非线性科学绪论

1、非线性科学绪论第1页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四第一节 引言什么是非线性 2 非线性现象的基本特征第2页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四1、什么是非线性 非线性科学是揭示非线性系统共性，探索复杂性的一门学问。非线性系统的微分方程是非线性的，例如：单摆运动方程流体速度场方程什么是非线性科学第3页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四2、线性科学和非线性科学的差异 线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。 1、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作

2、用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。第4页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行

3、为，发生空间规整性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。 第5页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四非线性科学中较成熟的部分是非线性动力学. 19世纪末法国H.庞加莱的两项工作常微分方程的定性理论和天体运动中定量计算使他成为非线性科学最早的代表人物。20世纪前叶，无线电技术促使非线性振动理论的诞生，继承和发展了庞加莱的成果。20世纪60年代后，大气科学和流体力学中利用计算机进行的数值研究，分析力学中数学理论的进展，以及统计物理中远离平衡态系统性态的研究等等，促进了在横向联系上发现并研究各类不同系统由

4、于非线性而导致的共性，即非线性科学。第6页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四第二节 无阻尼单摆 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线4 用数值计算和相图研究大幅度单摆的运动 第7页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 由牛顿第二定律： 非线性方程式中角频率：1 小角度无阻尼单摆 椭圆点数学表达式第8页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程数学表达式1 小角度无阻尼单摆 椭圆点第9页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 令代

5、入方程得得特征方程：特征根： 得通解为： 式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件：将 写成指数形式后得： 该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。数学表达式1 小角度无阻尼单摆 椭圆点第10页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 使 得：一次积分后： 式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。相图1 小角度无阻尼单摆 椭圆点第11页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期

6、四1 小角度无阻尼单摆 椭圆点相图 相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。能量方程右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 ，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆或椭圆。

7、同一圆周或椭圆上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为椭圆点。第12页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四周期与摆角无关？看看实验结果：定性结论：1. 周期随摆角增加而增加2. 随摆角增加波形趋于矩形单摆周期2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点第13页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 对方程乘以 后积分其中 积分设t = 0时， ，周期为 T，在 时应有 ，故有：最后得：单摆周期数学表达式2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点第14页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 在倒

8、立附近，取对铅垂的偏角f 表示摆角，代入单摆方程得方程利用 得方程积分得双曲方程： 当E0时有这是在 处的双曲线的渐近线，这点称为双曲奇点，也称鞍点。 相图上这点为的 点。2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点第15页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四3 无阻尼单摆的相图与势能曲线基本方程若取 后积分得左边第一项是单摆动能 K，左边第二项是势能 V右边积分常数E是单摆总能 势能曲线是余弦函数势能曲线第16页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四1.坐标原点 附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道；2.平衡点 为单摆倒置点（鞍点），附近相轨

9、线双曲线；3.从 到 或相反的连线为分界线在分界线内的轨线是闭合回线单摆作周期振动。分界线以外单摆能量E 超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动单摆完整相图3 无阻尼单摆的相图与势能曲线第17页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四相图横坐标是以2p为周期的，摆角 是同一个倒立位置，把相图上G点与G点重迭一起时，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上。因此，平面上的相轨线是柱面上的相轨线的展开图。柱面上的单摆相轨线3 无阻尼单摆的相图与势能曲线第18页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四4 用数值计算和相图研究大幅度

10、单摆的运动 可积的！势能函数 能量守恒方程 计算机作图第19页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四4 用数值计算和相图研究大幅度单摆的运动 第20页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四4 用数值计算和相图研究大幅度单摆的运动 （1）存在两类奇点. 中心 鞍点 （2）存在两类轨线. 第21页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四4 用数值计算和相图研究大幅度单摆的运动 大幅度单摆运动在无外界驱动和无阻尼的情况下是属于保守、 自治系统的运动, 相轨迹不随时间改变, 且不能相交. 计算结果表明它只可能做周期性的摆动或转动, 不可能产生混沌现象. 对

11、应于能量较大(即摆角较大)的摆动, 因有谐频出现, 它的闭合轨线不是椭圆, 与简谐振动的轨线是不同的, 其摆动周期与初始条件有关. 除基频谱线外, 还可以看到1条3倍频的谐频谱线.功率谱是分立的。 第22页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四1.相平面法2.平衡点的类型及其稳定性第三节 相图方法第23页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 由单摆基本方程引进变数y：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写：利用第二式可得单摆相轨线方程积分得单摆的椭圆轨线方程：单摆1 相图方法第24页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 一个非线性微分方程：

12、引进变数 y 后有或更一般的形式得相轨线方程：一般情况1 相图方法第25页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四相平面法 1.相轨道方程 相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于描述系统的一维运动. 以位置、速度为坐标建立坐标系, 通常称此坐标平面为相平面(广义相平面).相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道(简称轨线), 这种图形也称相图. 自治系统非自治系统第26页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四2.轨线的作法 相轨道方程 对保守系统, 可利用势能曲线作相图. 第27页，共55页

