值（sill）、变程（range）或称空间依赖范围（range of spatial dependence）、块金值（nugget）或称区域不连续性值（localized discontinuity）和分维数（fractal dimension）。 前3个参数能够直接从变异函数图中得到。它们决定变异函数形状与结构。 变异函数形状反应自然现象空间分布结构或空间相关类型，同时还能给出这种空间相关范围。空间统计分析方法第57页 当变异函数

25、伴随间隔距离h增大，从非零值到达一个相对稳定常数时，该常数称为基台值C0+C。 当间隔距离h=0时，(0)= C0，该值称为块金值或块金方差（nugget variance）。 基台值是系统或系统属性中最大变异，变异函数到达基台值时间隔距离a称为变程。变程表示在ha以后，区域化变量Z(x)空间相关性消失。空间统计分析方法第58页 第4个参数，即分维数用于表示变异函数特征，由变异函数 和间隔距离h之间关系确定 其中，分维数D为双对数直线回归方程中斜率，它是一个无量纲数。分维数D大小，表示变异函数曲线曲率，能够作为随机变异量度。空间统计分析方法第59页理论变异函数模型实践中，惯用是变异函数图：偏基

26、台值:C(partial sill)块金值:C0(nugget)变程: a(range)h基台值(sill)not related anymore变程范围内才有结构性改变（有规律改变）反应随机性大小：主要起源于区域化变量Z(x)在小于抽样尺度h时所含有内部变异；另外还有抽样分析误差。变异函数是一个单调不减函数。当h超出某一个范围，比如变程，变异函数不再增大，而是趋于一个极限值，即为基台值。实际上等于区域化变量先验方差。即，即基台值与块金值之差，表示数据中存在空间相关性引发方差改变范围。空间统计分析方法第60页变异函数理论模型 地统计学将变异函数理论模型分为3大类： 第1类是有基台值模型，包含球

27、状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型； 第2类是无基台值模型，包含幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型； 第3类是孔穴效应模型。 下面有代表性地介绍几个常见变异函数理论模型。 空间统计分析方法第61页纯块金效应模型:其普通公式为 式中：c00，为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布，样本点间协方差函数对于全部距离h均等于0，变量空间相关不存在。 (4.2.11)空间统计分析方法第62页 球状模型:其普通公式为 式中：c0为块金（效应）常数;c为拱高;c0+c为基台值;a为变程。当c0=0，c=1时，称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛理论模型，许

28、多区域化变量理论模型都能够用该模型去拟合。 (4.2.12)空间统计分析方法第63页 指数模型:其普通公式为 式中：c0和c意义与前相同，但a不是变程。当h=3时， ，即 ，从而指数模型变程 约为 约为3a。当c0=0，c=1时，称为标准指数模型。(4.2.13)空间统计分析方法第64页 高斯模型:其普通公式为 式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当 时， ，即 ，所以高斯模型变程 约为 。当 时，称为标准高斯函数模型。(4.2.14)空间统计分析方法第65页幂函数模型:其普通公式为 式中：为幂指数。当改变时，这种模型能够反应在原点附近各种性状。不过必须小于2，若 ，则函数 就不再是一个

29、条件非负定函数了，也就是说它已经不能成为变异函数了。 (4.2.15)空间统计分析方法第66页 对数模型:其普通公式为 显然，当 ，这与变异函数性质 不符 。所以，对数模型不能描述点支撑上区域化变量结构。(4.2.16)空间统计分析方法第67页 线性有基台值模型:其普通公式为 式中:该模型变程为a，基台值为 。 线性无基台值模型:其普通公式为 从式中能够看出，该模型没有基台值，也没有变程。 (4.2.18)(4.2.17)空间统计分析方法第68页空间统计分析方法第69页比如:某地域降水量是一个区域化变量，其变异函数 实测值及距离h关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。实测

30、值(h)距离h实测值(h)距离h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8空间统计分析方法第70页 从上面介绍和讨论，我们知道，球状变异函数普通形式为 当 时，有空间统计分析方法第71页 假如记 ，则能够得到线性模型 依据表中数据，对上式进行最小二乘拟合，得到 (4.2.20) 计算可知，上式显著性检验参数F=114.054，R2=0.962，可见模型拟合效果是很好。(4.2.19)空间统计分析方法第72页 比较(4.2.20)式与(4.2.19)式，并做简单计算可知：c0=2.04

31、8，c=1.154，a=8.353，所以，球状变异函数模型为(4.2.21)空间统计分析方法第73页 (四)克立格插值方法 克立格（Kriging）插值法，又称空间局部预计或空间局部插值法。它建立在变异函数理论及结构分析基础之上，在有限区域内对区域化变量取值进行无偏最优预计一个方法。 克立格法适用条件是，假如变异函数和相关分析结果表明区域化变量存在空间相关性。 其实质是利用区域化变量原始数据和变异函数结构特点，对未采样点区域化变量取值进行线性无偏、最优预计。详细来说，它是依据待估样点(或待估块段)有限邻域内若干已测定样点数据，在认真考虑样点形状、大小和空间相互位置关系，它们与待估样点相互空间位

32、置关系，以及变异函数提供结构信息之后，对该待估样点值进行一个线性无偏最优预计。空间统计分析方法第74页 克立格插值（kriging interpolation)是依据变异函数模型而发展起来一系列地统计空间插值方法，包含： 普通克立格法（ordinary kriging）; 泛克立格法（universal kriging）; 指示克立格法（indicator kriging）; 析取克立格法（disjunctive kriging）; 协同克立格法（cokriging）等。 下面仅对普通克立格法作一些简单介绍。 空间统计分析方法第75页 首先假设区域化变量 满足二阶平稳假设和本征假设，其数学期望

33、为m，协方差函数 及变异函数 存在。即 假设在待预计点（x）临域内共有n个实测点，即x1，x2，xn，其样本值为 。那么，普通克里格法插值公式为 (4.2.22)空间统计分析方法第76页 其中 为权重系数，表示各空间样本点 处观察值 对预计值 贡献程度。 可见，克立格插值关键就是计算权重系数 。显然，权重系数求取必须满足两个条件： 一是使 预计是无偏，即偏差数学期望为零； 二是最优，即使预计值 和实际值 之差平方和最小。 为此，需要满足以下两个条件：空间统计分析方法第77页 (1)无偏性。要使 成为 无偏预计量，即 。 当 时，也就是当 时，则有 这时， 为 无偏预计量。 （2）最优性。在满足

34、无偏性条件下，预计方差为(4.2.23)空间统计分析方法第78页2. 应用实例 年降水量和蒸发量，既服从地带性规律，同时又受随机性原因影响，所以它们是经典区域化变量。我们以甘肃省53个气象台站多年平均降水量和蒸发量数据为实测值，拟合了年降水量和蒸发量半变异函数理论模型，并采取普通克立格法和双变量协同克里格法，做了空间插值计算，结论以下。 空间统计分析方法第79页 （一）半变异函数 半变异函数模型，是克立格空间插值前提条件，同时它也决定着空间插值精度。普通情况下，半变异函数模型是依据半变异函数云图分布，选择适当理论模型，按照预计方差最小标准，利用最小二乘法求得。图4.2.4和图4.2.5分别给出了年降水量和年蒸发量半变异函数云图。 图4.2.4 年降水量半变异函数云图 图4.2.4 年降水量半变异函数云图 空间统计分析方法第