生医高数6.4反常积分

1、积分限有常义积积分限有常义积被积函数有反常积分(广义积分引例曲x 轴所围成的开口和直边梯形的面积可记A 1x21引例曲x 轴所围成的开口和直边梯形的面积可记A 1x21y Ax2其含义可理解1b Alim bb1x2xb1lim 1bba), 取 , a), 取 , 定义存在则称此极限f(x的无穷限反常积分记这时称反常收敛 ; 如果上述极限不存在就称反常积,b,C类似地f(x则定f,), 则定cbaf)ff,), 则定cbaf)fxbc为任意取定的常数只要有一个极限不存在 , 就发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明: 上述定义中若出现,并非不定型它表明该反常积分发.引入记F() lim

2、 F(x);F引入记F() lim F(x);F()F(x)则有类 莱公式的计算表达式f(x)dxF(x)aabf(x)dxF(x)F(b)Ff(x)dxF(x)F()F 例计算反常积解( 例计算反常积解( ) 122思考分析原积分发注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使“偶倍奇零” 的性质否则会出现错误证明第一类例积p1时收敛时发证:p1时lnx证明第一类例积p1时收敛时发证:p1时lnxap1时 pxp1p,aa pa1;因此p1时反常积分收敛其值p1时反常积分发散p例计算反常积t 1 例计算反常积t 1 解dp1p0p21p2引例:曲x轴y轴和直所围成y开口曲边梯形的面积引例:曲

3、x轴y轴和直所围成y开口曲边梯形的面积可记1yx其含义可理解1Adx 1A 0lim 0 xx0 x1lim a, b, 而在a 的右a, b, 而在a 的右邻域定义,若极存在, 则称此极限为f(xab上的反常积分记收敛 ; 如果上述极限不存在这时称反常积就称反常积ab), b的左邻域f,类似地则定而在c, 则定c邻域cbc fddb而在c, 则定c邻域cbc fddbfd20fdca10点常函数的积分又称作第二类反常积分为瑕点(奇点) 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分例如则也有类似牛 莱公式的计算表达式b为瑕点bf则也有类似牛 莱公

4、式的计算表达式b为瑕点bf(x)dxF(b)aba为瑕点f (x)dxF(b)aab都为瑕点bf(x)dxF(b)ac(a,b)若瑕f (x)dx则bcF(a)a可相消吗例计算反常积解显然瑕点a所x原式sin1 arcsin例计算反常积解显然瑕点a所x原式sin1 arcsin0的收敛性例反常积1 1 11 解 x 21所以反常积发散例证明反常积q1时收时发散ln证q1例证明反常积q1时收时发散ln证q1时aq1bq(xb1(xa1所以q 1 时, 该广义积分收其值(b;1q1时该广义积分发散f3求I 例d11f2f3求I 例d11f2x0与x2f (x)的无穷间断,故If023I dfdf(

5、x)dxarctan f (x)1f21f23arctan farctan farctan farctan32arctan 22222积分区间无被积函常义积分的极1.反常积2. 两个重要的反常积p积分区间无被积函常义积分的极1.反常积2. 两个重要的反常积pp,1, qbb 1(xaaq说明有时通过换元反常积分和常义积分可相转化d(x11 说明有时通过换元反常积分和常义积分可相转化d(x11 11 0 xx2211xx2d02t(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间每一区间上的反常积分分有时需考虑主值意义下的反常积分其定义af (x)有时需考虑主值意义下的反常积分其定义af (x)dxaf (x)bf (xdx(c为瑕点, acaf (x)bf (x)dx a注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下常积分收敛x2d00dx 并求其值试1x41x41令t1x10d解1ttx2d00dx 并求其值试1x41x41令t1x10d解1tttd 1t0 x21dd02