功能原理机械能守恒

1、第03-2讲功能原理 机械能守恒第三章 动量守恒和机械能守恒1 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）一 功 B*A3-4 动能定理2 合力的功 = 分力的功的代数和 变力的功3 功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 平均功率 瞬时功率 功率的单位 （瓦特）4 例 1 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触水面时其速率为 . 设此球在水中所受的浮力与重力相等, 水的阻力为 , b 为一常量. 求阻力对球作的功与时间的函数关系 .解 如图建立坐标轴即又由 2 - 5 节例 5 知5二 质点的动能定理 动能（状态函数） 动能定理 合外力对质点所作的功

2、,等于质点动能的增量 . 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .注意6 例 2 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成 角时小球的速率 .解 7由动能定理得81） 万有引力作功以 为参考系， 的位置矢量为 . 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 对 的万有引力为由 点移动到 点时 作功为 3-5 保守力与非保守力 势能9AB2 ） 重力作功103 ） 弹性力作功11 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .二 保守力和非

3、保守力重力功弹力功引力功12非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力） 物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .13三 势能势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 保守力的功弹性势能引力势能重力势能弹力功引力功重力功14势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 . 势能是状态函数令 势能属于整个系统.说明 势能计算15 四 势能曲线弹性势能曲线重力势能曲线引力势能曲线16一 质点系的动能定理 质点系动能定理 注意:内力可以改变质点系的动能内力功 对质点系，有 对第 个质点，有3-6 功能原理 机械能守恒定律外力功17机械能质点系动能定理 非保守力的功二 质

4、点系的功能原理质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和 .18当时，有 功能原理三 机械能守恒定律 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变 . 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点 .19例 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和D 之间摩擦因数均不为零. 首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B，使弹簧受到挤压，后拆除外力，则 A 和 B 弹开过程中，对 A、B、C、D 组成的系统 （A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机

5、械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .DBCADBCA20例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)21已知求解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得又22可得由功能原理代入已知数据有23例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处

6、于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点 B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数.解 以弹簧、小球和地球为一系统，只有保守内力做功系统机械能守恒取图中点 为重力势能零点24又 所以即系统机械能守恒, 图中 点为重力势能零点25例 3 在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动着不可压缩的密度为 的流体. 点 a 处的压强为 p1、截面积为A1 ,在点b 处的压强为p2 截面积为A2 .由于点 a 和点 b 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 在点 a 和点b 处的速率分别为 和 .求流体的压强和速率之间的关系 .26则 解 取如图所示坐标,在 时间内 、 处流体分别 移动 、

7、 . 又27由动能定理得得即常量28若将流管放在水平面上，即常量 伯努利方程则有常量29若将流管放在水平面上，即则有常量即若则30三种宇宙速度31四 宇宙速度 牛顿的自然哲学的数学原理插图，抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度32设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 .解 取抛体和地球为一系统 ，系统的机械能 E 守恒 .1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 ，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度 .33解得由牛顿第二定律和万有引力定律得34地球表面附近故计算得第一宇宙速度352）人造行星 第二宇宙速度设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 . 第二宇宙速度 ，是抛体脱离地球引

8、力所需的最小发射速度 . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒 .当若此时则36计算得第二宇宙速度373） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 ，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度 .设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 , 太阳质量 , 抛体与太阳相距 . 38取地球为参考系,由机械能守恒得 取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 . 取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度为 ，地球相对于太阳的速度则如 与 同向,有39要脱离太阳引力，机械能至少为零则由于 与 同向,则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径 设地球绕太阳轨道近似为一圆，则40计算

9、得第三宇宙速度取地球为参照系计算得41抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系椭 圆(包括圆)抛物线双曲线42 完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 . 碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大的相互作用 . 完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之和不变 . 非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式的能量 .3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞43 例 1 在宇宙中有密度为 的尘埃, 这些尘埃相对 惯性参考系是静止的 . 有一质量为 的宇宙飞船以 初速 穿过宇宙尘埃, 由于尘埃粘贴到飞船上, 致使 飞船的速度发生改变 . 求飞船的速度与其在尘埃中飞 行时间的关系 . (设想飞船的外形是面积为S的圆柱体)解 尘埃与飞船作完全非弹性碰撞, 把它们作为一个系 统, 则 动量守恒 .即得44已知求 与