11496工大概率论与数理统计1-10概率统计

1、随r 统计规：通过三、四章随r 统计规：通过三、四章的学习 的分布这一完整描述的概率特征概念有了较全面的认识实上，随对概率论知识的加逐渐明确这一事实的概率分布完决定r 论特征的概率性质和其它一切1Question：r vX ,Y , rQuestion：r vX ,Y , r的d fFx,Fx,y r,2（2）实际应用中，有时人们（2）实际应用中，有时人们不需要rrv的或不知，只需的rv取值的集中其它概率特征（置，取值的集中程度）即可；这样省力XP,X Bn,p,X E3X N,2 ,X,YX N,2 ,X,Y N,;221122r若知道分布已完全确定求一个事件的概率亦十分容易，这些综上所述，

2、研r 的概率特征即特征具有十分重要意义概率4的5.1 数学期的5.1 数学期5rvX 一、离散有甲、乙两射手，他rvX 一、离散有甲、乙两射手，他们的射击技例用下表表出89X甲P689X乙P，问那若他们两个各射N击手本领89X乙P，问那若他们两个各射N击手本领好解：甲、乙两人射N数环甲80.25N90.25N 100.5N 乙80.2N90.4N 100.4N 7于是平均来说，9.25环/发（甲环/发（乙）因此，甲本领好定义于是平均来说，9.25环/发（甲环/发（乙）因此，甲本领好定义1设离散rvX的分布列为PX xi pi,i 绝对收敛（即|xi i | 若级i），则xi 数学EXxi 记8

3、（1）| x（1）| xi | 发散时，则称X的数期望不存在EX9X A,A例X A,A例X01P1-PEX 01 p1 p EA0(1P(A)1PA P(例XB(n,p) 求npkqnkEX kC例XB(n,p) 求npkqnkEX kCknkknn1n2nk 1 pkqnknkn1n2nk1 nnpkkkk11kkk11n1Cpqknppqn1 PX n1pX P求EX 例X P求EX 例EX k k!kekke e PX 和较nnP对于稀有事可用Poisson分布来近似二项分布r二、的数学期望r定义2 设X为连P(x)为pdf，r二、的数学期望r定义2 设X为连P(x)为pdf，为绝则积

4、xp x |x|Pxdx r的数学期望或均值，记EX xPEX连续质点系的重心坐标位。例XUa,b，求xEX xp1abxxxb。例XUa,b，求xEX xp1abxxxbbab2x1a| bba22XE，例实际背景，若用X表具体，求0EX dxx0dxxxeXE，例实际背景，若用X表具体，求0EX dxx0dxxxe解00 xexxxe00 1 0X N2 ,求EX 对称中例解x12eEX X N2 ,求EX 对称中例解x12eEX e 2 te 2 e 2 dt例分布：设X的pdfPx 11, x 1求例分布：设X的pdfPx 11, x 1求EX（不存在解|x1202012011x0故E

5、X不存在rvX,X ,Y质rvX,X ,Y质函数的数学期望与r函数复杂性知识局限性只给出r v 连续函数的数期望计算公式Theorem1 设Y=f(X)，f(x)是连续函数（1）当X为离散型rv ，分布PX xi pii1,2,| fxi | pi 则EY | fxi | pi 则EY EfXfxi ，pdfPX xr（2）当X| fx|P xdx且，则XEY EfXfxP X函数设Z=f(X,Y)，f(x,y)为二函数设Z=f(X,Y)，f(x,y)为二元r，分（1）当(X,Y)为二维离PX xi,Y yi i, j 时，则ij且|fxi,yi|iji, EZEfX,Y fxi,yi i,

6、r （2）当(x,y)为二维连续，其P(x, y)为|r （2）当(x,y)为二维连续，其P(x, y)为|fx,y|Px,dxdy则有EZEfx,yf(x,y)P(x,f(X,YXorY，则有特别x,xP EX xpXx,yP x,xP EX xpXx,yP yEY ypYXN2已例0| X XE|, 解：由Th5.1xXN2已例0| X XE|, 解：由Th5.1x 12E| X |x2ev |v|e 2 vv1 2 ed220ve22 | 0E| X 于vv1 2 ed220ve22 | 0E| X 于x1Xx22ae2 12dvaee21v22 lnav lna 12dvaee21v2

