中考教育数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题

1、中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案一、直角三角形的边角关系1如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装表示图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，企业规定：AD与水平面夹角为1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已丈量出屋顶斜面与水平面夹角为2，并已知tan11.082，tan20.412假如安装工人确立支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精准到1cm）？【答案】【分析】过A作AFCD于F，依据锐角三角函数的定义用、表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有E

2、C=AB=25cm，再再依据DC=DE+EC进行解答即可2在矩形ABCD中，ADAB，点P是CD边上的随意一点（不含C，D两头点），过点P作PFBC，交对角线BD于点F1）如图1，将PDF沿对角线BD翻折获得QDF，QF交AD于点E求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2，将PDF绕点D逆时针方向旋转获得PDF，连结PC，FB设旋转角为（0180）若0BDC，即DF在BDC的内部时，求证：DPCDFB如图3，若点P是CD的中点，DFB可否为直角三角形？假如能，试求出此时tanDBF的值，假如不可以，请说明原由【答案】（1）证明看法析；（2）证明看法析；1或3.23【分析】【剖析】（1）依据翻折的

3、性质以及平行线的性质可知DFQ=ADF，因此DEF是等腰三角形；（2）因为PFBC，因此DPFDCB，从而易证DPFDCB；因为DFB是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类议论【详解】（1）由翻折可知：DFP=DFQ，PFBC，DFP=ADF，DFQ=ADF，DEF是等腰三角形；（2）若0BDC，即DF在BDC的内部时，PDF=PDF，PDFFDC=PDFF，DCPDC=FDB，由旋转的性质可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCBDCDP，DBDFDPCDFB；当FDB=90时，以下图，1DF=DF=BD，2DF1，BD2DF1tanDBF=；BD

4、2当DBF=90，此时DF是斜边，即DFDB，不切合题意；当DFB=90时，以下图，1DF=DF=BD，2DBF=30，3tanDBF=.3【点睛】本题考察了相像三角形的综合问题，波及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相像三角形的性质以及判断等知识，综合性较强，有必定的难度，娴熟掌握有关的性质与定理、运用分类思想进行议论是解题的重点.3已知RtABC中，ACB=90，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，尝试究APE的度数：（1）如图1，若k=1，则APE的度数为；2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论能否建立？若建立，请说明原由；若不建

5、立，求出APE的度数3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延伸线上，（2）中的结论能否建立，请说明原由【答案】（1）45；（2）（1）中结论不建立，原由看法析；（3）（2）中结论建立，理由看法析.【分析】剖析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，从而判断出FAEACD，得出EF=AD=BF，再判断出EFB=90即可得出结论；，（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，从而判断出FAEACD，再判断出EFB=90，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，从而判断出ACDHEA，再判

6、断出EFB=90，即可得出结论；详解：（1）如图1，过点A作AFCB，过点B作BFAD订交于F，连结EF，FBE=APE，FAC=C=90，四边形ADBF是平行四边形，BD=AF，BF=ADAC=BD，CD=AE，AF=ACFAC=C=90，FAEACD，EF=AD=BF，FEA=ADCADC+CAD=90，FEA+CAD=90=EHDADBF，EFB=90EF=BF，FBE=45，APE=45（2）（1）中结论不建立，原由以下：如图2，过点A作AFCB，过点B作BFAD订交于F，连结EF，FBE=APE，FAC=C=90，四边形ADBF是平行四边形，BD=AF，BF=ADAC=3BD，CD=

7、3AE，ACCD3BDAEBD=AF，ACCD3AFAEFAC=C=90，FAEACD，ACADBFEFEFFEA=ADCAFADC+CAD=90，FEA+CAD=90=EMDADBF，EFB=90在RtEFB中，tanFBE=EFBFFBE=30，APE=30，（3）（2）中结论建立，如图，33，作EHCD，DHBE，EH，DH订交于H，连结AH，APE=ADH，HEC=C=90，四边形EBDH是平行四边形，BE=DH，EH=BDAC=3BD，CD=3AE，ACCD3BDAEHEA=C=90，ACDHEA，ADAC3，ADC=HAEAHEHCAD+ADC=90，HAE+CAD=90，HAD=

