(完整版)导数压轴满分之同构式大法

1、卜彳秒杀秘籍：同构式问题构造xex与xlnx丄，在1)_,+ooke丿(e丿T,在考查同构式的类型中,=xlnx在同构式模型:axlogxnexlnaalnxlna=xlnaexinaxlnx-einxlnxdxlnalnxdae/xlnxTn2exlnxnQxeSxlnx二elnxlnxn2xlnx=2我们发现，fx二xex在-1,+sT,而fx构造xex来求取值范围，构造xlnx来判断零点个数及分布;eax+axlnx+1+x+1二eln/1+lnx+1naxlnx+1【例1】对于任意的x0,不等式axlogx(a0,且aH1)恒成立，则a的取值范围是a解：axlogx=exlnaa，由于

2、fxxln=xlnaexlnaxlnx二elnxlnx，故只需xlnalnxnlnalnxlna在0,eT,e,+8I，故fx二maxfe二丄，/.lna，即ae1.ee【例2】(2018长郡月考)已知函数f(x)二aex-lnx-1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是解：由题意得：aelnexaexeexlnex二aexexeinexlnex恒成立，则需要满足ae、1，x、lnex二lnx+1显然x-llnx恒成立，故只需ae1，即a-.e【例3】对Vx0，不等式2ae2x-inx+lna0恒成立，则实数a的最小值为（）B.丄2JeC.-eD.丄2e解：由题意得：2ae2xlnxlna

3、d2xe2ln=elnjlnx=2xln，令t，2atlnt此时要构造过aaaaa原点的切线放缩模型lnt-t，故2a#，即心2e.【例4】（2。18武邑期中）设实数入0，若对任意的xe（T，不等式e加-霁0恒成立，则入的取值范围是.lnx1解：e心一0n尢xe心xlnx=exlnx，即xlnx恒成立，.Q-.九e【例5】（2019衡水金卷）易知a0对任意的实数x1恒成立，则实数a的最小值是（）A.-2B.-2eC.-eD.-e解：由题意得：xa*iex+alnx、0=*xexlnexalnln对x1恒成立，此时xaxaxaxaxaan，即ae，选D.max【例6】（2019武汉调研）已知函数

4、fx二ex-alnax-a+aa0，若关于x的不等式fx0恒成立,则实数a的取值范围为（）A.(0,eB.C,e2)C.1,e2D.(1,e2)解：由题意可知：exalnax_a-a=竺-lnalnx_1-1=exina+x-lnax1+lnx_1，即构成冋构式aexina+xlnaelnx1+lnx_1，只需x_lnalnx1二x_lnx1、2lna，：a0，如图，当x1时，y=xlnx0，此时，仅存在x=a，TOC o 1-5 h zxx1x2使xlnxln，此时只存在两个实根，不合题意；当0 x1时，则一定存在x=或者丄x1,0 x111xx1xe13e（偏移情况），考虑到极值是左偏的，

5、故xex0,1时e丿222嗅ae,+oo,定义域要求完全覆盖，故aev1,即akx+lnx,对于任意的xG（0,+Q恒成立，则k的最大值解：要取等，看系数，exx+1nex-1x+1-1kx+x-1kx+lnx，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项-1，故构造lnxx-1取等条件是x二1，此时取等的exex，故M秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键I关于指对跨阶，由于ex属于递增过快，若不是存在xex二elnxnx+lnx+1或者乞=exlnxnx-lnx+1之类x的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的lnx进行放缩，但在区间0,1内重点考虑切线放缩，通常放缩有：

6、lnxx-1:lnx-（取等条件x=e）;nxlnllnx1（取等条件x=1）；TOC o 1-5 h zexxxlnx1-丄二xlnxx1;lnxWx1=lnexlnxx=exex取等条件=1exx+戶eFeex竺x2取等条件x二2；ex、x2+1x0（取等条件x=0）;224efe兰二exx3取等条件=3I327exex+x_12x-0（取等条件x二0以及x=l,和根据找基友证明）e1xkx，艮卩ke1【例9】（2019重庆巴蜀月考）已知fx=竺-aInxx（1）当a二0时，求函数fx在0，+o上的最小值；若00.解：（1）a=0时，fx=乞，fx=竺竺，当xw0,1时，fxI，当1,+s

7、时，fxT，故xx2（2）思路：此题若放缩竺，定会遇到很多问题，所以根据放对再放指”的原理，由于fx竺-空Inx,xx2先放1nx，由于此题无常数项，故不采用lnME来增加常数项由于，号的出现暴露了需要“降次”,故试用ln，则可得fx汽0，此时只需证明2fx2，此时再利用“指数找基友”即可证明不等式，或者放缩成宀話x2fx2也可以;证明：0aflnx，故只需竺-flnx0，令gx=lnf，TOC o 1-5 h z2xx2x2egx=；_f二0，当x=e时gx=ln旷三二0，即lnx二，故只需证ex_2x20，只需证竺g（x）解（1）参考例9；（2）思路1：第（1）问不会白给，故利用分而治之”

8、，此过程一定要有凹凸函数的反转，构造f-ln严1-h-，利用fx=ehx=he3竺；x3minmax3思路2：“放对后放指”，要证明x2exInx+1，只需证明x2exxT+l二xInx+1，故只需证明xex1显然失败，失败区间在0,1，故思考取等区间在0,1上的切线放缩式子，构造Inexex-1，取等条件为x二1，e即lnxex-2，只需证x2exexT，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造幺*止么利用切线放缩，过原点切线exex，牛x吐，故exex竺x也山恒成立x23x23x2达标训练1(2018广东期末)已知函数f(x)的定义域是R，其导函数是广(x)，且f

9、(x)20，则满足不等式f(lnt)+lnt-1ax-2ex在xe(0,+a)上恒成立，则实数a的取值范围是()A.aW2Ba22CaW0D0WaW2(2019全国I卷调研)设实数m0，若对任意的xe，若不等式x2lnx-mex0恒成立，则m的最大值为()1eTOC o 1-5 h zABC2eDee3(2018衡水中学)已知x是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x的判断正确的是()00Axnln2BxC2xlnx0D2ex+lnx000e000(1A(2019长沙测试)若Vx0，恒有aeax+12x+丄lnx，则实数a的最小值为()kx丿A丄B2C1D2e2e2ee(2018南通期末)已知函数f(x)的定义域为(0,+8),f(x)是函数f(x)的导函数，对任意的x0,f(x)-xf(x)0恒成立，则关于实数t的不等式fW2-1-2)lnx.e2当x0时，f(x)一2lnx3一2ln2.广(x)为函数f(x)的导函数.9.(2018德阳模拟)已知函数f(x)=ex+mx-1.求函数f(x)的单调区间；若曲线f(x)在点(0,0)处的切线垂直于直线y=-x+2，求证:(2018荆州一模)已知函数f(x)=ex-m一xlnx-(m一1)x，meR(1)若m=1，求证：对任意xe(0,+8),广(x)0；(2)若f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围.(