7、2 lnav lna2 1 1e221ae2a例设(X,Y)在区域A上例设(X,Y)在区域A上服从二维均EX,E3X 2Y,y布，(-x(0,-rvX,Y解的pdfx,y 其Px,y2xdy rvX,Y解的pdfx,y 其Px,y2xdy 00于3A2(3x2y)dy 3X 2Y00001EXYxdx 2ydyrv, X U例rv, X U例11 设X,Y独立E maxX ,Y ,EminX ,Y X与Y独立同分布，令其pdf分别求PX x,Y y分别Px,yPX xPYy10 x2,0 y其2,XE,x y 22400141414ydy 2x2 0 x122XE,x y 2240014141

8、4ydy 2x2 0 x122|2|y0 x012222xx201 212dx402x 320|41 212dx402x 320|41844 3同理E minX ,Y 23数学期望的性质（假设等式两数学期望的性质（假设等式两边数学望存在C为常(2)E（CX）=CEXC为常(3)E(X1 EXin相互独立，则有(4)若E(X1poofXn )E(X1poofXn )EX1EX2 EXn例11.XB(n,p),求X的数学期望解：令Xi表示第i次贝努里E成功次数(i 1nXEi nEX EXi例12.r个人在楼的底层进例12.r个人在楼的底层进入电梯，楼上车，求直到乘客都下完时电梯停车次数的数学期望

9、解：设Xi表示在第i层电梯停车Xi易得X 且nEX XXiij1,2,.,r表示第j人易得X 且nEX XXiij1,2,.,r表示第j人在第i层下件(1)12rAAAiiiiA1, Aii相互独立( 0) A1A2Ariiii于是有P(X 0)(11)rin P(X 1)1(1in即x01i11pP(X 0)(11)rin P(X 1)1(1in即x01i11pr1()r()nn故1r nEX EXin11n r 10 ,r 10 , 10 , 6 5与经验相例13.将n只球1，2，,n)随机地进n只盒子中去，一只盒放一只球，将与第i个球配对与第i个球配对第i个盒子与第i个球配第i个盒子与第

10、i个球不配Xi0111nPnEX 0(11)11 EX 0(11)11 1,i 1,2,innnnX Xi EX EXinnn例14.设在国际市场上每年对例14.设在国际市场上每年对我国某种rvX 口商品的需求量又设每售出这种商品一吨，可为国家得外汇3万元，但假如销售不出而囤积大。（）解：令y为预备组织货源y解：令y为预备组织货源yz表示国家收益(万元)，则由题设当X y当X y3y,Z f(X) 3X (yX下面求EZ，并求使EZ达到最EZ f(X)P (XX3x(yx) EZ f(X)P (XX3x(yx) y13y1y27000y 41061(y3500)235002 1(y3500)2

11、35002 4106rvX的，p(x)在0,+；积压一吨，损失，为获取最大期收益积压一吨，损失，为获取最大期收益，组织货源量s满足aPX SabPX Sa方甲乙二人对同一物理量测量得到例下数据X甲P方甲乙二人对同一物理量测量得到例下数据X甲PX乙PEX甲=EX乙但直观而言，甲测量E比较好，因为量但直观而言，甲测量E比较好，因为量值偏离数学期望较小。这实考E精度！自然想法：偏差大小程上度用E|X-EX|，但带着绝对值符号不利于rvX算。人们常采用E(X-EX)2表的平均偏差程度，称之为方差但基于实际需要，还有其它表述偏差度但基于实际需要，还有其它表述偏差度的方法，如哈工大黄牌警告中筛法偏差程度定

12、义：设X是一个rv，若E(X-EX)2存在,称E(X-EX)2r D(X)的方差。记作DXr同时的标准差或均与X具有相同X由51,Th51f:X与X具有相同X由51,Th51f:XXEX2DX EXP,P2为iiiirvX （2）连续rvX （2）连续xEX P 2DX X方差具有下列性质：（假设等式差存在（1）DC=0，C（2）D(CX)=C2DX,C为常（3）DX=EX2-X1, ,Xn相互独立，（4）nDX,X X1, ,Xn相互独立，（4）nDX,X 1ni(n有rvX1,Xn独立对x1,nxiFX 1niX1, ,Xn两X1, ,Xn两两互独立。DX=0 rvX 概率为1，取某一常数

