数学建模初步

1、数学建模初步 数学模型的分类 数学建模的基本方法和步骤 什么是数学模型 数学建模示例1什么是数学模型 玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型2什么是数学模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征3什么是数学模型 “航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解4什么是数学模型 “航行问题”建

2、立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律列出数学式子（二元一次方程）； 求解（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。5什么是数学模型 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括假设、表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模6新产品的销售量变化规律 一种新产品进入市场以后，产品的销售量一般会经过“先增后逐渐平稳略有下降”的一个过程，这称为产品的生命周期。怎样使用数学模型来描述新产品的销售量的变化过程呢

3、？ 一个数学建模示例71. 问题分析促使消费者去购买该商品的信息传播途径：1）来自消费者以外的信息；2）来自消费者内部的信息。新产品的销售量变化规律82. 合理假设 1）设潜在的消费者人数为N ；x(t)为t时刻购买了该产品的人数，并且认为变量x(t)随时间变化是连续的； 2）购买者增量 由两部分组成，一是由外部信息导致消费者增加，其增量记为 ；二是由内部信息导致消费者增加，记为 ； 3）由外部信息导致消费者增量与未购买者人数成正比 4）由内部信息导致购买者增量与已购买者人数和未购买者人数之积成正比。93. 建立数学模型 由假设 3）可得： 由假设 4）可得： 再由假设 2）知： 因此 104

4、. 模型求解 求解上页的微分方程，得： 该问题解含有未知参数 ，如何确定它们呢？ 方法是采样，收集某产品从推向市场以来其销售情况的统计数据，根据数据分析，用最小二乘法将模型中的未知参数辨识出来。 114. 模型求解 例如，使用某产品一段时期的销售统计数据，对模型中的参数进行参数辨识，得到 产品销售量曲线基本反映出产品的生命周期，先增后逐渐平稳略有下降。 125. 模型检验 解曲线或图形，是否能应用于实际？能否预测产品在今后一段时期内的销售情况？关键取决于对模型的检验。产品销售量的理论曲线与实测数据的误差能否通过检验x(t)tx13数学模型的分类 应用领域人口、交通、经济、生态 数学方法初等数学

5、、微分方程、规划、统计 表现特性描述、优化、预报、决策 建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续14数学建模的基本方法和步骤 数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数15数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)实践现实世界数学世界理论实践16 数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用17 数学建模的一般步骤模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具18 数学建模的