用微积分理论证明不等式的方法

1、 /13 /13用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式一、用导数定义证明不等式法1证明方法根

2、据导数定义导数定义：设函数y=f(x)在点。兀。的某个邻域内有定义，若极限limf(x)-f(x0)=limy存在，则称函数f(x)在x0可导，称这极限为函数y=f(x)在点x0 x-xAxx00Ax0的导数，记作y二f(x).02证明方法：(1)找出x，使得y二f(x)恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已00知条件去研究3例例1:设函数f(x)=asinx+asin2xHFasinnx，其中a,a，a都为实数，TOC o 1-5 h z12n12nn为正整数，已知对于一切实数x,有|f(x)|sinx|，试证：+2a?+十na1.证明：因f(x)=acosx+2acos2x+

3、Fnacosnx.贝0 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 12nf(0)二a+2aHFna. HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 12nxt0 x由于If(x)|sinx|得：|f(0)|=1limf(x)-f(0)I二x-0所以If(0)|limx0sinxxx0=1.即|a+2aHFna|0(f(x)0(或f(x)0(或f(x)v1+x2(x0).证明：令f(x)二1+xln(x+J+x2)-v1+x2,xe0,+s)，易知f(x)在0,+s)上连续，且有f(x)二ln(x+1+x2)0,xe(0

4、,+s)，由定理二可知f(x)在0,+s)上严格单调增加，所以由单调性定义可知f(x)f(0)=0,(x0)，即1+xln(x+1+x2)-、1+x20.因此1+xln(x+0).例3：求证：a+b|1+a+b|x证明：设辅助函数f(x)=仁,(x0)易知f(x)在0,切上连续，且有1(1+x)20,(x0)则由定理二可知f(x)在0,+Q上严格单调增加.由0a+bja+b，有fw+b）f（问+ib）,得到a+|b|i+a+|b|b|!+!-!0，当x&(x0 x0+5)时，f(x)0,则f(x)在x0取得极大值；若当xG(x0一5，x0)时，f(x)0,则f(x)在x0取得极小值.定理五(极

5、值的第二充分条件)设f(x)在的某领域o(x,5)内一阶可导，在x二x00处二阶可导，且广(x丿=0，广(x丿丰0,(i)若f(x丿,则f(x)在x取得极小值.00极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.证明方法(1)构造辅助函数f(x)，并取定区间.如何构造辅助函数？当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；当不等式形如g(x)a

6、(或g(x)0时有x55x+4.证明：构造辅助函数f(x)二x55x4,(x0)，则有广(x)二5x45二5(x2+1)(x21)二5(x2+1)(x+1)(x1),令f(x)=0，解得x二1，其中只有x二1在区间(0,+8)内,由limf(x)=limx55x4=f，有f(x)在x二1点xtIxt1连续.因当0Vx1时，f(x)1时，f(x)0，则f(x)在(1,+s)上为增函数；由定理四可知，f(x)在x=1处取得极小值，即f(1)=0为区间(0,+)上的最小值，所以当x0时，有f(x)f=0.故x55x40(x0),即x55x+4(x0).适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函

7、数必须可导；对所构造的辅助函数f(x)应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f(x)的值为0,然后通过在开区间内f(x)的符号来判断f(x)在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法证明方法根据极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件)设f(x)在x0连续，在uo(x。,5)内可导，(i)若当xe(x05,x0)时，广(x)0，当x&(x0,x0+5)时，广(x)0,则f(x)在xo取得极小值.定理五(极值的第二充分条件)设f(x)在的某领域u(x,5)内一阶可导，在x二x00处二阶可导，且f(xo)=0，广(x0)丰0,(i)若广(x0)0,则f(x)在

8、x0取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.证明方法(1)构造辅助函数f(x)，并取定区间.如何构造辅助函数？当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；当不等式形如g(x)a(或g(x)aa)(a为常数)时，可设g(x)为辅助函数.(2)求出f(x)在所设区间上的极值与最大、最小值.极值与最大、最小值的求法极值求法：(1

9、)求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.最大、最小值的求法：(1)闭区间a,b上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点a,b处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.(2)开区间(a,b)内可导函数的最大值、最小值的求法：若f(x)在(a,b)内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.例例5：证明：当x0时有x55x+4.证明：构造辅助函数f(x)二x5-5x-4,(x0)，则有f(x)二5x4-5二5(x2+1)(x2-1)二5(x2+1)(x+1)(x-1),令f(x)=0，解得x二1，其中

10、只有x二1在区间(0,+s)内,由limf(x)=limx5-5x4=f，有f(x)在x二1点xtIxt1连续.因当0 x1时,f(x)1时，f(x)0,则f(x)在(1,+s)上为增函数；由定理四可知，f(x)在x=1处取得极小值，即f(1)=0为区间(0,+s)上的最小值，所以当x0时，有f(x)f(1)=0.故x5-5x-40(x0),即x55x+4(x0).适用范围(1)所设函数f(x)在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；(2)只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法证明方法根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数

11、f(x)满足下列条件：(I)f(x)在闭区间a,b上连续；(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点g，使得f(g)=.b-a拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.证明方法辅助函数f(x)，并确定f(x)施用拉格朗日中值定理的区间a,b；对f(x)在a,b上施用拉格朗日中值定理；利用g与a,b的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.例例6：证明：当x0,丁丄ln(1+x)0)上连续，在(1,1+x)上可导,f(t)在1,1+x(x0)上满足拉格朗日条件，于是存在ge(1,1+x)，使f(1+x)-f(1)(1+x)-1f(1+x)-f

