高中数学必修五全套课件ppt讲义幻灯片

1、1.1.1正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系2、边的关系3、边角关系大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角） 1、角的关系2、边的关系3、边角关系探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出正弦定理的推导： ABDC .Obac=2R (R为ABC外接圆半径）证明：如图，圆O为ABC的外接圆， BD为直径, 则 A=D,=2R(R为ABC外接圆半径）证明：BACacbBACacbABC类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立YX2、正弦定理的向量证明BAC想一想：如何用向量法证明正

2、弦定理？BA在Y轴上的投影为CA在Y轴上的投影为|BA|cos(90o-B)=|BA|sinB|CA|cos(90o-C)=|CA|sinC公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)例1. 在ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o，求a , b和B.例2. 在ABC中，已知 c=1 , 求a,A,C.例3. 在ABC中，已

3、知 a=2, 求b和B,C.随堂练习1、正弦定理适用的范围是A、直角三角形 B、锐角三角形C、钝角三角形 D、任意三角形DCA解：由正弦定理：为什么有两解的情况？A是锐角时知识归纳已知两角及一边解三角形一定只有一解。 已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、baACBabsinA时若ba时两解，ba时一解BaA为直角或钝角时abABCabABCab时有一解，一解或两解。ab时无解。4、在ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的_条件。 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、不充分也不必要C5、在ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是 A、0

4、B、1 C、2 D、无数个AB例4 在三角形ABC中已知 试判断三角形ABC的形状C3或6课堂小结：作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。三角形，并求出它的外接圆半径。解这个又A=30o, B=45o,所以C=105o例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。本题无解。本题有两解。B=60o或120o, 当B=60o时，C=90o.当B=120o时，C=30o.ba,BA=45o,有两解B=60o或120o1)当

5、B=60o时，C=75o,2)当B=120o时，C=15o,（例2变式）为锐角，试判断此三角形的形状。例5、在ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg ,且B所以此三角形为等腰直角三角形形状。所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。练习：（1）在 中，一定成立的等式是（ ） C（2）在 中，若 ，则 是( ) A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三有形D正弦定理练习：（3）在任一 中，求证： 证明：由于正弦定理：令 左边 代入左边得： 等式成立=右边正弦定理课后作业（2）在 中，若 ，则的形状 余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和

6、任一边。 AAS（2）已知两边和一边的对角。SSA变形：千岛湖 3.4km6km120）情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km6km120）岛屿B岛屿A岛屿C?3.4km6km120ABC 在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求 AC用正弦定理能否直接求出 AC？）余弦定理CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2看一看想一想 直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2 = a2+b2是寻找解题思路的最佳途径 c=?AcbCBaAB c2=AB2=? AB AB

7、 AB=? AC+ CB AB AB= (AC+ CB) (AC+ CB)算一算试试！联想CBAcab探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.CBAcab余弦定理探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy解析法证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在

8、三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CDAB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有： 当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。D余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2 - a22bc cosA=c2+a2 - b22ca cosB

9、=a2+b2 - c22ab cosC=变形归纳想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？ cosC= a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA= b2+c2-a2 2bc cosB= c2+a2-b2 2cacosA= cos B= acbc问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖 析 定 理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析思考： 已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？

10、如：已知b=4,c= ,C=60求边a.（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖 析 定 理剖析3.4km6km120）ABC 在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km， B=120o，求 AC解决实际问题解：由余弦定理得答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.剖 析 定 理（4）能否把式子 转化为角的关系式？分析：剖析（1）已知三边 求三个角 SSS问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. SAS剖 析 定 理剖析例题解析例题解析课堂提高练习1.C课堂提高练习2.课堂提高练习3. C会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形 中能解

11、决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用2、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断ABC的形状.ADCB)300)4503、如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300，ADC=450，求AC的长。例题讲解1、在ABC中,若a10，b12，c9，解这个三角形。练一练： 1、已知ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22- ( ) 2221=- 12 A=120变一变：若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？再练： 2、已知ABC中AB=2、AC=3、A= ，求BC的长。解：

