2021年高考试题数学理(新课标1卷) 解析版

1、 9/92021年高考试题数学理(新课标1卷) 解析版 绝密启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷） 数学理 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2

2、【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （2）sin20cos10-con160sin10= （A） 3 2 -（B） 3 2 （C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=1 2 ，故选D. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 （3）设命题P：?nN，2n2n，则?P为 （A）?nN, 2n2n（B）?nN, 2n2n （C ）?n N, 2n 2n （D ）? n N, 2n =2n 【答案】C 【解析】 试题分析：p ?:2,2n n N n ?，故选C. 考点：特称命题的否定 （4）投篮测试

3、中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2 2330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212 x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ?2 MF 0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36

4、，3 6 ） （C ）（223- ，22 3 ） （D ）（233-，233） 【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程 （6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 考点：圆锥的体积公式 （7）设D 为ABC

5、所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)14 33 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)41 33 AD AB AC =- 【答案】A 【解析】 试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=14 33 AB AC -+，故选A. 考点：平面向量运算 (8) 函数()f x =cos()x ?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（）,k (D)（）,k 【答案】D 【解析】 试题分析：由五点作图知，1 +4

6、2 53+42 ? ?=?=?，解得=，=4?，所以()cos()4f x x =+，令 22,4 k x k k Z -时，()g x 0，所以当1 2 x =-时， max ()g x =12 -2e - ， 当0 x =时，(0)g =-1，(1)30g e =，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g -=-，且1(1)3g e a a -=-，解得 3 2e a 1，故选D. 考点：导数的综合应用 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题

7、：本大题共3小题，每小题5分 （13）若函数f (x )=x ln （x +2a x +）为偶函数，则a = 【答案】1 考点：函数的奇偶性 （14）一个圆经过椭圆22 1164x y + =的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。 【答案】22325 ()24 x y += 【解析】 试题分析：设圆心为（a ，0），则半径为4|a -，则222(4|)|2a a -=+，解得3 2 a =，故圆的 方程为22325 ()24 x y +=.学优高考网来源:学优高考网 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 （15）若x ,y 满足约束条件10 040 x x y x y -? -?+

8、-? ，则y x 的最大值为 . 【答案】3 【解析】 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x 是可行域内一点与原点连线 的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故y x 的最大值为 3. 考点：线性规划解法 （16）在平面四边形ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则AB 的取值范围是 【答案】（62-，6+2） 【解析】 试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 sin sin BC BE E C =，即 o o 2sin 3

9、0sin 75BE =，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交 于F ，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =， 即o o 2 sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） n S 为数列n a 的前n 项和.已知n a 0，2n n a a +=43n S +. （）求n a 的通项公式： （）设 ,求数列的前n 项和 【

10、答案】（）21n +（）11 646n -+ 【解析】 试题分析：（）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列n a 的递推公式，可以判断数列n a 是等差 数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列n a 的通项公式；（）根据（）数列n b 的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和. 学优高考网 试题解析：（）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a ，所以1a =3， 当2n 时，2211n n n n a a a a -+-=14343n n S S -+-=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a +-=+，因

11、为0n a ，所以1n n a a -=2， 所以数列n a 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （）由（）知，n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-+， 所以数列n b 前n 项和为12n b b b + +=1111111()()( )23557 2123n n -+-+ +-+ =11 646 n -+. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 （18）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。来源

12、:学优高考网 （1）证明：平面AEC平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 来源:学优高考网 【答案】（）见解析（） 3 3 222EG FG EF +=，EGFG， AC FG=G ，EG 平面AFC ， EG ?面AEC ，平面AFC平面AEC. 6分 （）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（）可得A （0，3，0），E(1,0, 2)，F （1,0， 22 ），C （0，3，0），AE =（1，3，2），CF =（-1，-3， 2 2 ）.10分 故3 cos ,3| AE CF

13、AE CF AE CF ?= =-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为 3 3 . 12分 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位： t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 x y w 2 1 () n i i x x =- 2 1 () n i i w w =- 1()()n i i i x x y y =- 1 ()()n i i i w

14、 w y y =- 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w 1 =x 1, ，w = 18 1 n i i w = （）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？ （给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题： （i ） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据

15、11(,)u v ,22(,)u v ，(,)n n u v ,其回归线v u =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() = () n i i i n i i u u v v u u =，=v u - 【答案】（）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（） 100.668y x =+（）46.24 y 关于x 的回归方程为100.668y x =+.6分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 （20）（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2 4 x 与直线y kx a =+(a 0)交

16、与M ,N 两点， （）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM =OPN ？说明理由。 【答案】（）0ax y a -=或0ax y a +=（）存在 【解析】 试题分析：（）先求出M ,N 的坐标，再利用导数求出M ,N .（）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M ,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：

17、（）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a . 12y x =，故24 x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为 (2)y a a x a -=-，即0ax y a -=. 故2 4 x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为 (2)y a a x a -=-+，即0ax y a +=. 故所求切线方程为0ax y a -=或0ax y a +=. 5分 （）存在符合题意的点，证明如下： 设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22

18、(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440 x kx a -=. 12124,4x x k x x a +=-. 121212y b y b k k x x -+= + =121212 2()()kx x a b x x x x +-+=() k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM=OPN ，所以(0,)P a -符合题意. 12分 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 （21）（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=3 1 ,()ln 4 x ax g x x + =- ()当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （）用min ,m n 表示m,n 中的最小值，设函数 ()min (),()(0)h x f x g x x = ，讨论h （x ）零 点的个数 【答案】（）34a =；（）当34a -或54a =，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数. ()若3a -或0a ，则2()3f x x a =+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1 (0)4 f = ，5 (1)4 f a