13、，2022年，5月20日，3点45分，星期四单位质量的动能 能量守恒 例题1 第28页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四例题2 第29页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四3.轨线的普遍性质（1）对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动. （2）轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定, 上半部向右，下半部向左. （3） 是相点运动速度矢量 的两个分量.对于保守系统 第30页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四阻尼振动4.奇点及其附近的轨线 在相平面上, 满足 的点称为奇点, 对

14、此点有 即相轨道方向是不确定的. 从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点. 对于保守系统, 奇点有3种类型,分别与势能曲线的极大点、极小点和拐点3种情况对应.常见的是中心 和鞍点. 第31页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四中心鞍点第32页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 由单摆基本方程引进变数y：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写：利用第二式可得单摆相轨线方程积分得单摆的椭圆轨线方程：单摆1 相图方法第33页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 一个非线性微分方程： 引进变数 y 后有或更一般的形式得

15、相轨线方程：一般情况1 相图方法第34页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 系统的平衡点从下面推出：一般的形式平衡点坐标：系统的平衡点 2 平衡点的类型及其稳定性第35页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四对平衡点的邻域进行泰勒展开引进新变数：平衡点附近的轨线方程 2 平衡点的类型及其稳定性得新方程：式中 研究平衡点的邻域的相轨线，可以忽略高阶项，得线性方程组第36页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 研究平衡点的邻域线性方程组 微分 代入得二阶线性方程：通过求解这方程得各种平衡点类型 2 平衡点的类型及其稳定性平衡点附近的轨线方程第3

16、7页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四方程 代入特征方程引入符号特征方程解：由特征方程得：参数l取值不同,给出不同类型平衡点. 特征方程解的简化： 由于每个变量 X ,Y 中包含了两个参数 l ，看不清平衡点的性质，于是进行坐标变换：在新坐标中有：其解分别只与一个参数有关： 2 平衡点的类型及其稳定性平衡点附近的轨线方程第38页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四平衡点类型 结点特征根式 的根号中 ，则解 为两个同号实根，其平衡点称为结点。结点有稳定与不稳定之分如果 ，结点为稳定的。如果 ，结点为不稳定。2 平衡点的类型及其稳定性第39页，共55页，202

17、2年，5月20日，3点45分，星期四 鞍点 特征根式 根号中 ，解 为异号实根。相轨线为双曲线，奇点为不稳定的鞍点。有四条流线通过鞍点，其两条流向鞍点是稳定的，另外流离鞍点的两条是不稳定的。 “鞍点”源于对该点特性形象描述，指马鞍中心点， 是沿马脊梁的最低点。流向鞍点是两条稳定流线，但任何微小偏离将使其沿马背的左或右边滑走。 2 平衡点的类型及其稳定性平衡点类型第40页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 焦点 特征根式 根号中 ，解 为两个虚根。 如阻尼单摆那样，相轨线是对数螺旋线，系统的平衡点为焦点。当实部为负值时，与阻尼单摆相同，平衡点是螺旋线簇的渐近点。当实部为正值时

18、，相轨线从平衡点发散开来，焦点是不稳定的。2 平衡点的类型及其稳定性平衡点类型第41页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 2 平衡点的类型及其稳定性平衡点类型 中心点 如果 ，且两个虚根的实部 等于零。螺旋线矢径不随时间变化，围绕平衡点是封闭曲线族。平衡点是轨线族的中心，称为“中心点”。封闭椭圆曲线代表作周期运动。根据虚部的正负不同，相轨线上的相点可以是顺时或逆时方向转动。根据稳定性定义，周期运动满足稳定性条件，中心点是稳定平衡点。第42页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四p,q 平面上奇点分布 p,q 平面 在平面下半部分， ,这个区域内的奇点是鞍点

19、平面上半部，由抛物线 分为四个区. 2 平衡点的类型及其稳定性第一象限由抛物线划分成不稳定的结点 (p24q) 与不稳定的焦点 (p24q) 两个区；第二象限由抛物线划分成稳定的结点 (p24q) 两个区；在正q 轴上, p = 0, l是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。第43页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四第四节 导致混沌的倒摆受迫振动1.运动方程的建立弹簧产生的力矩为 空气阻力为 重力产生力矩为倒摆的运动微分方程为 第44页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四2.对方程进行无量纲化条件：第45页，共55页，2022年，5月20日，3点45

20、分，星期四在无驱动力时系统具有3个平衡位置因而有第46页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四受迫Duffing方程对方程进行无量纲化的好处至少有两方面:（1）方程涉及的只是数量关系;（2）更重要的是取不同的长度单位和时间单位时, 方程中各项系数的大小不同，显示出不同景象. 第47页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四3.数值计算的结果和对结果的分析（1）对初值的敏感和李雅普诺夫指数 第48页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 由确定性方程产生的对初值敏感的现象通常称为混沌现象. 李雅普诺夫指数第49页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四 若两个指数中有一个为正，即表明相邻轨道的间距具有平均指数发散的性质，轨道具有局部不稳定性，据此可判断运动为混沌运动.（2）关于分叉现象 双稳态单稳态第50页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星期四时平衡位置分叉现象分叉点第51页，共55页，2022年，5月20日，3点45分，星