12、由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。继续练思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式 S= absinC = bcsinA= acsinB, 只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出 sinC(sinA或 sinB）代入面积公式即可。2.余弦定理a =b +c-2bccosAb =c +a-

13、2accosBc =a +b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法（1）已知三边求三个角；（SSS）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. (SAS)5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a =b +c-2bccosAb =c +a-2accosBc =a +b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形作业布置课后作业：1. 在ABC中, 已知b4, c10, B30o,解这个三角形。2. 设x、x1、x2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围.3. 在ABC中, A60o, a1, b

14、c2, 判断ABC的形状.4. 三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x60的根，求这个三角形的面积.复习目标：1、进一步熟悉正余弦定理内容;2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。复习重点：利用正余弦定理进行边角互换难点：1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求。正、余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决几类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。 AAS（2）已知两边和一边的对角。SSA变形：（1）已知三边求三个角；（S

15、SS）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. (SAS)余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC解三角形中常用的关系式:DCBA12角平分线性质DCBA圆内接四边形对角互补由余弦定理易得:三角形面积计算公式cbaABCcbaaab练习题圆半径A2、在ABC中，bcosA=acosB,则三角形为 A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形C3、在ABC中，若a=6,b=7,c=8,则ABC的形状是 A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法确定

16、A4、在ABC中，下列命题正确的是C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角 D、满足a=18,b=20,A=150o的ABC一定不存在5、在ABC中，cosAcosBsinAsinB,则ABC为 A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形C（事实上，C为钝角，只有C项适合）D6、在ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于 A、30o B、60o C、120o D、150oA、等边三角形 B、直角三角形C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形DC等腰三角形10、在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB,则ABC是_钝角三角

17、形等腰三角形锐例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。DCBA解：连接BD（例1变式）（三维）边长和外接圆面积。（例1变式）试判断三角形的形状。三角形ABC是正三角形（三维）例6、根据所给条件，判断三角形ABC的形状。ABC是等腰三角形或直角三角形tanA=tanB=tanCABC是等边三角形（例1变式）小结1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一边)，那么这个三角形一定可解。2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系

18、转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁-正、余弦定理。4、根据条件选用定理可使解题简便1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边再用正弦定理求角。4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。2.1数列的概念与简单表示法456781567812334264个

19、格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒 依次类推456781456781233264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子麦粒总数?？?1844,6744,0737,0955,1615三角形数1, 3, 6, 10, . 正方形数1, 4, 9, 16, 观察下列图形：提问：这些数有什么规律吗？一.定义： 按照一定顺序排列着的一列数叫数列。(1)三角形数：1, 3, 6, 10, . (2)

20、正方形数：1, 4, 9, 16, 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 (3)4，5，6，7，8，9，10； (4)10，9，8，7，6，5，4； 数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项（通常叫做首项）， 排第二位的数称为这个数列的第2项， 排第 n 位的数称为这个数列的第n项.数列的一般形式可以写成：其中 是数列的第n项，上面的数列又可简记为(1)三角形数：1, 3, 6, 10, . (2)正方形数：1, 4, 9, 16, 按照一定顺序排列着的一列数叫数列。(1)三角形数：1, 3, 6, 10, . (2)正方形数：1, 4, 9, 16, 一.定义： 按照一

21、定顺序排列的一列数叫数列。思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10； 数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？思考2：数列中的数是否可以重复？ 如：数列1，1，1，1，。 项数有限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6，是无穷数列1）根据数列项数的多少分：二.数列的分类： P28观察有穷数列：无穷数列：2）根据数列项的大小分：递增数列：递减数列：常数数列：摆动数列： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 各项相等的数列。 从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前

22、一项的数列全体自然数构成数列： 19962002年某市普通高中生人数（单位：万人）0，1，2，3, .82，93，105，119，129，130，132.构成数列无穷多个3构成数列3，3，3，3，3, .目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.-1的1次幂， 2次幂， 3次幂， 4次幂 构成数列-1，1，-1，1, .递增数列递减数列常数列递增数列摆动数列以下数列属于哪种分类？ 观察下列数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？ 1 2 3 4 5 .项序号2， 4， 6， 8， 1

