计算方法复化求积公式

1、第三节 复化求积公式背景：由于 的Newton-Cotes不稳定，一般不宜使用；而在较大的积分区间上采用低阶的Newton-Cotes公式进行计算，精度又比较低。改进：把积分区间分成若干相等的子区间（分段），在每个子区间上使用低阶求积公式，最后把结果加起来。定步长积分法1称 为复化梯形公式，下标n表示将区间n等分。2称 为复化Simpson公式，下标n表示将区间n等分。类似地，我们有复化Simpson公式的余项：（N=2，三点插值）33 复化Cotes公式（N=4，五点插值）4（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式）5例3.1解：由复化梯形公式的截断误差，有67.第4节 变步长复化求积

2、法逐次分半算法变步长积分法8.绿 蓝 红（由粗到细逐次减半）误差的这种估计法称为事后估计（或后天估计）9.10.第5节 龙贝格（Romberg）求积法-逐次分半加速收敛算法提出问题：能否通过求积公式的截断误差，构造出一个新的序列，它逼近I的阶更高？或者如何提高收敛速度以节省计算量？11.“修正”的想法！这说明用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式复化梯形公式复化辛普森公式12.复化Simpson公式复化Cotes公式Romberg公式13.1）同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；2）同一列求积公式的代数精度相同；3）表中对角线上相邻元素之差小于允

3、许误差时，停止计算。加速公式在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn 、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn .14第6节 高斯（Gauss）求积公式在构造Newton-Cotes公式时，限定用积分区间a,b的等分点作为求积节点(等距划分)，这样做虽简化了问题的处理过程，但同时也限制了精度。在节点数目固定为n+1的条件下，能否通过适当选取求积节点xk的位置以及相应的求积系数Ak，使求积公式具有尽可能高(最高)的代数精度(记为,m）？ 提出问题：1)2)为了使问题具有一般性，我们主要考虑如下带权积分：问 (1) 最高可达多少？ (2) 如何构造这样的公式？插值型

4、求积公式(*)15求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k0,1,n)若用待定系数法确定它们, 则最好需要2n+2个独立的条件, 根据代数精度的定义, 令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 ，代入上面求积公式, 得到非线性方程组若解存在(? 可证), 求解. 从而求积公式的代数精度从n次提高到2n+1次. 这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式. 将节点 x0 xn 以及系数 A0 An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gau

5、ss 型求积公式。定义6.1. 分析上面的公式，易见问题6. 方法一令公式对于f (x) = 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有两点Gauss公式16第一步第二步1）3）2）4）1）2）3）4）代入1）、2）第三步17称上面的公式为两点Gauss求积公式。注释：从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常n2就很难求解故一般不通过解方程来求待定 系数xk 及 Ak (k0,1, , n) 从分析高斯点的特性着手，来构造Gauss 求积公式. 怎么办？即方法二18由于前面的求积公式是插值型的，故至少具有1次代数精度，从而有另一方面，易见于是故要使只需据正交多项式的性质可知从几何直观上

6、看，是寻找两点，使通过该两点的直线在-1,1上围成的面积与f(x)在该区间上围成的面积相等！19解之，得上面所得到的求积公式称为Gauss-Legendre求积公式.20一般积分区间a,b上的两点Gauss-Legendre求积公式:例：用两点高斯公式求 的近似值。解：21定理6.1.节点xk(k=0,1,n)为Gauss点一、一般的高斯(Gauss)求积公式关键在于求高斯点.22这就是高斯(Gauss)点所应满足的条件!换一句话说，在a,b上带权(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的Gauss点.有了高斯点xk，再使用如下线性方程组可解得Ak.23二、高斯求积公式的余项/* 设H为f 的过x0 xn的插值多项式 */*只要H 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/插值多项式的余项Q：什么样的插值多项式在 x0 xn 上有 2n+1 阶？A：Hermite 多项式！满足24二、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理6.2. Gauss求积公式的系数都是正的，且25定理6.3. 设f(x) Ca,b，则Gauss求积公式是收敛的，即26三、常用的高斯求积公式 Gauss-Legendre求积公式：其中直接计算上式比较困难。我们可得到更简便的系数公式：由于Ak与f(x)无关，我们可取：2n次多项式注意