2022年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学湘江校区数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内

2、随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )ABCD2从名男生和名女生中选出名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）ABCD3函数 在的图像大致为（ ）ABCD4已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为ABCD5设集合，那么集合中满足条件的元素个数为( )A60B90C120D1306已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于的是（ ）ABCD7若对任意实数，有，则（ ）ABCD8下列命题中真命题的个数是（ ），；若“”是假命题，则都是假命题；若“，”的否定是“，”A0B1C2D39九

3、章算术是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为、高为,则该容器外接球的表面积为（ ）ABCD10已知集合，那么( )ABCD11下列选项中，说法正确的是（ ）A命题“”的否定是“”B命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C命题“若，则”是假命题D命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题12在极坐标系中，点关于极点的对称点为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13的展开式中的常数项为_。14已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P

4、(X=2)=_.15若对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是_.16设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：第x度y/cm0479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结

5、果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).附：，参考数据：140285628318（12分）某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担若水产养殖基地恰能在约定日期（月日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地万元为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息： 统计信息汽车 行驶路

6、线不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路公路（注：毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用运费）（）记汽车走公路时水产养殖基地获得的毛利润为（单位：万元），求的分布列和数学期望（）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？19（12分）已知过点的椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上的任意一点，且，成等差数列.（）求椭圆的标准方程；（）直线交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.20（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）

7、当时，证明：21（12分）已知函数，（其中，且），（1）若，求实数的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想22（10分）双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程； （2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形

8、的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验

9、证事件是否等可能性导致错误2、B【解析】从反面考虑，从名学生中任选名的所有选法中去掉名全是男生的情况，即为所求结果【详解】从名学生中任选名，有种选法，其中全为男生的有种选法，所以选出名学生，至少有名女生的选法有种.故选：B.【点睛】本题考查组合问题，也可以直接考虑，分类讨论，在出现“至少”的问题时，利用正难则反的方法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.3、C【解析】利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及与的大小关系辨别函数的图象【详解】，所以，函数为奇函数，排除D选项；当时，则，排除A选项；又，排除B选项故选C【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的

10、定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题4、C【解析】试题分析： 因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.5、D【解析】从，且入手，可能取，分3种情况讨论种的个数，再求5个元素的排列个数，相加即可得到答案.【详解】因为，且，所以可能取，当时，中有1个1或，4四个 所以元素个数为；当时，中有2个1，3个0，或1个1,1个，3个0，或2个，3个0，所以元素个数为，当时，中有3个1,2个0，或2个1,1个

11、，2个0，或2个，1个1,2个0，或3个 ，2个0，元素个数为，故满足条件的元素个数为，故选：D【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了求排列数，对的值和对中的个数进行分类讨论是解题关键，属于难题.6、D【解析】根据古典概型的概率公式可得解.【详解】由 可知选D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式，容易误选B，属于基础题.7、B【解析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.详解：，且 ，.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.8、B【解析】若，故命题假；若“”是假命题，则至多有一个是真命题，故命题是假命题；依

12、据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“”的否定是“”，即命题是真命题，应选答案B9、C【解析】首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果【详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8，所以r28，解得圆锥的底面半径为，由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则，解得 所以表面积故选C【点睛】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10、C【解析】解出集合B，即可求得两个集合的交集.【详解】由题：，所以.故选：C【点睛】此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出方程的解集，根据集合

13、交集运算法则求解.11、C【解析】对于A，命题“”的否定是“”，故错误；对于B，命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若，则”在时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在中，若，则或”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.12、C【解析】分析：在极坐标系中，关于极点的对称点为详解：关于极点的对称点为，关于极点的对称点为故选：C点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、240【解析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果【详解

14、】，令得，所以的展开式中的常数项为.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.14、【解析】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）详解：P（X=i）= (i=1,2,3)，a=3，P（X=2）=.故答案选：C点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： Pi0，i1，2，；P1+P2+=115、【解析】根据（）代入中求得的最大值，进而得到实数的取值范围。【详解】因为，所以（当

15、且仅当时取等号）；所以，即的最大值为，即实数的取值范围是；故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解题方法，解题关键是利用基本不等式求出的最大值，属于中档题。16、【解析】将不等式转化为，分别在、的情况下讨论得到的最大值，从而可得；分别在、的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【详解】对任意实数恒成立等价于：当时， 当时，当时，当时， 综上可知：，即当时，解得：当时，无解当时，解得：的取值集合为：本题正确结果；【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.三、解答题

16、：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) 更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2) ；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【解析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.【详解】解：(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型； (2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易计算，.通过上表计算可得：因此 回归直线过点(，)，故y关于的回归直线方程为 从而可

17、得：y关于x的回归方程为令x=144，则， 所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【点睛】本题主要考查非线性回归方程，先将问题转化为线性回归方程，根据最小二乘法求出参数的估计值，即可得出结果，属于常考题型.18、（）见解析，万元；（）走公路可让水产养殖基地获得更多利润【解析】试题分析：（）根据题意得到不堵车时万元，堵车时万元，结合题目中给出的概率得到随机变量的分布列，求得万元。（）设设走公路利润为，同（）中的方法可得到随机变量的分布列，求得万元，故应选择走公路可让水产养殖基地获得更多利润。试题解析：（I）由题意知，不堵车时万元，堵车时万元。 随机变量的分布列为 万元（II）设走公路利

18、润为，由题意得，不堵车时万元，万元， 随机变量的分布列为： 万元， 走公路可让水产养殖基地获得更多利润19、 (1).(2)或.【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据题意知x1=2，y1=0；联立方程消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得PAQ为锐角，0；由此列不等式求出k的取值范围试题解析：（1），成等差数列，由椭圆定义得，；又椭圆：（）过点，；，解得，；椭圆的标准方程为；（2）设，联立方程，消去得：；依题意：恒

19、过点，此点为椭圆的左顶点，由方程的根与系数关系可得，；可得；由，解得，；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，；即，整理得，解得：或.实数的取值范围是或.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.20、（1）

20、见解析；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）求出的导函数，由得增区间，由得减区间，注意在解不等式时要按的值分类讨论；（2）由（1）的结论知当时，题中不等式成立，而当时，题中不等式不恒成立；（3）时，由（2）知上有，从而，令，然后所有不等式相加可证详解： (1)yf(x)g(x)ln(ax1)，y， 当a1时，y0，所以函数yf(x)g(x)是0，)上的增函数；当0a0得x2，所以函数yf(x)g(x)在上是单调递增函数，函数yf(x)g(x)在上是单调递减函数； (2)当a1时，函数yf(x)g(x)是0，)上的增函数所以f(x)g(x)f(0)g(0)1，即不等式f(x)g(x)1在x0，)时恒成立，当0a1时，函数yf(x)g(x)是上的减函数，存在，使得f(x0)g(x0)g(x)1在x(0，)时恒成立，即