23、0，1 2 3 4 5 序号项 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。三.数列的表示： nn2n数列与函数的关系 : 数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列 数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，4，,n）为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。思考正方形数：1, 4, 9, 16, 通项公式可以看成是数列的函数解析式。（1）（2） 如果只知道数列的通项公式，那能写

24、出这个数列吗？ 根据下面数列 的通项公式，写出它的前5项：例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数： 练习：P31 1,3,4数列 2，4，6，8，10，其通项公式是：图象为：an1098765432 0 1 2 3 4 5 n例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。an30272421181512963o 1 2 3 4 5 n问题：如果一个数列an的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1， 即 an = 2

25、 an-1 + 1（nN，n1），（）你能写出这个数列的前三项吗？递推公式例3 设数列 满足 写出这个数列的前五项。练习：P31 2例3 设数列 满足 递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： 练 习 题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 练 习 题练习:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：讲解范例:例2. 已知数列an的通项公式为 anlog2(n23)2， 求log23是这个数列的第几项？例1. 求数列2n29n3中的最大项.1.由数字1，2

26、，3，4四个数字一共可以组成多少个不同的数列？2. 已知数列an的通项公式为 ，试判断 和 是不是它的项？如果是，是第几项？ 练 习 题补充练习小结1、数列的定义2、数列的实质特殊的函数（离散函数）3、数列的通项公式4、数列的表示方法： 列表法， 通项公式法， 图象法， 递推公式法等差数列同学们好教学目标及重点难点教学目标1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。 2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。 重点难点1.等差数列概念的理解与掌握 2.等差数列通项公式的推导及应用 3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用 复习导入请看以下几例：

27、4，5，6，7，8，9，10，3，0，-3，-6，-9，-12，1/10,2/10,3/10,4/10,5/103，3，3，3，3，3，3，你还记得吗？数列的定义 给出数列的两种方法 创设问题情境，引入新课姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母

28、d表示。返回等差数列的公差 公差d1.an-an-1=d (n2)（数学表达式）3.d的范围 dR2.常数如2，3，5，9，11就不是等差数列探究性问题2： 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2， ，4； （2）-8， ，0；（3）a， ，b等差中项的相关知识 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。例:已知三个数2，x，98成等差数列，求x等差数列的通项公式如果等差数列an的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：a2-a1=da2=a1+d由此得到 an=a1+(n-1)d返回an-a1=(n-1)da

29、n-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2d (题型一)求通项an例1：a1=1, d=2, 则 an= ?解：an=1+(n1)2=2n1已知等差数列8，5，2，求 an及a20解 : 由题 a1=8, d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习1：已知等差数列3，7，11， 则 an=_ a4=_ a10=_4n-11539an=a1+(n1)d (nN*)(题型二)求首项a1例2 ：已知等差数列an中，a20=49, d=3， 求首项a1解：由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习2：a4=15 d=3

30、则a1=_6an=a1+(n1)d (nN*)例3：判断400是不是等差数列5，9， 13， 的项？如果是，是第几项？解：a1=5, d=4，an=5+(n1)(4),假设-400是该等差数列中的第n项，则 400=5+(n1)(4)所以400不是这个数列的项解之得 n= （不是正整数） 4399an=a1+(n1)d (nN*)(题型三)求项数n 练习3：100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？ 如果不是，说明理由. an=a1+(n1)d (nN*)(题型四)求公差d例4： 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm, 中间还有10级，各级的宽度成等差数列。 求公差

31、d及中间各级的宽度。分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。解：由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7从而可求出 a2=33+7=40 (cm) a3=40+7=47(cm) a4=54(cm) 。an=a1+(n1)d (nN*)33110总结：在 an=a1+(n1)d，nN* 中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？an=a1+(n1)d (nN*)（题型五）综合例5：在等差数列an中已知a3 =10, a

