线性空间-知识点及其注释

1、第五章 线性空间-知识点及其注释知识点：n维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。#n维数组向量#简称为n维向量，是指由数域中个数组成的n元有序数组，常记为或，又称为n元（数组）向量。由数域上所有n维数组向量所构成的线性空间称为n维（元）（数组）向量空间，记为。#线性组合#表达式称为向量组的系数分别为的线性组合，称为线性组合系数。#线性表示#向量可由向量组线性表示(出)是指存在数域中的数,使。向量组可由向量组

2、线性表示是指每个（）都可由向量组线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。在中，向量可由向量组线性表示线性方程组有解 。#向量组等价#向量组与向量组等价是指向量组与向量组可以相互线性表示。显然，向量组等价是等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。若矩阵经过有限次行初等变换成为，则与的行向量组等价。#线性相关#向量组线性相关是指存在数域中不全为零的数,使；否则称为线性无关。对一个向量，线性相关即为零向量，线性无关即为非零向量；线性相关当且仅当其中一个可以有其余s1个线性表示。若向量组线性无关，而线性相关，则可由向量组唯一地线性表示。若向量组线性相关，则线性相关；若向量组线性无关，则线性无关。在

3、中，向量组线性相关齐次线性方程组有非零解；向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；当时，一定线性相关。设，；那么，线性无关线性无关；线性相关线性相关。若矩阵经过有限次行初等变换成为，则的列向量组与的列向量组具有完全相同的线性关系，即，其中；从而线性相（无）关线性相（无）关；是的极大无关组是的极大无关组。若向量组可由向量组线性表示,且st，则线性相关；若向量组可由向量组线性表示,且线性无关，则；向量组与向量组等价,且都线性无关，则s=t。#极大线性无关向量组#简称极大无关组，是指向量组(A)的一个部分向量组,其本身线性无关,但从(A)中任意添加一个向量(如果还有的话) ,则都线性相关。一个向量组与

4、其任一极大无关组等价；一个向量组的任意两个极大无关组等价，从而所含向量的个数相等。#秩#向量组(A)的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数;记为rank(A)。矩阵的行（向量组的）秩，等于其列（向量组的）秩，也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。#线性空间#又称向量空间,是指数域上一非空集合,连同其中定义的两个满足以下八条法则的运算(分别称为加法和数乘, 记为+和，统称为线性运算)，记为，其中的元素称为向量：； ； 中存在零元素，即对中任一元素，有；中每个元素都有负元,即；，其中。#子空间#是指线性空间的一非空子集，其对的加法和数乘封闭，即满足对，有；其本身也是线性空间。#生成子空间#由向量组生成

5、的子空间是指由向量组的所有线性组合所构成的子空间； 称为其生成元。生成的子空间必是子空间；反之，子空间必是其任一极大无关组（基）生成的生成子空间。#基#是指线性空间中的任一组极大无关组，如；即其本身线性无关,但从中任意加一个向量,则都线性相关。线性代数只讨论基为有限个向量的线性空间，即有限维线性空间。有限维线性空间中的任一线性无关向量组都可以扩充为的一组基。#维数#是指线性空间的任一组基所含向量的个数；记为dimV。是的一组基，从而。#坐标#在线性空间中，用一组基（线性）表示一个向量：的（有序）系数组或称为在基下的坐标；其中称为的第i个坐标或分量。#基变换#是指用线性空间的一组基（旧基）（线性

6、）表示其另一组基（新基）的变换（公式）即或简记为。其中称为从（旧）基到（新）基的过渡矩阵；它可逆，于是又有，它是从（新）基到（旧）基的变换（公式）。#坐标变换#是指在线性空间中，用一个向量在的一组基（旧基）下的坐标（旧坐标）X表示其在另一组基（新基）下的坐标（新坐标）Y的变换（公式）,其中为从（旧）基到（新）基的过渡矩阵, 即。此时又有,它是从的（新）坐标Y到其（旧）坐标X的变换（公式）。#交子空间#是指线性空间的两个线性子空间的交集合且所构成的线性子空间。#和子空间#是指线性空间的两个线性子空间的和集合所构成的线性子空间。维数公式：。#直和#子空间的直和是指线性空间的两个交子空间为零子空间的

7、子空间的和子空间，记为；此时称为的补子空间，为的补子空间。#同构#是指两个线性空间之间的保持线性运算的双射。两个有限维线性空间同构它们等维（维数相等）；是数域上的n维线性空间同构于。#解空间#齐次线性方程组AX=O的解空间是指其所有解构成的子空间。n元齐次线性方程组AX=O的解空间为的n-r维子空间，其中r=rank(A)。#基础解系#齐次线性方程组AX=O的基础解系是指其解空间的任一组基。若rank(A)=r，且PAQ=diagIr , O,其中P, Q为可逆方阵，则Q的后n-r列即为AX=O的一组基础解系。#特解#非齐次线性方程组AX=b的任一特定的解称为其特解。#通解#（非）齐次线性方程组AX=O（AX=b）的通解是指其所有解的统一表达式。若