2021年高考.山东卷.理科数学试题及解答

1、 7/72021年高考.山东卷.理科数学试题及解答 2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。 1 若cos sin z i =+（i 为虚数单位），则21z =-的值可能是 （A ）6 （B ） 4 （C ）3 （D ） 2 2 已知集合1,1M =-，1124,2x N x x Z +? = （D ）对任意的x R ，32 10 x x -+ 8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且

2、小于14秒；第二组， 成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等 于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分 比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ， 则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45 秒 9 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 （1）:2p m ；2 :3q y x mx m =+有两个不同的零点。 （2）() : 1;() f x p f x -= :()q y f x =是函数。 （3）:

3、cos cos ;p = :tan tan q =。 （4）:;p A B A ?= :U U q C B C A ?。 （A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4) 10 阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的 变量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500 11.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式 不成立的是 （A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA

4、 BC =?u u u r u u u r u u u r （C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22 ()()AC AB BA BC CD AB ?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 2 .质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 （A ）51()2 （B ） 2551()2C （C ）33 51()2 C （ D ） 235551()2C C 第卷（

5、共90分） 注意事项： 1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. . 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上. (13)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 =2px (p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA 为 . (14)设D 是不等式组? ?+1 ,40,32102y x y x y x ，表示的平面区域，则D 中的点P （x ,y ）到直线x +y =10距离的最 大值是 . (15)与直线x +y -2=0和曲线x 2+y 2 -12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .

6、 (16)函数y =log a (x +3)-1(a 0,a 1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn 0,则 n m 2 1+的最小值为 . 6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)设数列n a 满足a 1+3a 2+32 a 3+3n -1 a n = N*,3 n n . ()求数列n a 的通项； （）设b n = n a n ，求数列n b 的前 n 项和S n . （18）（本小题满分12分） 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程2 0 x bx c +=实根的个数（重根按一

7、个计） （）求方程2 0 x bx c +=有实根的概率； （）求的分布列和数学期望； （）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2 0 x bx c +=有实根的概率 （19）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB =，AD DC ，AB DC （）设E 是DC 的中点，求证：1D E 平面11A BD ； （）求二面角11A BD C -的余弦值 B C D A 1A 1D 1C 1B E 得 分 评卷人 (20)(本小题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲

8、船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 1处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B 1处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 得 分 评卷人 分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （）求椭圆C 的标准方程； （）若直线l 1y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 得 分 评卷人 分)设函数f (x )=x 2 +b ln(x +

9、1),其中b 0. ()当b 2 1 时，判断函数f (x )在定义域上的单调性； （）求函数f (x )的极值点； （）证明对任意的正整数n ,不等式ln(3211)11(n n n -+)都成立. 参考答案： DBDAAB ，CADDCB 13【答案】: 21 p 14【答案】:4 2. 15【答案】:. 2 2 (2)(2)2x y -+-= 16【答案】: 8。 17【答案】: (I)2 1 12333 (3) ,3n n n a a a a -+= 2212311 33.3(2),3 n n n a a a a n += 111 3(2).333n n n n a n -=-= 1

10、(2).3 n n a n = 验证1n =时也满足上式，* 1().3 n n a n N = (II) 3n n b n =?， 23132333.3n n S n =?+?+?+? 231233333n n n S n +-=+-? 1 1332313 n n n S n +-= -?-， 1113 33244 n n n n S +=?-?+? 18【答案】:（I ）基本事件总数为6636?=， 若使方程有实根，则2 40b c ?=- ，即b 。 当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6

11、b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+= 因此方程2 0 x bx c += 有实根的概率为19.36 (II)由题意知，0,1,2=，则 17(0)36P =，21(1),3618P =17 (2)36 P =， 故的分布列为 的数学期望012 1.361836 E =? +?+?= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程2 0ax bx c += 有实根” 为事件N ，则 11()36P M = ，7 ()36 P MN =， 23413132333.3n n S n +=?+?+?+? ()7 ()()

12、11 P MN P N M P M = =. 19【答案】:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形， 11BE AD A D =，且11BE AD A D P P ， 11A D EB 四边形为平行四边形， 11D E A B P . 1111D E A BD A B A BD ?Q 平面，平面， 11.D E A BD P 平面 (II) 以D 为原点，1,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设 1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0

13、).DA DB =u u u u r u u u r 设(,)n x y z =r 为平面1A BD 的一个法向量， 由1,n DA n DB r u u u u r r u u u r 得200 x y x y +=?+=? ， 取1z =，则(2,2,1)n =-r . 设111(,)m x y z =u r 为平面1C BD 的一个法向量， 由,m DC m DB u r u u u r u r u u u r 得11112200 y z x y +=?+=?， 取11z =,则(1,1,1)m =-u r . cos ,m n m n m n ? 3,1a c a c +=-=，22,

14、1,3a c b = 22 1.43 x y += (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+? ?+=?得 222(34)84(3)0k x mkx m +-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+-，22340k m +-. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -+=-?=+ 222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D

15、 1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ?=，1212122()40y y x x x x +-+=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k -+=+， 2271640m mk k +=，解得 1222,7 k m k m =-=-，且满足22340k m +-. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 22【答案】(I) 函数2 ()ln(1)f

16、x x b x =+的定义域为()1,-+. 222()211 b x x b f x x x x +=+=+， 令2 ()22g x x x b =+，则()g x 在1,2?-+ ?上递增，在11,2?- ? ?上递减， min 11 ()()22 g x g b =-=-+. 当12b 时，min 1 ()02 g x b =-+， 2()220g x x x b =+在()1,-+上恒成立. ()0,f x 即当1 2 b 时,函数()f x 在定义域()1,-+上单调递增。 （II ）分以下几种情形讨论： （1）由（I ）知当1 2 b 时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，2 12(