32、9=28, 求a1、d及an an=4+(n1)3=3n+1 得 a3=a1+2d=10 a1=4 a9=a1+8d=28 d=3an=a1+(n1)d (nN*)解法1：由an=a1+(n1)d猜想：任意两项an和am(nm)之间的关系：证明: am=a1+(m1)d an=a1+(n1)d (nN*) an =a1+(n1)d a1=am-(m1)d= am-(m1)d +(n1)d =am+(n-m)dan=am+(n-m)d例5：在等差数列an中已知a3 =10, a9=28, 求an an=am+(nm)d (n、mN*, nm)an=a3+（n-3）3解法2： a9=a3+(93)

33、d (nN*)28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+1等差数列的应用 例1. 1）等差数列8，5，2,的第20项是几？ 2）-401是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？解： 1）由题意得，a1=8,d=-32）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)dn=100-401是这个数列的第100项。a20=a1+19d=8+19(-3)=-49-401=-5+(n-1)(-4)课堂练习（二）1）求等差数列3，7，11的第4项与第10项。答案：a4=15 a10=39 2)100是不是等差数列2，9，16的项？如果是，是第几项？如果不是，说明

34、理由。答案：是第15项。 3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。解：a1=0,d=-3.5-20不是这个数列中的项。n=47/7-20=0+(n-1)(-3.5)等差数列的应用 例2.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意，a5=a1+4d a12=a1+11d解之得a1=-2 d=3若让求a7，怎样求？即10=a1+4d 31=a1+11d课堂练习（三）1.在等差数列an中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=02.在等差数列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3

35、, a1+3d=7a6=a1+5d=1+52=11 a8=a1+7d=1+72=15 a1=1, d=2课 堂 练 习在等差数列an中，1）已知a1=2,d=3,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+93=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)2 n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6(-1/3) a1=10课堂练习：2. 求等差数列2，9，16的第10项,100是不是这个数列的项。如果是，是第几项？1. 等差数列-5，-1，3的公

36、差是（ ）A. 4 B. - 4 C. 8 D. -83. 等差数列中，已知a3=9, a9=3, 则a12 =_4. 数列an中,a1= , an+1=an- (nN*), 则通项an=（ ）5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）A. an=2n-5 B.an=a+2n-3C. an=a+2n-1 D. an=2n-3A0DA.B.D. 不能确定C.C1.求出下列等差数列中的未知项:(1) 2，a ，6 (2) 8，b ，c，-4 (3) 8，b ，-4，c2.已知 a , b , c 成等差数列，求证：b +c , c +a , a +b成等

37、差数列例1：在等差数列an中已知a3 =10, a9=28, 求an an=am+(nm)d (n、mN*, nm)an=a3+（n-3）3解法2： a9=a3+(93)d (nN*)28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+1思考:等差数列 an 中 ,（m 、 n、 N+）, 若 m+n=p+q 则 am+an=ap+aq ? 【说明】上面的命题中的等式两边有相同数目的项， 如a1+a2=a3 吗？例2、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450， 则a2+a8 =？（一）等差数列的基本性质：3、项数成等差数列的项也构成等差数列。4、等差数列的前m项和，后m项和，再m

38、项和也 构成等差数列。5、两个等差数列的和、差还是等差数列即an，bn 是等差数列，anbn也是等差数列， pan、anc 也是等差数列（p，c为常数）。2、等差中项： 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。1、在等差数列an中，若m+n=p+q，则 .am+an=ap+aq（二）等差数列的证明：例3、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，p，q 是 常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？应用延伸例3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得， a6=a1+5d0 a7=a

39、1+6d0 例4.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d0 a11=30+10d0dZ d=-4-23/5d-23/6 -3d-30/11即公差d的范围为：-3d-30/11四、小结： 等差数列的定义：通项公式：an=a1+(n1)d （ nN*）更一般的形式：an=am+(nm)d （ nN*）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列（叠加法证明）作业课本P40 A组 第1题好好学习天天向上2.2 等差数列(二)复习引入1. 等差数列定义： 即anan1 d (n2).复习引入1

