二重积分的概念与性质演示文稿

1、二重积分的概念与性质演示文稿第一页，共四十六页。（优选）二重积分的概念与性质第二页，共四十六页。 重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取极限. 定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间. 而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.重积分有其广泛的应用.序 言第三页，共四十六页。问题的提出二重积分的概念二重积分的性质小结 思考题 作业double integral第一节 二重积分的概念与性质第九章 重积分第四页，共四十六页。一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知

2、的 一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为二重积分的概念与性质第五页，共四十六页。曲顶柱体体积=特点1曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).曲顶顶是曲的二重积分的概念与性质第六页，共四十六页。柱体体积 = 特点 分析曲边梯形面积是如何求以直代曲、如何创造条件使 解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶平曲这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、

3、求和、取极限.二重积分的概念与性质 底面积高第七页，共四十六页。步骤如下用若干个小平顶柱体体积之和先任意分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积并任取小区域，近似表示曲顶柱体的体积，二重积分的概念与性质第八页，共四十六页。(1) 分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2) 取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式(用 表示第i个子域的面积) .将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点二重积分的概念与性质第九页，共四十六页。(3) 求和 即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积二重积分的概念与性质第十页，

4、共四十六页。2. 非均匀平面薄片的质量(1) 将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片.(2)(3)(4)近似 任取小块 设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.二重积分的概念与性质第十一页，共四十六页。也表示它的面积,二、二重积分的概念1. 二重积分的定义定义作乘积 并作和 二重积分的概念与性质第十二页，共四十六页。积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于的极限存在,极限为函数二重积分,记为即二重积分的概念与性质第十三页，共四十六页。曲顶柱体体积它的面密度曲顶 即在底D上的二重积分,平面薄片D的质量即二重积分的概念与性质在薄片D上的二重

5、积分, 第十四页，共四十六页。 2. 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为二重积分的概念与性质Dyxddd=s第十五页，共四十六页。(A) 最大小区间长;(B) 小区域最大面积;(C) 小区域直径;(D)最大小区域直径.D选择题二重积分的概念与性质第十六页，共四十六页。2. 二重积分的存在定理 设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相应的二重积分的概念与性质第十七页，共四十六页。(2)3. 二重积分的几

6、何意义(3) (1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,二重积分的概念与性质第十八页，共四十六页。例 设D为圆域二重积分=解 上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：二重积分的概念与性质RD第十九页，共四十六页。性质为常数, 则(二重积分与定积分有类似的性质)二重积分的概念与性质三、二重积分的性质根据二重积分的几何意义,确定积分值练习第二十页，共四十六页。以1为高的性质2将区域D分为两个子域性质3若 为D的面积oxyD1D2 注既可看成是以

7、D为底,柱体体积. 对积分区域的可加性质.D1与D2除分界线外无公共点.D又可看成是D的面积.二重积分的概念与性质第二十一页，共四十六页。二重积分的概念与性质在有界闭区域D1上可积,且则必有第二十二页，共四十六页。特殊地性质4(比较性质)设 则二重积分的概念与性质例的值= ( ).(A) 为正(B) 为负(C) 等于0(D) 不能确定为负B第二十三页，共四十六页。选择题 比较(D) 无法比较.oxy 1 12C(2,1)性质4(比较性质)的大小,则( )二重积分的概念与性质第二十四页，共四十六页。解例判断的正负号.故于是又当二重积分的概念与性质第二十五页，共四十六页。几何意义以m为高和以M为高

8、的两个证再用性质1和性质3, 性质5(估值性质)则为D的面积,则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.则二重积分的概念与性质第二十六页，共四十六页。解估值性质区域D的面积在D上例不作计算,二重积分的概念与性质第二十七页，共四十六页。性质6(二重积分中值定理)体积等于 显然几何意义证D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱体以D为底 为高的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以二重积分的概念与性质有第二十八页，共四十六页。的最大值M与最小值m之间的.由闭区域上连续函数的介值定理.两端各乘以 点的值证毕.即是说,确定的数值是介于函数在D上至少存在一点使得函数在该与这个确定

9、的数值相等,即二重积分的概念与性质第二十九页，共四十六页。选择题(A)(B)(C) (D)提示:B是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.利用积分中值定理.二重积分的概念与性质第三十页，共四十六页。利用积分中值定理,解即得:由函数的连续性知,显然,其中点是圆域内的一点.二重积分的概念与性质第三十一页，共四十六页。 补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数.oxyD1性质7则D1为D在第 一象限中的部分,对称性质二重积分的概念与性质坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于第三十二页，共四十六页。设f(x, y)关于y为

10、偶函数, D1oxy 证则得二重积分的概念与性质轴的分为许多对称于将域xD,子域内取一中的子域在iDsD1轴的子域与其对称于点xyxii),(,isD也记成).,(iiyx-取一点第三十三页，共四十六页。坐标y为奇函数自证!则设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x,y)关于二重积分的概念与性质第三十四页，共四十六页。这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz 区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数二重积分的概念与性质第三十五页，共四十六页。如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数oxyD1如果函数 f(x,y)关于坐标x则为偶函数则类似

11、地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,二重积分的概念与性质第三十六页，共四十六页。设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域二重积分的概念与性质第三十七页，共四十六页。 解由性质得 例二重积分的概念与性质11,11),(-=yxyxD其中第三十八页，共四十六页。为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考题, 选择,3分D1是D在第一象限的部分,练习二重积分的概念与性质第三十九页，共四十六页。D1D2D3D4记 I=则I= I1+ I2, 其中I1=I2=而 I1 =D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数二重积

12、分的概念与性质第四十页，共四十六页。而 I2 =是关于x的偶函数,关于y的奇函数. 所以 二重积分的概念与性质D1D2D3D4第四十一页，共四十六页。 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:二重积分的概念与性质第四十二页，共四十六页。 思考当f为关于x且关于y的偶函数时：当f为关于x或关于y的奇函数时：04Di是区域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域 设区域 关于x轴、y轴均对称, 函数f(x, y)在D上可积，则二重积分的概念与性质第四十三页，共四十六页。若D为 此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍.0D1为 x0, y 0, 则二重积分的概念与性质第四十四页，共四十六页。二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)(四步:分割、取近似、求和、取极限)二重积分的概念与性质四、小结