福建省惠安惠南中学2022年数学高二下期末质量检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合A=1,3,5，B=-3,1,5，则AB=（A1B3C1,3D1,52七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任

2、取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）ABCD3若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD4已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）ABCD5函数的图象大致为ABCD6把圆x2+(y-2)A线段B等边三角形C直角三角形D四边形7命题“，使得”的否定形式是（ ）A，使得B，使得C，使得D，使得8已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限A一B二C三D四9函数的图象可能是（ ）ABCD10定义在R上的偶函数满足，当时，设函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A3B4C5D611已知a，bR，则“”是“”的（ ）A充分不

3、必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12下列说法中正确的个数是（ ）命题：“、，若，则”，用反证法证明时应假设或；若，则、中至少有一个大于；若、成等比数列，则；命题：“，使得”的否定形式是：“，总有”.ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在长方体中，若，则异面直线与所成角的大小为_.14从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为的概率为_15某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_（结果用分数表示）附参考数

4、据：；16在平面直角坐标系中，若直线与椭圆在第一象限内交于点，且以为直径的圆恰好经过右焦点，则椭圆的离心率是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求的前项和18（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.19（12分）（江苏省南京师大附中高三高考考前模拟考试数学试题）已知函数f(x)lnxaxa，aR（1）若a1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线yf(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1)，Q(x2，f

5、(x2)，记直线PQ的斜率为k，若yf(x)的导函数为f (x)，证明：f ()k20（12分）（）（1）当时，求的单调区间；（2）若，存在两个极值点，试比较与的大小；（3）求证：（，）21（12分）已知函数（为常数）（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围22（10分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直线AB(2)在(1)的条件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG平面A1ABB1，G为垂足，令CG=pCA+qCB+rCB参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

6、是符合题目要求的。1、D【解析】根据交集定义求解【详解】由题意AB=1,5故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题2、B【解析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可【详解】设“东方魔板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是 则满足条件的概率 故选：B【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题3、B【解析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到渐近线的距离，解得故选：B【点

7、睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题4、C【解析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，则直线AF的斜率，选C考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率5、B【解析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.6、B【解析】通过联立方程直接求得交点坐标，从而判断图形形状.【详解】联立x2+(y-2)2=1与x2【点睛】本题主要考查圆与椭圆的交点问题，难度不大.7、D【解析】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是故选D【考点】全称命题与特称命题的否定【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称

8、命题的否定是全称命题对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： 将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；将结论加以否定8、D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则复数对应的点为，该点位于第四象限，即复数对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、A【解析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，则，若，若，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的

9、性质进行排除，属于中档题.10、B【解析】根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.11、A【解析】根据复数的基本运算，结合充分条件和

10、必要条件的定义进行判断即可【详解】解：因为，若，则等式成立，即充分性成立，若成立，即，所以解得或即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题12、C【解析】根据命题的否定形式可判断出命题的正误；利用反证法可得出命题的真假；设等比数列的公比为，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题的正误；利用特称命题的否定可判断出命题的正误.【详解】对于命题，由于可表示为且，该结论的否定为“或”，所以，命题正确；对于命题，假设且，由不等式的性质得，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题正确；对于命题，设等

11、比数列、的公比为，则，.由等比中项的性质得，则，命题错误；对于命题，由特称命题的否定可知，命题为真命题，故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】画出长方体,再将异面直线与利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可.【详解】画出长方体可得异面直线与所成角为与之间的夹角,连接.则因为,则,又,故,又,故为等腰直角三角形,故,即异面直线与所成角的大小为故答案为【点睛】本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面

12、直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.14、【解析】正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60，得共有128对对角线所成角为60，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60的有48对，根据古典概型概率公式求解即可【详解】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与上平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60的直线有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八对直线，总共12条对角线；共有12896对面对角线所成角为60，而有一半是重复的；从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的

13、角为60的共有48对而正方体的面对角线共有12条，所以概率为：故答案为【点睛】本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键15、【解析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.【详解】由题意可知，事件为，所以，由条件概率公式得，故答案为：.【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.16、.【解析】由题意可得轴，求得的坐标，由在直线上，结合离心率公式，解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点

14、，可得轴，令，可得，不妨设，由在直线上，可得，即为，由可得，解得（负的舍去）.故答案为: .【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出或者列出一个关于 的方程，由椭圆或双曲线的的关系，进而求解离心率.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将已知条件转化为数列的首项和公差表示，通过解方程组可得到基本量的值，从而求得通项公式；（2）借助于（1）可求得的通项公式，结合特点利用列项求和法求和试题解析：（1）由已知有，则（2），则考点：数列求通项公式就和18、

15、16【解析】分析：由正四棱柱的性质得，从而，进而，由此能求出正四棱柱的体积.详解：为与所成角且 ， 点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.19、（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a0时，f(x)在(0，)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a0时的零点情况，当a0时，函数有极大值， 令（x0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3

16、）由斜率计算公式得 ，而 ，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1）， 当时，在上单调递增，无极值； 当时， ，在上单调递增； ，在上单调递减， 函数有极大值，无极小值 （2）由（1）可知当a0时，f(x)在(0，)上单调增，不可能有两个零点；当a0时，函数有极大值， 令（x0）， ， ，在(0，1)上单调递减； ，在(1，)上单调递增， 函数有最小值 要使若函数有两个零点时，必须满足， 下面证明时，函数有两个零点 因为， 所以下面证明还有另一个零点 当时， ， 令()， 在上单调递减，则， 所以在上有零点，又在上单调递减， 所以在上有惟一零点，从而有两个零点 当时， ， 易证

17、，可得， 所以在上有零点，又在上单调递减， 所以在上有惟一零点，从而有两个零点 综上，的范围是 （3）证明：， ， 又， 不妨设0 x2x1， t，则t1， 则 令（）， 则，因此h(t)在(1，)上单调递减，所以h(t)h(1)0. 又0 x2x1，所以x1x20，所以f ()k0，即f ()k点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.20、（1）递减，递增（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0

18、t1时，g（t）=2lnt+-2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0t1时，g（t）=2lnt+-20恒成立，即lnt+-10恒成立，设t=（n2，nN），即ln+n-10，即有n-1lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证试题解析：（），定义域，递减，递增（），（也可使用韦达定理）设，当时，当时，在上递减，即恒成立综上述（）当时，恒成立，即恒成立设，即，考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用21、（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）当时，求得，令令，解得或，分类讨论即可求解函数的单调性；（2）当时，由题意，在上恒成立即在上恒成立

19、，当时，不等式成立；当时，令，求得，分类讨论即可求解详解：（1）当时，；令，解得或当，即时，增区间为，减区间为；当，即时，增区间为，无减区间；当，即时，增区间为，减区间为（2）当时，由题意，在上恒成立即即在上恒成立1）显然时，不等式成立；2）当时，令，则当时，只须恒成立 恒成立，（可求导证明或直接用一个二级结论：） 当时，单减；当时，单增； 当时，只须恒成立 此时，即单减 综上所述，点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已