13、值aPX a(1)(1) D(C) =E(C-EC)=E(C-D(CX)=E(CX-ECX)=E(CX-=EC(X-=CE(X-(3)DX=E(X-EX)=E(X-=EX-2EXEX+(EX)= EX -(4) n=2X X X 121212EX X X 121212EX EX XEX 1122DX1 DX2 2EX1 EX1X2 EX2 rvX1, X2独立由已故由E(X1 EX 1)(EX 2 2 112111212222DX1 X2DX1 DX利用性质（4），求r 例1 X Ua,b,求的方差EXab2,利用性质（4），求r 例1 X Ua,b,求的方差EXab2,ab b b13bEX

14、2故23xbax3aa22DXEX ) 2232XE,求例 1 / x 0EX2 0 x dxdx222ex 0020 xXE,求例 1 / x 0EX2 0 x dxdx222ex 0020 xexx2ex2002 2121DX 故X N,2,求例x 1xX N,2,求例x 1x2DX 2ext,则DX 2t e 2 22t22t1e2 dt 2例4 X例4 X0,1,求EX 0q1 p EX2 02q12 p DX pp2 p1ppq p q 1nX Bn, p求DX npqX nX Bn, p求DX npqX X例i解：令Xi 表示第i次贝努里试验中成功的分布列为次数，则i01Pq1 q

15、pDXi pq,iDXi pq,i 1,2, ,显然X可用Xi(i1,2,n)表示如下X Xi由于X1 , X2 , , Xn相互独立,故由方差性(iii),nnDX DXiX P例求EX 解ek0 X P例求EX 解ek0 22k kkk k!2kkkk ekk ekkkk1kk22!k2 DX EX2 EX2 协方差和相关系rvX,Y：对协方差和相关系rvX,Y：对于二在第章已了如下事实相互独立关系rvXrvX,Y函数分布（函数(2)系），而相互独立是一种重要而基本系，下立 rvX能找到一种刻划两个不的数字特征rvX相互独立，则有原命rvX相互独立，则有原命题：EXEXYEYEXYEXEY

16、 EX EXYEYrvX则不相互独立，这一结论EXY EY数字rvX是不相互独立的一种依rvX是不相互独立的一种依rvX,Y系，它是二的一个重要rvXrvX字特征，利用它可以引相关系数数字特征，刻线一种rvX线性相殊随机相依关系程度一类重要数字特征r，定义：设(X,Y)EXEXYEYrEXEXYEYrvX与存在的协方差，covX,Y作由定义直接得到DXYDX DY 2covX,Ycov ,Y 协方差性质cov协方差性质covX,Y covY, X covaX,bY abcovX,Y covX1 X2 ,YcovX1,YcovX2 ,YProof:(1).covX,YE(X EX)(EY EYE

17、(Y EY)(X EX)covY,X(2).cov(aX,bY) E(aX EaX)(bY EbY Eab(X EX)(Y EYab(Xaab(XacovX,Y)cov1 X2,Y)E(X1X2 E(X1X2)Ycov(X1,Y)定义设(X,Y)为二维的,若cov(X,Y)存在DX 0DY0，则covX,Y 为r与Y的（线性）相关系数，记为定义3 r vX与Y 的相关定义3 r vX与Y 的相关系数=0，不相关称X与关于相关系数的二个结Theorem1 设r.vX与Y 的相关系（线性相关系数），则有（1）| | （2）|=1 （2）|=1 数P(Y=bX+a)=1,a,b为二t R有(线性关系

18、入手0DYtXEYtXEY tXDY2tcovX,Yt2DXDX,DY covX,YcovX ,Y 2DX2covX,YcovX ,Y 2DX2DY cov2X ,YcovX,Y2cov2X,YDY1DXt covX,YY bXt covX,YY bXt b当,.DYbXDY12 DY0,DYbX又（2）|1（2）|1DYbX0常数PYbXa1PY abX其中a,b均为常数|时PY abX（1）rvY与之间性关系件的概率为（2）由Th1证明过程：|愈（2）由Th1证明过程：|愈接近于DY bX愈接近于0rvX与r与Y愈近似地有线性关系），于是划了rrvXrvX一条不相关与下面的（1）covX,

19、Y （2）DXYDXrvX不相关rvX不相关0 covX,YDX YDX EXY Question: rvXrvX不关之间关系如何DY DXrDY DXrvX,Y独立EXY EXEY rvX不相关，但rvX,Y rvX,Y相互独立限，则存在一限，则存在一vXX，Y的分布分布分别为X，Y不独（应用概率统计X N0,1,Y X2求X，Y相（应用概率统计X N0,1,Y X2求X，Y相关例数设X NEX 解：CO(X,Y EXEY故213xeDYEX4EX2DX 而1DYEX4EX2DX 而1e 2 dx4x32DX,DY0r不相关rvX不相互独立但（rY X2 函数非线性函数取x=2,F2,4取x

