2021-2022学年江西省吉安市四校联考数学高二第二学期期末调研试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，

2、如图所示.则球的半径是()A1 cmB2 cmC3 cmD4 cm2且，可进行如下“分解”：若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）A44B45C46D473近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了位，得到数据如下表：愿意被外派不愿意被外派合计中年员工青年员工合计由并参照附表，得到的正确结论是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A

3、在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄有关”；B在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄无关”；C有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”；D有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”4已知实数满足则的最大值是( )A-2B-1C1D25在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是( )ABCD（）6若角为三角形的一个内角，并且，则（ ）ABCD7设集合，那么集合中满足条件的元素个数为( )A60B90C120D1308已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切

4、，则的最大值为（ ）ABCD9 “”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10在边长为2的菱形中，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（ ）ABCD11定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（ ）A1B2C3D412(3x-13xA7B-7C21D-21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量满足，的夹角为，则_14一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为_15点2，3，4，若的夹角为锐角，则的取值范围为_16 _三、

5、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，（1）求直线与直线所成的角的大小；（2）求四棱锥的侧面积；18（12分）设函数，（）证明：；（）若对所有的，都有，求实数的取值范围19（12分）已知函数（且，e为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求a的值.20（12分）已知曲线的参数方程为（为参数，）,直线经过且倾斜角为.（1）求曲线的普通方程、直线的参数方程.（2）直线与曲线交于A、B两点，求的值.21（12分）设函数(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，

6、恒成立，求实数的取值范围22（10分）如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可【详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题2、B【解析】探寻规律，利用等差数列求和进行判断【详解】由题

7、意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，是从开始的第个奇数，第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，故选【点睛】本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。3、A【解析】由公式计算出的值，与临界值进行比较，即可得到答案。【详解】由题可得：故在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄有关”， 有90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关，所以答案选A;故答案选A【点睛】本题主要考查独立性检验，解题的关键是正确计算出的值，属

8、于基础题。4、C【解析】作出可行域，如图内部（含两边），作直线，向上平移直线，增加，当过点时，是最大值故选C5、B【解析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.6、A【解析】分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：角为三角形的一个内角，且，故选：A点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.7、D【解析】从，且入手，可能取，分3种情况讨论种的个数，再求5个元素的排列个数，相加即可

9、得到答案.【详解】因为，且，所以可能取，当时，中有1个1或，4四个 所以元素个数为；当时，中有2个1，3个0，或1个1,1个，3个0，或2个，3个0，所以元素个数为，当时，中有3个1,2个0，或2个1,1个，2个0，或2个，1个1,2个0，或3个 ，2个0，元素个数为，故满足条件的元素个数为，故选：D【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了求排列数，对的值和对中的个数进行分类讨论是解题关键，属于难题.8、A【解析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【详解】定圆， ，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为： 故答案选A【点睛】本题考

10、查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.9、C【解析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则 解得，故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C.【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题10、C【解析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DNAC，BNAC，可得出二面角BACD的平面角为BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥BACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案【详解】如下图所示，易知ABC和A

11、CD都是等边三角形，取AC的中点N，则DNAC，BNAC所以，BND是二面角BACD的平面角，过点B作BODN交DN于点O，可得BO平面ACD因为在BDN中，所以，BD1BN1+DN11BNDNcosBND，则BD1故三棱锥ABCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故因此，三棱锥ABCD的内切球的表面积为故选：C【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题11、B【解析】由导数与极大值之间的关系求解【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数

12、图象，在上有两个有两个零点满足故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系属于基础题12、C【解析】直接利用二项展开式的通项公式，求出x-3对应的r值，再代入通项求系数【详解】T当7-5r3=-3时，即r=6x-3的系数是【点睛】二项展开式中项的系数与二项式系数要注意区别.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 【解析】先计算，再由展开计算即可得解.【详解】由，的夹角为，得.所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题.14、18【解析】画出满足题意的三棱锥P-ABC图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱

13、锥的侧面积【详解】由题意画出图形，如图所示：因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因为三角形PDF三边长PD=1，DF=3所以PF=2，则这个棱锥的侧面积S=3故答案为：18。【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和。15、【解析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出【详解】1，2，的夹角为锐角，且不能同向共线解得，则的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16、【解

14、析】分析：根据，即可求出原函数，再根据定积分的计算法则计算即可.详解：，故答案为：.点睛：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据可知所求角为；利用线面垂直性质可知，结合，利用线面垂直判定可证得平面，进而得到；利用直角三角形的关系可求得所求角的正切值，进而得到所求角；（2）利用线面垂直的性质和判定易得四棱锥的四个侧面均为直角三角形，分别求得每个侧面面积，加和得到结果.【详解】（1）四边形是正方形 直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即底面，平面 ，又，平面，平面，又平面 ，又 ，

15、即直线与直线所成角为：（2）由（1）知：，底面，平面 ，又，平面 平面平面 四棱锥的侧面积为：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解、棱锥侧面积的求解问题；关键是能够灵活运用线面垂直的判定和性质，考查基础计算能力.18、（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（）记求两次导得在递增， 又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（）令，由 在递减，在递增， 即成立 （） 记， 在恒成立， ， 在递增， 又， 当 时，成立， 即在递增，则，即 成立； 当时，在递增，且， 必存在使得则时，即 时，与在恒成立矛盾，故舍去综上，实数的取值范围是点

16、睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为 .19、（1）（2）【解析】（1）代入，得，所以，求出，由直线方程的点斜式，即可得到切线方程；（2）分和两种情况，考虑函数的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【详解】解：（1）当时，切线方程为 ;（2），令，得， 1）当时，x0极小值所以当时，有最小值，.因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即，因为当时，所以此方程无解. 2）当时，x0极小值所以当时，有最小值，.因为函数只有一个零点

17、，且当和时，都有，所以，即（）（*），设（），则，令，得，当时，；当时，；所以当时，所以方程（*）有且只有一解.综上，时函数只有一个零点.【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线方程的求法，以及利用导数研究含参函数的零点问题，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.20、（1）；（为参数，） (2) 【解析】(1)利用,消去参数即可求得曲线的普通方程,根据直线参数方程的定义即可求得直线的参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义,联立方程,借助韦达定理,即可求得.【详解】（1）由,代入中得，整理得曲线的普通方程为,直线的参数方程为（为参数，），(2)将直线的参数方程代入并整理得.设对应

18、的参数分别为，则，.【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的相互转化,体现了转化与化归的数学思想,同时考查了直线参数方程中参数的几何意义,体现了参数方程解题的优势,难度较易.21、 (1) (2) 【解析】(1)利用判别式可求实数的取值范围，注意二次项系数的讨论.(2)就三种情况讨论函数的最值后可得实数的取值范围.【详解】解：(1)要使恒成立，若，显然； 若，则有，(2)当时，显然恒成立； 当时，该函数的对称轴是，在上是单调函数当时，由于，要使在上恒成立，只要即可,即得，即； 当时，由于函数在上恒成立，只要即可，此时显然成立.综上可知【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.22、（）（）直线恒过定点【解析】试题分析：（）设椭圆C的半焦距为c求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BPBQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的