二次函最值专题

1、二次函最值专题二次函最值专题1（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线与轴交于A (4，0) 和 B(1，0)两点，与轴交于C点 （1）求此抛物线的解析式； （2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于F，连接CE， 当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标; （3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线， 交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此 时P点的坐标xyOBCA图9第2页，共23页幻灯片。1（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线与轴交于A (xyOBCA图9解：（1）由二次函数 与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点可得：解得

2、：故所求二次函数的解析式为 第3页，共23页幻灯片。xyOBCA图9解：（1）由二次函数 第3页，共23页幻灯片xyOBCA图9EF第4页，共23页幻灯片。xyOBCA图9EF第4页，共23页幻灯片。SCEF=2 SBEF, , BEFBAC, 得故E点的坐标为(,0). EF/AC,xyOBCA图9EF第5页，共23页幻灯片。SCEF=2 SBEF, , BEFxyOBCA图9PQ第6页，共23页幻灯片。xyOBCA图9PQ第6页，共23页幻灯片。xyOBCA图9PQ（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则点C的坐标为（0，2） 若设直线AC的解析式为 ， 则有解得： 故直线的解析式为若设

3、P点的坐标为 ，又点Q是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则点Q的坐标为（则有： =即当 时，线段PQ取大值，此时点P的坐标为（2，3）。 第7页，共23页幻灯片。xyOBCA图9PQ（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，2（2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标E第8页，共23页

4、幻灯片。2（2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c解：（1）抛物线经过点C（0，3）C3， yax2+bx-3，又抛物线经过点A（1，0），对称轴为x=1，所以抛物线的函数关系式为yx22x-3（2）点A（1,0），对称轴为x=1，点B（3，0） 设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得 直线BC的函数关系式为y=x3，当x=1时，y2， 点M的坐标为（1，2）（3）如图，过点P作PDOC，设P（1，y），则PE|y|，DC3y，在RtPEB中，PB222+|y|24+y2，在RtPCD中PC212+|3y|210+6y+y2,在RtOBC中，BC232+3218，PCB

5、90，PB2=PC2+BC2，4+y2=10+6y+y2+18，解得y=-4 P（1,-4）第9页，共23页幻灯片。解：（1）抛物线经过点C（0，3）C3，第9页，共3.（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积CEDGAxy

6、OBF第10页，共23页幻灯片。3.（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + b解：（1）由题意，得 解得， b =1所以抛物线的解析式为 ，顶点D的坐标为（1， ）CEDGAxyOBF第11页，共23页幻灯片。解：（1）由题意，得 2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周长最小值为CD + DR + CH = 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3 所以直线BD的解析式

7、为y = x + 3由于BC = 2 ，CE = BC2 = ，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直线EF的解析式为y = x + 联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H（ ， ）CEDGAxyOBFH第12页，共23页幻灯片。2）设抛物线的对称轴与x轴交于点MCEDGAxyOBFH第CEDGAxyOBFKN（3）设K（t， ），过K作x轴的垂线交EF于N则 KN = yKyN = （ t + ）= 所以 SEFK = SKFN + SKNE = KN（t + 3）+ KN（1t） = 2

8、KN = t23t + 5 =（t + ）2 + 即当t = 时，EFK的面积最大，最大面积为 ，此时K（ ， ）第13页，共23页幻灯片。CEDGAxyOBFKN（3）设K（t， 4（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.第14页，共23页幻灯片。

9、4（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过第14解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，则有 解得 抛物线的解析式y= x2+x4 （2）过点M作MDx轴于点D.设M点的坐标为（m，n）. 则AD=m+4，MD=n，n= m2m4 . S = SAMD+S梯形DMBOSABO = ( m+4) (n) (n4) (m) 44 = 2n-2m-8 = 2( m2m4) -2m-8 = m2-4m (4 m 0). S最大值 = 4 第15页，共23页幻灯片。解：（1）设抛物线的解析式为第15页，共23页幻灯片。AM3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4

10、），（4 ，-4），（-2+ ，2 ）， （-2 ，2 ） 第16页，共23页幻灯片。AM3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：第16页，共231.(2008 四川 广安)如图，已知抛物线 经过点 （1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式（2）设此抛物线与直线 相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线 与抛物线交于点M，与直线 交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含 的代数式表示）（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在 的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由解：（1）由题意得 解得b2，c4 此抛物线的解析式为：yx22

11、x42（2）由题意得解得点的坐标为(4，4)将xm代入yx条件得ym点的坐标为（m , m）同理点的坐标为（m , m22m4 ），点的坐标为(m , 0 )PNm ,MP| m22m4 |MNPNMP第17页，共23页幻灯片。1.(2008 四川 广安)如图，已知抛物线 2.(2008年福建省福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点

12、的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由 解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF= .设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2,当EP=FP时,EP2=FP2

13、,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 当EF=EP时,EP= 3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2 第18页，共23页幻灯片。2.(2008年福建省福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF= .设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所

14、以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 当EF=EP时,EP= 3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2 第19页，共23页幻灯片。解：(1)E(3,1)；F(1,2)；第19页，共23页幻灯(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以F

15、N+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/= =5.又因为EF= ,所以FN+MN+ME+EF=5+ ,此时四边形MNFE的周长最小值为5+ .第20页，共23页幻灯片。(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小第20页，3. （山东德州市2010）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交

16、点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值xyOABCPQMN第3题图解：(1)二次函数 的图象经过点C(0，-3)，c =-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入 得解得：a=1，b=-2 配方得： ，所以对称轴为x=1 第21页，共23页幻灯片。3. （山东德州市2010）已知二次函数的图象经过xyOAB(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=A

17、D=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形 xyOABCPQDEGMNF设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG的中点 S= = 由 = S= 又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积S有最小值3 第22页，共23页幻灯片。(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1txyOABCPQ4. （2011年河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8.（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一