向量及其线性关系

1、2.3 向量间的线性关系一、向量的线性组合考虑线性方程组例得令第 1 个方程第 2 个方程第 3 个方程称 是 或的线性组合.可以由 线性表示.1 定义2.8 成立，使关系式由向量组如果存在一组实数 或称可以则称可以表为的线性组合,向量组线性表示. 设 2Rn 中，称为n 维单位向量组 Rn 中的任一向量，单位向量组 线性表示.都可以由在 n 维向量空间 3例1 可以表为的线性组合设4例2 解 即方程组无解,线性表示.判断 能否由 线性表示.不能由 设设5(2.10)( 2.10 )(2.10)即方程组(2.10)有解可以由线性表示.方程组(2.10)无解不能由线性表示.即6( 2.10 )即

2、如果方程组(2.10)可以由向量组线性表示,( 2.10 )则且表示法唯一;如果方程组 可由向量组则线性表示,且表示法不唯一.(2.10)有无穷多解,即有唯一解,7例方程组有唯一解：方程组可写为：表法唯一；例方程组有无穷多解.方程组可写为表法不唯一.8总有解总有解零向量可以表示为任一向量组的线性组合.即9 二、 线性相关与线性无关考虑线性方程组例得令第 1 个方程第 2 个方程第 3 个方程10称 线性相关.11例 只有当系数即只有都是0时,才有称 线性无关.12 定义2.9 对于 中的向量组如果存在 个不全为0的实数使得则称向量组线性相关. 定义2.10 中的向量组如果不是线性相关,就称为线

3、性无关.换句话说,如果只有当才有时,则称向量组线性无关.13说明:当系数问:若有若没有不全为0的则称则称线性相关;当然成立.上式是否也可能成立?使上式成立,使上式成立,对任意s个n 维向量时，不全为0时,不全为0,当线性无关.14例如向量组只有当系数向量组线性相关.时,才有线性无关.如果15 三、 有关线性相关与无关的一些结论16系数 一个向量组中例则这个向量组线性相关.必线性相关.所以不全为0,若含有零向量，17s个向量存在s个不全为0的数当s =1 时,1个向量1线性相关存在1个存在同时 一个向量构成的向量组不全为0的数 线性相关使线性相关使一个向量构成的向量组 线性无关使18例不全为0,

4、故1,2 ,s线性相关. 一个向量组中则这个向量组必线性相关。若有两个向量的对应分量成比例,19当s=2时,2个向量1,2线性相关存在2个不妨设1,2的对应分量两个向量线性相关不全为0的数s个向量存在s个不全为0的数使线性相关使它们的对应分量成比例.设成比例.则20 四、的一些方法判别向量组是否线性相关21 线性相关齐次线性方程组有非零解.是n维向量组 线性无关齐次线性方程组仅有零解.定理22存在不全为0的数存在不全为0的数存在不全为0的数齐次线性方程组(2.12)有非零解.使使使得证 线性相关23齐次线性方程组有非零解. 线性相关24定理向量组线性相关（无关）25（无关）秩定理向量组线性相关

5、26当m n时 推论 是向量组所含向量的个数；是每个向量的维数. 此向量组一定线性相关.小于 线性相关 线性相关向量的维数,当向量组中向量组中所含向量的个数时，27例如:n+1个n维向量5个3维向量线性相关;线性相关线性相关2个1维向量,3个2维向量,4个3维向量线性相关;线性相关.28当 时, 线性相关（无关）秩29例线性无关.30例 解 线性相关判断向量组1 2 3 只作行变换的线性相关性.相关，写出向量间的一个非平凡的线性关系.如果线性31例判别向量组是否线性相关,如果线性相关，写出向量间的一个非平凡的线性关系.解 只作行变换线性相关.非平凡的线性关系.是向量间的一个32例判别向量组是否

6、线性相关,如果线性相关,试写出向量间的一个非平凡的线性关系.解线性无关.33向量组存在一组不全为0的数是向量组 存在一组数 无不全为 0 的要求如是使使 线性相关的线性组合1,2的线性组合.34例 线性无关,讨论向量组 的线性相关性.解设整理,得线性无关,即已知向量组 35其系数行列式为解当s为奇数时,方程组(*)有非零解,当s为偶数时,故存在不全使(*)式成立,此时方程组(*)仅有零解,此时线性无关.为0的线性相关.36向量组的线性组合.线性相关其中至少有一个向量是的充要条件是：其余s-1个向量 定理2.6 五、 有关线性相关与无关的定理例如：1,2,3线性相关的线性组合.3是1 ,2的线性

7、组合.2是1 ,337向量组的线性组合.线性相关其中至少有一个向量是的充要条件是：其余s-1个向量 定理2.6 证 则存在一组不全为0的数不妨设即1为 设 即1为使线性相关.的线性组合.其余s-1个向量的线性组合.必要性 则38线性相关中至少有一个向量是其余s-1个向量充分性 不妨设1是移项,得不全为0 线性相关.证毕中至少有一个向量是其余向量的线性组合,则的线性组合，设的线性组合.39线性相关中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合.线性无关中任意一个向量其余s-1个向量的线性组合.都不是40例如：设向量可由向量组如果则表示方法线性表示,定理.7 在中则表示方法不唯一;线性无关,表法不唯

8、一.表法唯一.是唯一的.线性相关,如果41证设证表法唯一：两式相减,得因为即由设的方法是唯一的.设向量可由向量组线性表示,定理.7 在中则表示方法是唯一的.线性无关,所以线性表示如果线性无关,线性无关,42设向量可由向量组如果则表法不唯一.线性表示,定理.7 在 中，证设证表法不唯一：设则存在不全为零使得又因不全为零,故式与的系数不全即 由向量组不唯一.的实数相同.线性相关,线性表示的方法线性相关,43如 Rn 中的任一向量 都可以由单位向量组 线性表示.线性无关， 可以由线性表示的方法是唯一的.44证 所以存在一组不全为0的数若k=0,不全为零不全为零则得到可由1,2,s线性表示.矛盾.线性

9、无关,则可由而向量组 线性相关,定理 如果向量组 线性表示,且表法唯一.使得线性相关.且表法唯一.线性相关,因为45 定理 则整个向量组线性相关,有一部分向量(称为部分组) 如果向量组中如线性相关.系数不全为零.从而线性相关.也线性相关.部分组46 定理 证不妨设其中前r个向量 存在不全为零的数系数: 不全为零线性相关至少一个不等于0则整个向量组也线性相关.线性相关,中有一部分线性相关.线性有一部分向量(称为部分组)设向量组相关,使 如果向量组中47逆否命题:中有一部分线性相关中任一部分线性相关整个向量组 线性无关都线性无关整个向量组 48设n维向量组线性无关,也线性无关。即 向量组(1)线性无关，则在每个向量上再添m个分量所得到的n+m维向量组则“加长”后得到的也线性无关.向量组组(2)定理 49即证 设即线性无关.线性无关.50组（1）线性无关组（2）线性无关组（2）线性相关组（1）线性相关 一个向量组线性性相关. 相关,则“缩短”后得到的向量组也线 一个向量组线性性无关. 无关,则“加长”后得到的向量组也线51例 判断下列命