数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第十五章 傅里叶级数3收敛定理的证明预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f在-,上可积，则+dx，其中an, bn为f的傅里叶系数.证：令Sm(x)=+，则dx=dx-2dx+dx. 其中dx=dx+=+. 由三角函数的正交性，有dx=dx=dx+dx=+.dx=dx-2+=dx-+0.+dx对任何正整数m都成立. 又dx为有限值，正项级数+的部分和数列有界，+收敛且有+dx.推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f为可积函数，则dx=0.证：由+收敛知，0 (n)，an0, b

2、n0, (n)，dx=dx=0.推论2：若f为可积函数，则dx=dx =0.证：=cossinnx+sincosnx，dx =dx+dx=dx+dx，其中F1(x)=；F2(x)=.可知F1与F2在-,上可积. 由推论1可知dx=0. dx=0.同理可证：dx =0.预备定理2：若f是以2为周期的函数，且在-,上可积，则它的傅里叶级数部分和Sn(x)可写成Sn(x)=dt，当t=0时，被积函数中的不定式由极限=n+确定.证：在傅里叶级数部分和Sn(x)=+中代入傅里叶系数公式，可得：Sn(x)=du +=du=du.令u=x+t，得Sn(x)=dt，又被积函数周期为2，且=，Sn(x)=dt.

3、 (f的傅里叶级数部分和积分表示式).收敛定理15.3证明：若周期为2的函数f在-, 上按段光滑，则在每一点x-, ，f的傅里叶级数+收敛于f在点x的左右极限的算术平均值，即=+，其中an, bn为傅里叶系数.证：记f的傅里叶级数的部分和为Sn(x)=dt.dt=dt=1；又上式左边为偶函数，两边同时乘以f(x+0)后得：=dt. 令(t)=-=-, t(0,.则=-f(x+0)1=-f(x+0). 再令(0)=-f(x+0)，则在点t=0右连续. 又在0,上至多只有有限个第一类间断点，在0,上可积.根据预备定理1的推论2，有dt=dt=0，=0，同理可证=0；=0. 即=+.习题1、设f以2

4、为周期且具有二阶连续的导函数，证明f的傅里叶级数在(-,+)上一致收敛于f.证：由f在(-,+)上光滑，知f在-, 上可积，且f的傅里叶系数为：a0=0；an=nbn, bn=-nan, (n=1,2,).|an|+|bn|=+=+.由贝塞尔不等式知级数收敛，又级数级数，由正项级数的比较原则知，+收敛，由定理15.1知f的傅里叶级数在(-,+)上一致收敛于f.2、设f为-,上的可积函数. 证明：若f的傅里叶级数在-,上一致收敛于f，则帕塞瓦尔等式成立，即dx=+，其中an, bn为傅里叶系数.证：f的傅里叶级数在-,上一致收敛于f，f(x)=+.dx=dx=+dx.f在-,上可积，f在-,上有

5、界. 在-,上一致收敛.dx=+dx=+=+.3、由于帕塞瓦尔等式对于在-,上满足收敛定理条件的函数也成立.请应用这个结果证明下列各式：(1)=；(2)=；(3)=.证：(1)对函数f(x)=在(-, )上展开傅里叶级数得：f(x)=，其中a0=an=0，bn=，n=1,2,；根据帕塞瓦尔等式有dx=，又dx=dx=，=.(2)对函数f(x)=x在(-, )上展开傅里叶级数得：f(x)=2.其中a0=an=0，bn=，n=1,2,；根据帕塞瓦尔等式有dx=4，又dx=dx=，=4，即=.(3)对函数f(x)=x2在(-, )上展开傅里叶级数得：f(x)=2+4. 其中a0=2，an=，bn=0，n=1,2,；根据帕塞瓦尔等式有dx=+=+16，又dx=dx=，=+16，即=.4、证明：若f,g均为-,上的可积函数，且它们的傅里叶级数在-,上分别一致收敛于f和g，则dx=+，其中an, bn为f的傅里叶系数，n,n为g的傅里叶系数.证：由f的傅里叶级数在-,上一致收敛于f，有f(x)=+. f,g均在-,上可积，在-,上一致收敛.dx=dx+dx=+=+.5、证明：若f及其导函数f均在-,上可积，dx=0, f(-)=f()，且帕塞瓦尔等式成立，则dxdx.证：设a0,an,bn为f的傅