40、. 等差数列定义： 即anan1 d (n2).2. 等差数列通项公式： ana1(n1)d (n1).复习引入1. 等差数列定义： 即anan1 d (n2).2. 等差数列通项公式： ana1(n1)d (n1).推导出公式：anam(nm)d .复习引入1. 等差数列定义： 即anan1 d (n2).2. 等差数列通项公式： ana1(n1)d (n1).推导出公式：anam(nm)d .或anpnq (p、q是常数)复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 例1：在等差数列an中已知a3 =10, a

41、9=28, 求an an=am+(nm)d (n、mN*, nm)an=a3+（n-3）3解法2： a9=a3+(93)d28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+14. an是首项a11，公差d3的等差数列，若an2005，则n( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 6705. 在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 练习6. 三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数.7. 已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.练习讲授新课在

42、等差数列an中，若mnpq，则amanapaq. 特别地，若mn2p，则aman2ap.1. 性质讲解范例:例2、在等差数列an中 (1) 若a5a, a10b, 求a15； (2) 若a3a8m, 求a5a6.例3、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8 =？课堂练习：2. 求等差数列2，9，16的第10项,1000是不是这个数列的项。如果是，是第几项？1. 等差数列-5，-1，3的公差是（ ）A. 4 B. - 4 C. 8 D. -83. 等差数列中，已知a3=9, a9=3, 则a12 =_4. 数列an中,a1= , an+1=an- (nN*), 则

43、通项an=（ ）5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）A. an=2n-5 B.an=a+2n-3C. an=a+2n-1 D. an=2n-3A0BA.B.D. 不能确定C.C(1) 定义法: 证明anan1d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：(2) 中项法: 利用中项公式，若2bac, 则a, b, c成等差数列.总结:讲解范例:例4. 已知数列an的前n项和为Sn=3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式.(1) 定义法: 证明anan1d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：(2) 中项法

44、: 利用中项公式，若2bac, 则a, b, c成等差数列.(3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是 关于n的一次函数.总结:例5. 已知数列an的通项公式为anpnq，其中p、q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？讲解范例:例5. 已知数列an的通项公式为anpnq，其中p、q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？讲解范例: 这个等差数列的首项与公差分 别是多少？例5. 已知数列an的通项公式为anpnq，其中p、q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？讲解范例: 这个等差数列的首项与公差分 别是多少？首项a1pq 公差dp.应用延伸例6.一个首项为23，公差为整

45、数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得， a6=a1+5d0 a7=a1+6d0 例7.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d0 a11=30+10d0dZ d=-4-23/5d-23/6 -3d-30/11即公差d的范围为：-3d-30/11 如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.总结:探究:1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象.这个图象有什么特点？探究:2. 在同一个直角坐标系中，画出函数y3x5的图象，你发现了什么？据此说一说

46、等差数列anpnq与一次函数ypxq的图象之间有什么关系.课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列 常用的方法课后作业 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？等差数列的前n项和 1.等差数列的定义：2.通项公式：3.重要性质: 复习 高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境

47、贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？ 高斯（1777-1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。 高斯“神速求和”的故事: 情景1首项与末项的和： 1100101，第2项与倒数第2项的和： 299 =101， 第3项与倒数第3项的和： 398 101， 第50项与倒数第50项的和：5051101，于是所求的和是：求 S=1+2+3+100=？你知

48、道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.还有其它算法吗？ 情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：倒序相加法怎样求一般等差数列的前n项和呢？ 新课等差数列的前n项和公式公式1公式2结论：知 三 求 二思考：(2)在等差数列 中，如果已知五个元素 中 的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?(1)两个求和公式有何异同点？公式记

49、忆 类比梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式的函数特征：特征：思考：结论：例1、计算： 举例例2、注：本题体现了方程的思想.解：例3、解：又解：整体运算的思想!例4、解：1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。解： 巩固练习解:四、随堂练习1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整数列中前n个数的和； (2)求正整数列中前n个偶数的和。3、等差数列5,4,3,2,1,前多少项的和是30？前15项1、用倒

50、序相加法推导等差数列前n项和公式; 小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.已知首项、末项用公式； 已知首项、公差用公式.应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值. 作 业P46 习题2.3 A组 第2题 作业2.3 等差数列的前n项和性质及其应用（上）一、复习引入1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。2.已知两个等差数列an,bn，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若热身练习比值问题整体思想方法一：方程思想方法二：成等差数列等差数列前n项和