8、90在RtDAH中，tanADH=AH3，ADADH=30，APE=30点睛：本题是三角形综合题，主要考察了全等三角形的判断和性质，相像三角形的判断和性质，平行四边形的判断和性质，结构全等三角形和相像三角形的判断和性质4已知：如图，在RtABC中，ACB=90，点M是斜边AB的中点，MDBC，且MD=CM，DEAB于点E，连结AD、CD1）求证：MEDBCA；2）求证：AMDCMD；（3）设MDE的面积为S1，四边形22171BCMD的面积为S，当S=5S时，求cosABC的值5【答案】（1）证明看法析；（2）证明看法析；（3）cosABC=.【分析】【剖析】1）易证DME=CBA，ACB=M

9、ED=90，从而可证明MEDBCA；2）由ACB=90，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明AMD=CMD，从而可利用全等三角形的判断证明AMDCMD；2（3）易证MD=2AB，由（1）可知：MEDBCA，因此S1MD1，因此SVACBAB4MCB=1ACB=2S1EBD=S2MCBS1=21S1ME，从而可S2S，从而可求出SS5S，因为SVEBDEB知ME5ME=5xEB=2xAB=14xBC=7，最后依据锐角三角函数的EB22定义即可求出答案【详解】1）MDBC，DME=CBA，ACB=MED=90，MEDBCA；（2）ACB=90，点M是斜边AB的中点，MB=MC=A

10、M，MCB=MBC，DMB=MBC，MCB=DMB=MBC，AMD=180DMB，CMD=180MCBMBC+DMB=180MBC，AMD=CMD，在AMD与CMD中，MDMDAMDCMD，AMCMAMDCMD（SAS）；3）MD=CM，AM=MC=MD=MB，MD=2AB，由（1）可知：MEDBCA，2S1MD1，SVACBAB4SACB=4S1，CM是ACB的中线，SMCB=1SACB=2S1，22SEBD=S2SMCBS1=S1，5S1MESVEBD，EBS1ME2EB，5S1ME5，EB2设ME=5x，EB=2x，MB=7x，AB=2MB=14x，MDME1，ABBC2BC=10 x，

11、BC10 x5cosABC=.AB14x7【点睛】本题考察相像三角形的综合问题，波及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判断，相像三角形的判断与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，娴熟掌握和灵巧运用有关的性质及定理进行解题是重点.5如图，在O的内接三角形ABC中，ACB90，AC2BC，过C作AB的垂线l交O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连结PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：PACPDF；(2)若AB5，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设x，tanAFDy，求y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范

12、围)【答案】（1）证明看法析；（2）；（3）.【分析】试题剖析：（1）应用圆周角定理证明APDFPC，获得APCFPD，又由PACPDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由ACEABC可求得AE，CE的长，由形，从而可求得PA的长，由AEF是等腰直角三角形求得可知APB是等腰直角三角EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）PACPDF得，即可求得PD的长.（3）连结BP，BD，AD，依据圆的对称性，可得，由角的变换可得，由AGPDGB可得，由AGDPGB可得，两式相乘可得结果.试题分析：（1）由APCB内接于圆O，得FPCB，又

13、BACE90BCE，ACEAPD，APDFPC.APDDPCFPCDPC，即APCFPD.又PACPDC，PACPDF.（2）连结BP，设，ACB=90，AB=5，.ACEABC，ABCD，如图，连结BP，.，即.，APB是等腰直角三角形.PAB45，AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.DF=6.由（1）PACPDF得，即.PD的长为.（3）如图，连结BP，BD，AD，AC=2BC，依据圆的对称性，得AD=2DB，即ABCD，BPAE，ABPAFD.，.AGPDGB，.AGDPGB，.，即.，.与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相像三角形的判断和性质；4.勾股