12、(1)二ln(1+x)-ln1二ln(1+x),r丄ln(1+x)11+xx即ln(1+x)x,(x0)1+x适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法证明方法根据柯西中值定理柯西中值定理：若函数f(x)与g(x)都在闭区间a,b上连续；f(x)与g(x)都在开区间(a,b)内可导；f(x)与g(x)在(a,b)内不同时为0；g(a)丰g(b).则在(a,b)内至少存在一点E，使得fG)=f(b)f(a)g(g)g(b)-g(a)柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.证明方法构造两

13、个辅助函数f(x)和g(x)，并确定它们施用柯西中值定理的区间a,b；对f(x)与g(x)在a,b上施用柯西中值定理;利用g与a,b的关系，对柯西公式进行加强不等式.例例7：C兀设ae,0 xy证明ay一ax(cosx一cosy)axlna.证明：原不等式等价于ay一axcosy一cosx-axlna，可构造函数f(t)二atg(t)=cost,因f(t),g(t)兀均在x,y上连续，在(x,y)上可导，且f(t)二atlna丰0，由于0 xye,ge(x,y),c兀亠”1iagIna、agIna0 xy,有ax1,lna1，得：axlna-2singsingsing因此ay一axi(cosx

14、一cosy)axlna.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：(1)若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式f(x)g(x),xe(a,b)，其两端函数f(x),g(x)均可导，且F(a)=f(a)g(a)或F(b)=f(b)g(b)有一为0时，宜用函数的单调性.若所证不等式的两端函数有

15、不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理若所证不等式f(x)g(x),xe(a,b)，两端函数f(x),g(x)均可导，但F(x)=f(x)g(x)不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式证明方法根据凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义：设f(x)为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点x,x和实数九e(0,1)，12总有f(心+(1XXf(x)+(1九)f(x)，则称f(x)为I上的凹函数.1212定理六：设f(x)为I上的二阶可导函数，则f(x)为I上的凸函数(或凹函数)的充要条件是在I上f(x)0(或nx)0(i二1,2n)且工九二1，则f(工九x)0,

16、y0时，xInx+yIny(x+y)ln-.厶证明(定义证明法)：设f(t)=tInt(t0).有f(t)=Int+l,f(t)=0(t0).则tf(t)在(0,+s)为凸函数对任意x0,y0(x丰y)，有f(x)+f(y)f(乂卩)(取X=-).(要使f(x)与g(x)的系数相同，当且仅当X=1九时成立，即X=-)因此xlnx+ylny(x+y)ln适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法证明方法根据泰勒定理泰勒定理：若函数f(x)满足如下条件：在闭区间a,b上函数f(x)存在直到n阶连续导数;在开区间(a,b)内存在f(x

17、)的n+1阶导数，则对任何xg(a,b)，至少存在一点Eg(a,b)，使得：f(x)=f(a)+f(a)(xa)+f(a)(xa)2+(x-a)n+n!f(n+1)(a)(n+1)!(xa)n+1泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.证明方法根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式;根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.(注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使不会过于繁琐.)例例9：设函数f(x)在0,1上二阶可导，f(

18、0)=f(1)，且|/(x)|2，试证明：f(x)1.证明：取0 x1，有：f(0)=f(x)+f(x)(0-x)+1广(勺)(0-x)2,0勺x,f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+1f农)(1-x)2,0g1.由于f(0)=f(1)则222f(x)=1f”(Gx2-f(g2)(1-x)2,|f(x)|1|f()|x2+|f农2)|(1-x)2丄2x2+2(1-x)2=2x2+(1-x)2=1-2x(1-x)0)因此原不等式成立.适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数(一阶或二阶)不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法证

19、明方法根据一几个重要的初等函数的幕级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：,xe(一8,+8)11ex=1+x+x2+一xn+2!n!+(1)n-1,xe(_g,+g)1sinx=x一x33!1x2n-1+(2n1)!cosx=1-1x22!11+x4+(-1)nx2n+4!(2n)!=1+x+x2+xn+,xe(0,1)1-xln(1+x)=x-11x2+x3+-23+(-1)n-1xn+-,xe(-1,1初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幕级数，在展开式中添加或删去某些幕级数时，可很快证明出某些含幕级数的不等式.证明方法先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删

20、去某些幂级数即可快速证明此不等式.例1+x例10:当xe(0,1)，证明e2x.1-x1证明：因，e2x分别可写成幕级数展开式，有：1-x1-x=(1+x)(1+x+x2HFxnH)=1+2x+2x2fF2xnF,xe(0,1)TOC o 1-5 h z222nx2+一xn+,xe(一8,+8) HYPERLINK l bookmark166 o Current Document 2!n!2nxn2n则左边的一般项为2xn，右边的一般项为，因此当n3,2，所以n!n!1+x1-xe2x,xe(0,1).适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幕级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法证明方法根据定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设f(x)与g(x)为定义a,b在上的两个可积函数，若f(x)g(x),xea,b则Jbf(x)dxJbg(x)dx.a微积分学基本定理：若函数f(x)在a,b上连续，则由变动上限积分(x)=J