51、性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)等差数列前项和的最值问题： 考一本第13课时知识点2： 练习1、已知一个等差数列中满足 解：方法一练习解：方法二对称轴 且更接近9，所以n=9.练习1、已知一个等差数列中满足 等差数列前n项和性质以及应用（下）等差数列 奇、偶项和问题1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差分析：方法一：直接套用公式； 方法二：利用奇数项与偶数项的关系解：方法一： 练习1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差解：方法二： 2、已知一个等差数列中d=05， 分

52、析：还是利用奇数项和偶数项之间 的关系，相差一个公差d.解：设求数列前n项和方法之一：裂项相消法设an是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是式的具体应用：(裂项相消法)；求和公式：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：求数列前n项和方法之二：公式单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）本利和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000（1+0.7251）10072第二年1000010000（1+0.7252）10144第三年1000010000（1+0.7253）10216第四

53、年1000010000（1+0.7254）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数复利：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.019810000（1+1.98%）2第三年100001.0198210000（1+1.98%）3第四年100001.0198310000（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数等 比 数 列1, 3, 5, 7, 9; (1)3, 0, -3, -6, ; (2)忆一忆什么是数列？什么是等差数列？

54、 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。 国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8上

55、述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为： 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是： 1，20，202 ，203，比一比共同特点: 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。(1) (2) (3）9，92，93，94，95，96， 97（4）以

56、上4个数列有什么共同特点？等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q0）或其定义式为：go注意： 1. 公比是等比数列从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。go思考:(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？(3) 既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗？(4) 常数列都是等比数列吗？判定下列数列是否可能是等比数列？若是，说明公比；若不是，说出理由1、 263 ，16，8，4，2，1；2、 5，-

57、25，125，- 625，； 3、 1，2，3，6，12，24，48;4 、 1，0，1，0，1，；5、 1，1，1，1，； 6、 0，0，0，0，0，.；7、 a, a, a, a, ；练一练go思考：等比数列中(1)公比q为什么不能等于？首项能等于吗？第n项能为0吗？(2)公比q=1时是什么数列？注意：(1)公比q0，an0(nN)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；想一想go给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准. 2，1，4，7，10，13，16，19， 8，16，32，64，128，256， 1，1，1，1，1，1，1， 243，81，27，9，3，1， 31，29，27，

58、25，23，21，19，做一做学以致用go由此可知，等比数列的通项公式为等比数列 an 中,有:(q不为0)n为正整数等比数列通项公式的推导方法一: 递推法等比数列通项公式的推导方法二: 累乘法通项公式一:等比数列的通项公式:通项公式二:数 列等 差 数 列等 比 数 列定 义公差（比）通项公式一般形式公差(比) an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m等差数列与等比数列对比记忆表例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么答：这个

59、数列的第1项与第2项分别为 与 8消元讲解范例:例2. 求下列各等比数列的通项公式：(1) a12, a38;(2) a15, 且2an13an.讲解范例:例3. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？讲解范例:例4. 已知数列an满足a11，an+12an1.(1)求证数列an+1是等比数列； (2)求an的表达式.等比数列的通项公式练习1求下列等比数列的通项公式，并求出其第，5项：（2）1.2，2.4，4.8， （1） 5，-15，45，练一练: 3.每次用相同体积的水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗n次后

60、,存留的污垢在1%以下,则n的最小值为多少?2.等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求a2的值.解：设洗之前的污垢为1个单位. 洗1次 剩下污垢为 (1-3/4)=1/4洗2次 剩下污垢为 (1/4)2 则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一个等比数列 an . an=(1/4)n 当n=4时, a4= (1/4)4=1/2561% 答: n的最小值为4.作 业例1、在等比数列中，填空：(1) 1， ， ， ， 中第 15 项是 _(2) 2，2 ，4，4 ， 中第 _ 项是 32(3) 第 7 项为 ，公比为 ，则第一项为 _(4) a 1 = 2 且 a 5 =