高考总复习导数的应用课件

1、高考总复习导数的应用课件回归课本1.函数的单调性与导数在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果f(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f(x)=0,那么f(x)在这个区间内为常数.2.函数的极值与导数(1)函数极值的定义若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f(a)=0,而且在x=a附近的左侧f(x)0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f(b)=0

2、,而且在x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值.如果在x0附近左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极值. 3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.4.解决优化问题的基本思路考点陪

3、练1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值为()A.2B.3C.4D.5解析:由题意得f(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所以f(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D.答案:D2.(2010重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间-2,2上的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析:f(x)=3x2-3,当x-2,-1或1,2时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(-1,1)时,f(x)0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,f(x)在

4、-2,2上的最大值为2.答案:C3.f(x)是定义在(-,+)上的可导的奇函数,且满足xf(x)0,f(1)=0,则不等式f(x)0的解为()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,+)解析:由xf(x)0时,f(x)0时,由f(x)1,又因为函数为奇函数,故当x0时,不等式f(x)x-1,故选B.答案:B答案:C5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的有_.函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减;函数f(x)在区间(1,7)内单调递减;当x=-3时,函数f(x)有极大值;当x=7时,f(x)有极小值.解析:由图

5、象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不是函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所以函数f(x)在x=7处有极小值.故填.答案:类型一函数的单调性解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:确定函数f(x)的定义域;求导数f(x);由f(x)0(或f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的

6、取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.分析第(1)问由f(x)在R上是增函数知f(x)0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问. 解(1)由已知f(x)=3x2-a,f(x)在(-,+)上是单调增函数,f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在R上是增函数,a0.(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a3时,f(x)=3x2

7、-a在x(-1,1)上恒有f(x)0(f(x)0f(x)单调递增,f(x)0f(x)单调递减.第(2)问转化为f(x)极小值m0,此时f(x)为增函数;当x(1,2)时,f(x)0,此时f(x)为增函数,因此在x=2处函数取得极小值.结合已知,可得x0=2.错源二误认为导数为零的点就是极值点【典例2】求函数f(x)=x4-x3的极值,并说明是极小值还是极大值. 剖析错解中的错误有两点,认为导数为零的点就是极值点,其实,并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件;极大值大于极小值,这也是不准确的.极值仅描述函数在该点附近的情况.技法一解决与不等式有关的问题【典例1】当x0时,证明不等式l

8、n(1+x)x-x2成立.解题切入点欲证x0时,ln(1+x)x- x2,可以证F(x)=ln(1+x)-(x-x2)0,易知F(0)=0,因此可以考虑F(x)在0,+)上是增函数.证明设f(x)=ln(1+x),g(x)=x-x2,F(x)=f(x)-g(x),F(x)=f(x)-g(x)=.当x0时,F(x)=0.所以F(x)在0,+)上是增函数.故当x0时,F(x)F(0)=0, 方法与技巧运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的单调性进而求解.技法二解决与函数周期有关的问题【典例2】设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2005(x)等于()解析f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x)=cosx,f2(x)=f1(x)=-sinx,f3(x)=f2(x)=-cosx,f4(x)=f3(x)=sinx.所以