20、=2,F2,4PX 2,Y 4PX 2,2 X P2 2 2(2) PX 2P2 X 2 222 即F2,4 FX 2FY r vX,Y不独立X,Y N ; ;设例22,1122r vX,Y相关系求。X,Y N ; ;设例22,1122r vX,Y相关系求。covX,Y EXEXY EYx1 x,y12xx1121212 x xy y1212 x xy y 2111222212x1 y2 11u 12v y1 x x 1122 1 11v y1 x x 1122 1 112 2 2122221v12u 21 2v e 2 2 2v 2v e 2 2 2v covX,Y 故于是二维正态变量的论意

21、义全部弄清p(x,y)参数的X,Y N ;X,Y N ; ;22,Remark：11220，对于rvX则相互独维正态变量(X,Y)而言r vX rvX,Y相互独立不相r例r例X1X2X为两两不相关X1 X各有数学期望0及方差1，与X2 X的相关系数解：因DX1 X2D1 DX2 2covX1,X2covX1,X2covX1,X2 E(X1EX1)(X2 EX2 EX1X EX1EXcovX2,X3 E(XEX2)(X EX2X EX2EXcovX1X2,X2 X3EX1 X2X2 covX1X2,X2 X3EX1 X2X2 X3 EX2 22covX1 X2,X2 X3故DX2 X3DX1 D

22、X12与X 相关系数 XRemark: 12232XBnp且p 2DX 4求例设33XBnp且p 2DX 4求例设33解4np1 2 3 34故故42pnB362故X6,32 6 2pnB362故X6,32 6 43X N3,2PX6 0.4,设例X N3,2PX6 0.4,设例P0X 3解XN3,2PX 61630. 3P0X 33303而P0X 33303而1 1 ( 3 )2320.6X1, ,Xn例布设为相互独立且具有同X nrnX，方iXiX与XX1, ,Xn例布设为相互独立且具有同X nrnX，方iXiX与X不相关Xi X与Xj 试证i 的相关系jProof:（1）D X E Xi

23、E i2 n1nX22i121 2222nnEXi,DXi211nDX 20XiX22i121 2222nnEXi,DXi211nDX 20Xin而covZ Z Xii EXX i EX EX i21n1X EXX i EX EX i21n1X nnEXiEXj2ni112202nnrvXiX与X不相关故X与X之间（2）jDX XDX X n2ijX与X之间（2）jDX XDX X n2ijnX, XijEX XXijEXi XEXi XEX1EX X 1EXniijnn21nnX 1EX X 1EXniijnn21nnX XEii2n21222n1n2nX,X故DX X DX X,X故DX

24、X DX Xij12 n2n1n设r vX与Y 都取两个数值，则当设r vX与Y 都取两个数值，则当例与Y不相关，X与Y必独立只须r vX ,Y不妨rvX,Y 独立，只须证由题取0，1值，欲PX 1,Y 1 PX 1PY （3）PX0,Y 1（3）PX0,Y 1PX 0PY （4）PX 0,Y 0PX 0PY 若令(X=1)为事件A，（Y=1）为事件(1 ( 则(1)(4)可变化PAB PAPBPAB PAPB PAB PAPBPAB PAB PAPBPAB PAPBPAB PAPB但因只需证rvX不相关，故有EXY EXYEXY EXYPX 1,Y 1PAB EX PA,EY PBPAB P

25、APB故又故数学期望的补充性质（假设数学在X 数学期望的补充性质（假设数学在X 0 ，EX r（1）rX 且，（2）若X，Y为两EX r Proof:（1）设X为离散，其分列pi,i i于i于X Y,X Y （2）令 Z=X-YEXEYEX Y xii,rv分布列设(X,Y)为二维离散ij EX 故r设例仅在（a,b）内取值，证bar设例仅在（a,b）内取值，证baDX 2cX EX EX CCEX22DX EC2 C EX 2EXCCEXC E X C 2C C E X C 2C EX C2 CEX2 2CEXEX C2 CEX2 EX C取C ab,于2ab2DX EX EX2EX 2r仅在(a,b)内取值，于由题有ababX a22ar仅在(a,b)内取值，于由题有ababX a22ababX b22abbaX 亦22利用abbabaEX 利用abbabaEX 222ba2EX EX DX 2故2利用abbabaE