14、定理；5.等腰直角三角形的判断和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实质问题列函数关系式.6问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们能够作出点B对于l的对称点B,连结AB与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A在O上，ACD=30，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为（2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的均分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程【答案】解：（

15、1）22（2）如图，在斜边AC上截取AB=AB，连结BBAD均分BAC，点B与点B对于直线AD对称过点B作BFAB,垂足为F，交AD于E，连结BE则线段BF的长即为所求(点到直线的距离最短)在RtAFB/中，BAC=450,AB/=AB=10，BE+EF的最小值为【分析】试题剖析：（1）找点A或点B对于CD的对称点，再连结此中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的地点，依据题意先求出CAE，再依据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B对于CD的对称点E，连结AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A作直径AC，连结CE，依据垂径定理得弧BD=弧DEACD=30，

16、AOD=60，DOE=30AOE=90CAE=45又AC为圆的直径，AEC=90C=CAE=45CE=AE=AC=22AP+BP的最小值是22（2）第一在斜边AC上截取AB=AB，连结BB，再过点B作BFAB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段BF的长即为所求7已知：ABC内接于O，D是弧BC上一点，ODBC，垂足为H1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；2）如图2，当圆心O在ABC外面时，连结AD、CD，AD与BC交于点P，求证：ACD=APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连结BD，E为O上一点，连结DE交BC于点Q、交AB于点N，连结OE，BF为O的弦，BFOE于点

17、R交DE于点G，若ACDABD=2BDN，AC=，BN=，tanABC=，求BF的长【答案】（1）证明看法析；（2）证明看法析；（3）24.【分析】试题剖析：（1）易证OH为ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）APB=PAC+ACP，ACD=ACB+BCD，又PAC=BCD，可证ACD=APB；（3）连结AO延伸交于O于点I，连结IC，AB与OD订交于点M，连结OB，易证GBN=ABC，因此BG=BQ.在RtBNQ中，依据tanABC=，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tanO

18、ED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度试题分析：（1）在O中，ODBC，BH=HC，点O是AB的中点，AC=2OH；2）在O中，ODBC，弧BD=弧CD，PAC=BCD，APB=PAC+ACP，ACD=ACB+BCD，ACD=APB；（3）连结AO延伸交于O于点I，连结IC，AB与OD订交于点M，连结OB，ACDABD=2BDN，ACDBDN=ABD+BDN，ABD+BDN=AND，ACDBDN=AND，ACD+ABD=180，2AND=180，AND=90，tanABC=，BNQ=QHD=90，ABC=QDH，OE=OD，OED=QDH，ERG=90，OED=GBN，GBN

19、=ABC，ABED，BG=BQ=，GN=NQ=，ACI=90，tanAIC=tanABC=，IC=，由勾股定理可求得：AI=25，设QH=x，tanABC=tanODE=，HD=2x，OH=ODHD=，BH=BQ+QH=，OB2=BH2+OH2，解得：，当QH=时，QD=，ND=，MN=，MD=15,，QH=不切合题意，舍去，当QH=时，QD=ND=NQ+QD=，ED=，GD=GN+ND=,EG=EDGD=，tanOED=，EG=RG，RG=，BR=RG+BG=12,BF=2BR=24考点：1圆；2相像三角形；3三角函数；4直角三角形.8水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0

20、.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米【分析】试题剖析：先依据两个坡比求出AE和BF的长，而后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案试题分析：迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，AE=18米，在RTADE中，AD=DE2AE2=634米背水坡坡比为1：2，BF=60米，在RTBCF中，BC=CF2BF2=305米，周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+3

21、05+88=（634+305+98）米，面积=（10+18+10+60）302=1470（平方米）故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米9如图，AB是O的直径，PA、PC与O分别相切于点A，C，PC交AB的延伸线于点D，DEPO交PO的延伸线于点E(1)求证：EPD=EDO；(2)若PC=3，tanPDA=3，求OE的长45【答案】（1）看法析；（2）.【分析】【剖析】（1）由切线的性质即可得证.（2）连结OC，利用tanPDA=3，可求出CD=2,从而求得4OC=3，再证明OEDDEP，依据相像三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.2【详解】（1）证明：PA，

