2022届上海市香山中学数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有( )种A60B90C120D1

2、502某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，正态变量X在区间，内取值的概率分别是，则成绩X位于区间(52,68的人数大约是（ ）A997B954C683D3413在的展开式中，的幂指数是整数的共有A3项B4项C5项D6项4若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A2个B4个C3个D多于4个5某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）ABCD6下列函数中，满足“且”的是()ABCD7已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（ ）ABCD8设函数 的定义

3、域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则A（1,2）B（1,2C（-2,1）D-2,1)9在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线所围成的图形的面积为（ ）ABCD10用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4Ak2+1Ck2+111已知三棱锥的底面是等边三角形，点在平面上的射影在内（不包括边界），.记，与底面所成角为，；二面角，的平面角为，则，之间的大小关系等确定的是（）ABC是最小角，是最大角D只能确定，12三棱锥中，为的中点,分别交，于点、，且，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知、满足，则的最小值为_.14如图，已知四面体的棱平面，且，其余

4、的棱长均为1，四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方，如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的取值范围为_.15在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则_16随机变量X的分布列是 123P0.40.20.4则EX,DX分别是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，圆的半径为2，点是圆的一条半径的中点，是圆过点的动弦. (1)当是的中点时，求的值; (2)若，,且. ,的值; 求的值.18（12分）已知矩阵，矩阵B的逆矩阵.（1）求矩阵A的特征值及矩阵B.（2）若先对曲线实施矩阵A

5、对应的变换，再作矩阵B对应的变换，试用一个矩阵来表示这两次变换，并求变换后的结果.19（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（I）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（II）求曲线上的点到直线的距离的最大值.20（12分）已知函数.（1）若函数与相切于点，求的值；（2）若是函数图象的切线，求的最小值.21（12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；22（10分）已知，分别为三个内角,的对边，.()求；(

6、)若=2，的面积为，求，.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，5人的安排方案为或，结合平均分组计算公式可知，方案为时的方法有种，方案为时的方法有种，结合加法公式可知安排方法共有种.本题选择D选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分

7、组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法2、C【解析】分析：先由图得，再根据成绩X位于区间(52,68的概率确定人数.详解：由图得因为，所以成绩X位于区间(52,68的概率是，对应人数为选C.点睛：利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.3、D【解析】根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出的幂指数是整数的项的个数。【详解】由题意知，要使的幂指数是整数，则必须是的倍数，故当满足条件。即的幂指数是整数的项共有项，故答案选D。【点睛】本

8、题主要考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。4、B【解析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，故当时，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5、A【

9、解析】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6、C【解析】根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。【详解】根据题意知，函数在上是减函数。选项A，在上是增函数，不符合；选项B，在上不单调，不符合；选项C，在上是减函数，符合；选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。7、C【解析】由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到 然后利用 即可得到焦点坐标【

10、详解】由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到即 所以 又双曲线顶点在 轴上，所以焦点坐标为【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题8、D【解析】由得，由得，故，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.9、C【解析】根据余弦函数图象的对称性可得，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题10、C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+n1=n4+n22时，当n=k+【详解】当n=k时，等式左端=1+1+k1，当n=k

11、+1时，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1故选：C【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./11、C【解析】过作PO平面ABC，垂足为，过作ODAB，交AB于D，过作OEBC，交BC于E，过作OFAC，交AC于F，推导出OAOBOC，ABBCAC，ODOFOE，且OEOB，OFOA，由此得到结论【详解】解：如图，过作PO平面ABC，垂足为，过作ODAB，交AB于D，过作OEBC，交BC于E，过作OFAC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，ABC为正三角形，PAPBPC，二面角PBCA，二

12、面角PACB的大小分别为，PA，PB与底面所成角为，PAO，PBO，PEO，PFO，OAOBOC，ABBCAC，在直角三角形OAF中，在直角三角形OBE中，OAOB，OAFOBE，则OFOE，同理可得ODOF，ODOFOE，且OEOB，OFOA，可得是最小角，是最大角，故选：C【点睛】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12、B【解析】由已知可知，是正三角形，从而，进而，是的平分线，由此能求出三棱锥体积的最大值.【详解】由题意得，所以是正三角形，分别交，于点、，,， ，是的平分线， ，以为原点，建立平面直角坐标系，如图

13、： 设，则，整理得， 因此三棱锥体积的最大值为.故选：B【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】此题考查线性规划问题，只需认真作出不等式表示的平面区域，把目标函数转化为截距式求值即可.【详解】作出不等式表示的平面区域，如图所示：令，则，作出直线l: ,平移直线l，由图可得，当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，得B(2，2),代入故填4.【点睛】本题主要考查学生的作图能力及分析能力，难度较小.14、【解析】用极限法思考.当直线平面时, 有最小值,当直线平面时, 有最大值,这样就

14、可以求出函数的取值范围.【详解】取的中点,连接,于是有平面,所以,，其余的棱长均为1,所以,到的距离为,当直线平面时,有最小值,最小值为：；当直线平面时, 有最大值,最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力.15、【解析】画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于,在可求得.【详解】画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 正方体 面, 与面所成的角为 不妨设正方体棱长为,故 在中由勾股定理可得: 故答案为:.【点睛】本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的

15、关键.属于基础题.16、2,0.1【解析】于已知分布列，故可直接使用公式求期望、方差【详解】E=10.4+20.2+30.4=2，D=（12）20.4+（22）20.2+（32）20.4=0.1故答案为：2,0.1【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）.【解析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）根据解得，再根据分解唯一性得,的值; 由得，再根据向量夹角公式得结果.详解：解：（1）因为为圆的弦的中点，所以因为为的中点，所

16、以在中, ,所以,所以所以 （2） 因为所以所以又，且与不共线所以， 因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解18、（1）矩阵A的特征值为1,2；（2），【解析】（1）通过特征多项式即可得到特征值，利用，可计算出矩阵B；（2）首先可计算出的结果，然后设出，变换后的点设成，利用线性变换得到相关关系，从而得到新曲线.【详解】(1)矩阵A的特

17、征多项式，令，则或，故矩阵A的特征值为1,2；设，根据，可得：即，解得，所以矩阵.(2)两次变换后的矩阵，在曲线上任取一点，在变换C的作用下得到，则，即，整理得，可得，即，代入得.【点睛】本题主要考查线性变换，特征值的计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.19、（I），；（II）.【解析】（I）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程（II）在曲线C上任取一点利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的最小距离【详解】（I）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（II）设曲线上的点的坐标为，则点到直线的距离，当时，取

18、得最大值，曲线上的点到直线的距离的最大值为.【点睛】本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题20、（1）；（2）【解析】（1）利用函数与相切于点，切线即可求的值.（2）若是函数图象的切线，设切点，表达函数的切线方程，表达，构造新函数，求其最小值即可.【详解】（1）由函数，则，.所以，.（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，由题意得.令.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；的最小值为.【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，解题的关键是熟记基本初等函数的导数，属于中档题.21、