陕西省靖边县第四中学2022年数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数（是虚数单位），则（ ）AiBCD2己知变量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，据此预测：当时，y的值约为A5.95B6.65C7.35D73已知函数 在上单调递减，则的取

2、值范围是（ ）ABCD4双曲线x2A23B2C3D5下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（ ）ABCD6 “”是“复数为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知a，bR，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8随机变量的分布列如下表，其中，成等差数列，且，246则（ ）ABCD9已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是( )ABC

3、D10如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A点到平面的距离B直线与平面所成的角C三棱锥的体积D的面积11如图，在中， 是的外心， 于， 于， 于，则 等于 （ ）ABCD12已知，若包含于，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13中，则的最大值为_.14已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是_15已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，过弦的中点作准线的垂线，垂

4、足为，则的最小值为_16已知椭圆，斜率为的直线与相交于两点，若直线平分线段，则的离心率等于_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱柱中，（1）证明：；（2）若平面平面，求点到平面的距离18（12分）已知椭圆的离心率为，分别是其左、右焦点，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若在直线上任取一点，从点向的外接圆引一条切线，切点为.问是否存在点，恒有？请说明理由.19（12分） (A)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为(为参数)，是曲线上的动点，为线段的中点，设点的轨迹为曲线.(1)求的坐标方程；(2)若

5、射线与曲线异于极点的交点为，与曲线异于极点的交点为，求.(B)设函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.20（12分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.求选出的3人中有1位男员工的概率；（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这

6、5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小.（只需写出结论）21（12分）若函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围.22（10分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下问题用数字作答）（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？（2）将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数是多少？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先化简，结合二项式定理化简可求.【详解】，

7、故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.2、B【解析】先计算数据的中心点，代入回归方程得到，再代入计算对应值.【详解】 数据中心点为代入回归方程当时，y的值为 故答案选B【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力.3、A【解析】等价于在上恒成立，即在上恒成立，再构造函数并求g(x)的最大值得解.【详解】在上恒成立，则在上恒成立，令，所以在单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=.故.故选A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题.4、

8、A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线5、A【解析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果【详解】由回归方程知=，解得t=3，故选A【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错6、C【解析】分析：首先求得复数z为纯虚数时x是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数为纯虚数，则：，即：，据此可知，则“”是“复数为纯虚数”的充要条件本题选择C选项.点睛：本题主要考查充分必要条

9、件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、A【解析】根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：因为，若，则等式成立，即充分性成立，若成立，即，所以解得或即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题8、A【解析】根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.【详解】由，得.则，故选A.【点睛】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出9、C【解析】分析：先根据条件确定式子，再与相减得结果.详解

10、：因为，所以，所以,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.10、B【解析】试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题. 考点：空间点线面位置关系.11、D【解析】由正弦定理有 , 为三角形外接圆半径,所以,在中, ,同理,所以 ,选D.12、B【解析】解一元二次不等式求得集合，根据是的子集列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围

11、，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角变换和 基本不等式求其最大值.详解：由题得,由正弦定理得所以的最大值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查平面向量的数量积，考查正弦定理和三角变换，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是求出，其二是化简得到，再利用基本不等式求最大值.14、【解析】分析：求出切线方程，可得三角形面积，利用基本不等式求出最小值时切点坐标，设，利用余弦定理结合椭圆的定义，由三角形面积公式可得，根据与椭圆的定义即可的结果.详解：由题意，切线

12、方程为，直线与轴分别相交于点，当且仅当时，为坐标原点）的面积最小，设，由余弦定理可得，的内角平分线长度为，故答案为.点睛：本题考查椭圆的切线方程、椭圆的定义、椭圆几何性质以及利用基本不等式求最值、三角形面积公式定义域、余弦定理的应用，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.在解答与椭圆两个焦点有关的三角形问题时，往往综合利用椭圆的定义与余弦定理解答.15、.【解析】分析：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，可得，由余弦定理得：，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案.详解：如图：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，由抛物线

13、定义，得，在梯形中，由余弦定理得：，则的最小值为.故答案为：.点睛：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题.16、【解析】利用点差法求出的值后可得离心率的值【详解】设，则，故即，因为为的中点，故即，所以即，故，填【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得，然

14、后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面所成角的正弦值是.试题解析：（1）证明：如图所示，取的中点，连接，.因为，所以.由于，故为等边三角形，所以.因为，所以.又，故（2）由（1）知，又，交线为，所以，故两两相互垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.由题设知，则，.设是平面的法向量，则即可取故. 所以与平面所成角的正弦值为 18、 (1) (2) ，或【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的恒成立，故可得关于的方程，从而

15、求得的坐标.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以. 又椭圆过点，所以代入得. 又. 由，解得.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，的坐标分别是.因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，即的外接圆的圆心一定在轴上，所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，则由及两点间的距离公式，得，解得.所以圆心的坐标为，半径，所以的外接圆的方程为，即.设点为点为，因为，所以，化简，得，所以，消去，得，解得或.当时，；当时，.所以存在点，或满足条件.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何

16、中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题.19、 (A) (1)(为参数)，(2)(B) (1)；(2).【解析】试题分析：A(1)结合题意可得的极坐标方程是(为参数)，(2)联立极坐标方程与参数方程，结合极径的定义可得B(1)由题意零点分段可得不等式的解集是；(2)由恒成立的条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式可得实数的取值范围是.试题解析：(A)解：(1)设，则由条件知，由于点在曲线上，所以，即，从而的参数方程为(为参数)，化为普通方程即，将，所以曲线后得到极坐标方程为.(2)曲线的极坐标方程为，当时，代入曲线的极坐标方程，得，即，解得或，所以射线与的交点的极径

17、为，曲线的极坐标方程为.同理可得射线与的交点的极径为.所以.(B)解：(1)当时，由解得.(2)因为且.所以只需，解得.20、（1）男员工3人，女员工2人（2）（3）【解析】（1）根据分层抽样等比例抽取的性质，列式计算即可；（2）分别计算5人中选出3人的全部可能性和3人中有1人为男员工的可能性，用古典概型概率计算公式即可求得；（3）根据方差的性质，即可判断.【详解】（1）抽取的5人中男员工的人数为，女员工的人数为.（2）由（1）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.所以，根据题意，从人中抽取3人，共有种可能；其中恰有1位是男员工共有种可能，故满足题意的概率为：，所以，选出的3人中有

18、1为男员工的概率是.（3）笔试成绩为78，85，89，92，96；考核成绩可以理解为这5个数据每个数据加10得到，根据方差的性质，则两组数据的方差保持不变.故.【点睛】本题考查分层抽样的特点，古典概率的概率计算，方差的性质，属综合基础题.21、（1）（2）【解析】（1）求导得到，得到切线方程.（2），讨论，三种情况，得到函数单调区间，判断是否有极值，计算极值解不等式得到答案.【详解】(1)当时，则，所以切线方程为.(2) ，当时，在上单调递减，无极值；当时在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极小值，所以；当时，令或，设，当，当，当时在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得极大值，设，从而，所以在上单调递减，所以不符合题意.当时在上单调递增，此时在上无极值，不合题意.综上：取值范围是.【点睛】本题考查了函数的切线方程，极值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22、（1）63种不同的去法（2）种【解析】（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去1，2，3，4，5，6个人，利用组合数求解即可（2）第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中