22、PC与O分别相切于点A，C，APO=CPO,PAAO，DEPO，PAO=E=90，AOP=EOD，APO=EDO，EPD=EDO.（2）连结OC，PA=PC=3，3tanPDA=，4在RtPAD中，AD=4，PD=PA2AD2=5，CD=PD-PC=5-3=2，3tanPDA=，4在RtOCD中，OC=3，2225OD=OCCD=，2EPD=ODE，OCP=E=90，OEDDEP，PDPEDE=2，DODEOEDE=2OE,在RtOED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52=25，24OE=52【点睛】本题考察了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相像三角形的判断与性质，充分利用tanP

23、DA=3，得线段的长是解题重点.410超速行驶是引起交通事故的主要原由上周末，小明和三位同学试试用自己所学的知识检测车速，如图，观察点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B地方用的时间为5秒且APO60，BPO45（1）求A、B之间的行程；（2）请判断此车能否超出了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明原由（参照数据：21.414,31.73）【答案】【小1】73.2【小2】超限制速度【分析】解：（1）AB100(31)73.2(米)6分(2)此制速度v=18.3米/秒11已知AB是O的直径，弦CDAB于H，CD延上一点E作O的

24、切交AB的延于F，切点G，接AG交CD于K1）如1，求：KEGE；2）如2，接CABG，若FGB1ACH，求：CAFE；2（3）如3，在（2）的条件下，接CG交AB于点N，若sinE3，AK10，求CN5的【答案】（1）明分析；（2）EAD是等腰三角形明分析；（3）2010.13【分析】剖析：1）接OG，由已知易得OGE=AHK=90，由OG=OA可得AGO=OAG，从而可得KGE=AKH=EKG，即可获得KE=GE；2）FGB=，由AB是直径可得AGB=90，从而可得KGE=90-，合GE=KE可得1EKG=90-，在GKE中可得E=2，由FGB=ACH可得ACH=2，可得2E=ACH，由此

25、即可获得CAEF；（3）以下2，作NPAC于P，由（2）可知ACH=E，由此可得sinE=sinACH=AH3，设AH=3a，可得AC=5a，AC5CH4CH=4a，则tanCAH=，由（2）中结论易得CAK=EGK=EKG=AKC，从而可AH3得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tanAKH=AH3，AK=10a，联合AK=10可得a=1，HK则AC=5；在四边形BGKH中，由BHK=BKG=90，可得ABG+HKG=180，联合AKH+GKG=180，ACG=ABG可得ACG=AKH，在RtAPN中，由tanCAH=4PN，可设PN=12b，AP=9b，由3APtanACG=PNtanA

26、KH=3可得CP=4bAC=AP+CP=5，则可得b=5，由CP，由此可得13b13此即可在RtCPN中由勾股定理解出CN的长.试题分析：（1）如图1，连结OGEF切O于G，OGEF，AGO+AGE=90，CDAB于H，AHD=90，OAG=AKH=90，OA=OG，AGO=OAG，AGE=AKH，EKG=AKH，EKG=AGE，KE=GE2）设FGB=，AB是直径，AGB=90，AGE=EKG=90，E=180AGEEKG=2，FGB=1ACH，2ACH=2，ACH=E，CAFE3）作NPAC于PACH=E，AH3sinE=sinACH=，设AH=3a，AC=5a，AC5则CH=AC2CH2CAFE，CAK=AGE，AGE=AKH，CAK=AKH，4a，tanCAH=CH4，AH3AH=3，AK=22，AC=CK=5a，HK=CKCH=4a，tanAKH=AHHK10aHKAK=10，10a10，a=1AC=5，BHD=AGB=90，BHD+AGB=180，在四边形BGKH中，BHD+HKG+AGB+A