几何模型：三垂直模型

1、三垂直模型引例 在 ABC中， C =90 , AC BC ,直线 MN经过点 C，且 AD MM ,BE MN （1） MN绕点 C旋转到图 1的位置时，探究 DE,AD,BE之间的数量关系并证明。（2） MN绕点 C旋转到图 2的位置时，请你在（1）中的结论是否发生变化?写出你的猜想并证明。（ 3） MN绕点 C旋转到图 1的位置时，请你在（1）中的结论是否发生变化?写出你的猜想并证明。典题精炼：例 1.(1)已知：如图，ACB90 , CDAB，CEBC, 过E点作 AC的垂线，交CD的延长线于点 F, 求证： AB=FC(2) 如图，DCE=90,CD=CE,ADAC,BEAC, 垂足

2、分别是A,B. 若 AD=4,AB=3 ,求 BE的长度 .例2.如图所示，直角梯形ABCD中 ,ABC=90,AD PBC,AB=BC,E是的中点 ,CEBD1）求证： BE=AD2）求证： AC是线段 ED的垂直平分线3） DBC 是等腰三角形吗 请说明理由三垂直模型一选择题1如图，直线 l 过等腰直角三角形ABC 顶点 B， A 、 C 两点到直线 l 的距离分别是2和3，则 AB 的长是（）A5BCD2如图， AE AB 且 AE=AB ，BC CD 且 BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A 50B 62C 65D 683如图，已知直线l 1

3、l 2 l3 l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则AD=（）A B 2CD 3354如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合然后绕直角顶点顺时针旋转30，恰好 B 点在中间的一条直线上，A 点在下面的一条直线上上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么 n： m 等于（）A ：1B（1）：1C（+1）：1D2：5如图， 在直线 L 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、 S2 、S3、 S4，则 S1+2S2+2S3+S4

4、=（）A 7.5B 6.5C 4.5D 46如图， ABC 是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ， D= E=90 ，则下列结论正确的个数有（）CD=AE ； 1= 2； 3= 4； AD=BE A1 个B2个C3 个D4 个7如图所示， AB BC，CD BC ，垂足分别为B 、C，AB=BC ，E 为 BC 的中点，且 AE BD于 F，若 CD=4cm ，则 AB 的长度为（）A 4cmB 8cmC 9cmD 10cm8如图，在 ABC 中， C=90， AC=BC=4 ， D 是 AB 的中点，点 E、 F 分别在 AC 、 BC 边上运动（点 E 不与点 A 、C 重合），且保持

5、AE=CF ，连接 DE 、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论： DFE 是等腰直角三角形； 四边形 CEDF 不可能为正方形； 四边形 CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化； 点 C 到线段 EF 的最大距离为其中正确结论的个数是（）A1 个B2个C3 个D4 个9如图，在 ABC 中，已知 C=90 ，AC=BC=4 ， D 是 AB 的中点，点 E、 F 分别在 AC 、 BC 边上运动（点 E 不与点 A 、 C 重合），且保持 AE=CF ，连接 DE 、 DF、 EF在此运动变化的过程中，有下列结论： 四边形 CEDF 有可能成为正方形； DFE 是等腰直角三角形；

6、 四边形 CEDF 的面积是定值； 点 C 到线段 EF 的最大距离为其中正确的结论是（）A B C D 10在直角三角形ABC 中， C=90，BC=2 ，以 AB 为边作正方形ABDE ，连接 AD 、BE交 O，CO=，则 AC 的长为（）A 2B3C4D11两个全等含30、 60角的三角板ADE 与三角板ABC 按如图所示放置，E、 A 、 C 三点在同一条直线上， 连接 BD，取 BD 的中点 M ，分别连接ME 、MC ，那么 MEC 等于（）A 30B 60C 45D 8012如图， D 为 ABC 的 AB 边上的一点， DCA= B，若 AC=cm，AB=3cm ，则 AD的

7、长为（）A cmBcmC 2cmDcm13如图，正方形G、 H 分别落在边ABCD 的边长为 25，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的顶点 AD 、 AB 、 BC、 CD 上，则每个小正方形的边长为（ ）E、F、A 6B 5CD二填空题（共4 小题）14如图所示，直线于点 F，DE a 于点a 经过正方形ABCD 的顶点 A ，分别过正方形的顶点E，若 DE=8 ，BF=5 ，则 EF 的长为_B、 D作 BF a14图15图15如图所示，在 ABC 中， AB=AC=2 ， BAC=90 ，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两边 PE，PF 分别交 AB ，AC 于点 E，

8、F，给出以下四个结论： BE=AF ， SEPF 的最小值为， tan PEF=， S 四边形 AEPF=1 ， 当 EPF 在 ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与 A ， B 重合），上述结论始终正确是_16如图所示，在 ABC 中， C=90， AC=BC=4 ，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC 、 BC 边上运动（点 E 不与点 A ， C 重合），且保持 AE=CF ，连接 DE ， DF， EF在此运动变化过程中，有下列结论： DEF 是等腰直角三角形 四边形 CEDF 不可能为正方形 四边形 CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化 点 C 到线段 EF 的最

9、大距离为其中正确的有_（填上你认为正确结论的所有序号）17如图， RtABC 中，AC=BC ，ACB=90 ，CF 交 AB 于 E，BD CF，AF CF，DF=5 ， AF=3 ，则 CF= _ 三解答题18（ 1）如图（ 1），已知：在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，直线 m 经过点 A ， BD 直线 m， CE 直线 m，垂足分别为点 D、 E证明： DE=BD+CE （2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改为：在 ABC 中， AB=AC ，D、A、 E 三点都在直线 m 上，并且有 BDA= AEC= BAC= ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE

10、 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（ 3）， D 、E 是 D、 A 、 E 三点所在直线 m 上的两动点（ D、 A 、 E 三点互不重合） ，点 F 为 BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接 BD 、 CE，若 BDA= AEC= BAC ，试判断 DEF 的形状19（本题有 3 小题，第（ 1）小题为必答题，满分 5 分；第（ 2）、（3）小题为选答题，其中，第（ 2）小题满分 3 分，第（ 3）小题满分 6 分，请从中任选 1 小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分）在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC

11、，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D ，BE MN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图1的位置时，求证： ADC CEB ； DE=AD+BE ；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明注意：第（ 2）、（ 3）小题你选答的是第2 小题20已知：如图，在 Rt ABC 中， ACB=90 ， AC=BC ，D 是 AB 的中点， E、 F 分别在 AC 、 BC 上，且 ED FD 求证： S 四边形 EDFC

12、= SABC 21如图， 在等腰 Rt ABC 中， C=90 ，D交 CD 的延长线于 F， CH AB 于 H，交 AE是斜边 AB 上任一点， AE CD 于 E，BF CD 于 G，求证： BD=CG 22如图， 已知在 CDE 中， DCE=90 ，CD=CE ，直线 AB 经过点 C，DA AB ，EB AB ，垂足分别为 A 、B ，试说明 AC=BE 的理由解：因为 DA AB ， EBAB （已知）所以 A= （_）因为 DCA= A+ ADC （_）即 DCE+ RCB= A+ ADC 又因为 DCE=90 ，所以 _= ECB 在 ADC 和 ECB 中，所以 ADC ECB （_）所以 AC=BE （_）23在 ABC 中， ACB=90 ，AC=BC ，直线