勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法

1、勾股定理 ( 毕达哥拉斯定理 ) 及各种证明方法勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理 是一个 初等几何定理 ，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一， 也是数形结合的纽带之一。 勾股定理 是余弦定理 的一个特例。勾股定理 约有 400 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的 定理之一。“勾三股四弦五 ”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程 a2 + b2= c 2的正整数组 ( a, b, c) 。(3,4,5) 就是勾股数 。也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

2、。勾股定理命题 1 如果直角三角形 的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么。勾股定理的逆定理命题 2 如果三角形的三边长a， b，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。【证法 1】（赵爽证明）以 a、b 为直角边（ ba）， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形， 则每个直角三角形的面积等于 1 ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.2 RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90o， EAB + HAD =90o，ABCD是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90o.EFGH是

3、一个边长为 ba的正方形，它的面积等于.【证法 2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 .即，整理得.【证法 3】（1876年美国总统 Garfield证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上 . Rt EAD Rt CBE, ADE = BEC. AED + ADE = 9

4、0o, AED + BEC = 90o. DEC = 180o90o= 90o.DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于. 又 DAE = 90o,EBC = 90o, ADBC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. .【趣闻】：在 1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外， 有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着， 突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角

5、形。 于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到： “那斜边的平方一定等于 5的平方加上 7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步， 立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理， 并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在新英

6、格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。【证法 4】（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状， 使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作CLDE，交 AB于点 M，交 DE于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD，FAB GAD，FAB的面积等于 ， GAD的面积等于矩形 ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM的面积 = . 同理可证，矩形 MLEB的面积=. 正方形 AD

7、EB的面积 = 矩形 ADLM的面积 +矩形 MLEB的面积，即.【证法 5】（利用相似三角形性质证明）如图，在 RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C作 CDAB，垂足是 D. 在ADC和ACB中， ADC= ACB= 90o，CAD= BAC，ADCACB.ADAC = AC AB，即.同理可证，CDB ACB，从而有.，即【证法 6】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上， C

8、、G、D 三点在一条直线上 .Rt HAE Rt EBF, AHE=BEF. AEH + AHE = 90o, AEH + BEF = 90o. HEF = 180o90o= 90o. 四边形 EFGH是一个边长为 c 的正方形 .它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD+ GHD= 90o, EHA+ GHD= 90o.又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o.ABCD是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于. .【证法 7】（利用切割线定理证明）在 Rt ABC中，设直角边 BC= a，AC= b，斜边 AB = c.如图，以 B为圆心 a 为半径作圆，交 AB及 AB的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a.因为 BCA = 90o，点 C在B上，所以 AC是 B 的切线 .由切割线定理，得=，即，.【证法 8】（作直角三角形