材料力学弯曲内力

1、材料力学弯曲内力第1页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四第四章 弯曲内力第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节 梁的剪力与弯矩第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节 按叠加原理作弯矩图第2页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四一、弯曲的概念 1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。 2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所

2、有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。4.1 弯曲的概念及梁的计算简图FFsFAFB纵向对称面第3页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四二、 梁的荷载及计算简图 研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。 1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 2.梁的支座简化(平面力系)：a)活动铰支座b)固定铰支座c)固定端第4页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四 3.静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a

3、)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁 4.作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载第5页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四4.梁的剪力与弯矩一、截面法求内力：切取、替代、平衡FAB剪力CFC弯矩第6页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四 剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩

4、为正)。剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：第7页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四剪力符号规定：弯矩符号规定：左上右下为正下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆)为正或使该段梁顺时针转动为正MMMMFsFsFsFs对未知的剪力、弯矩按正方向设定第8页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩.例1BAP=q11223344q第9页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四BAP=qFs3M3AP=qFs2M2M1Fs1ARAFs4M4qRBFs1 RFsaA54 = =Fs2R

5、qaFsaA4=-=Fs3=Fs4qaRqaB34=-=-BAP=qq1 21 23344RBRARARA第10页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例2 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解： 1、求支反力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m第11页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四 通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力外力简化法。符号如何

6、确定？第12页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四l:力的作用线至所求截面的距离MFsMFsmmFs=-Fs=-左段右段第13页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2： 求图示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩.ABRA RB RA =15kNRB =29kN请思考： RB还可如何简便算出？第14页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据1-1截面左侧

7、的外力计算FS1 、 M1 FS1=+RA-P =15-8 =+7kN M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26 kNm根据1-1截面右侧的外力计算FS1 、 M1FS1=+(Fs3)-RB =123-29 =+7kNM1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm第15页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据2-2截面右侧的外力计算FS2 、 M2FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29

8、=-11kNM2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm根据2-2截面左侧外力计算FS2、M2 , 请自己完成!第16页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四FABCFC若将前面例题中确定尺寸b改为变量x第17页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四FlABFslABFabClABabClABM试列出下列各梁AB的剪力方程和弯矩方程, 作剪力图和弯矩图。xx第18页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四1.剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截

9、面的位置，纵轴为内力的大小。例1 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。4.剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 xFsFFlMFlAB第19页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四FsM例2 图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。qlAB解： 1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程第20页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四 例3 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。FabCl

10、AB解： 1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFsM第21页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四 由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例4 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解： 1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFsM第22页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四xFsFFlMFlABabClABMFAFBFsMFabClABFAFBFsMFsMFslABFAFB机械第23页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四MFSM土木第24页

11、，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四由以上例题可总结以下几条：1、在集中力作用点，剪力图发生突变，弯矩图发生转折，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。2、在集中力偶作用点，剪力图无变化，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。3、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为斜直线。4、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。是普遍规律吗？第25页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例PBALx简支梁受移动荷载P作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载P的位置.解：荷载P移至x截面处，Mmax (x)=Px(

12、L-x)/L位置：x截面令 dMc dx=0 x=L/2时， Mmax =P L/4跨中为最不利位置第26页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例作图示平面刚架的内力图.BCA20kN10kN3m2m解：xBC段FN =0FS =10kNM= -10 x kNm (0 x2)BA段xFN =-10kNFS =20kNM= -20-20 x kNm (0 x3)一般将竖直杆的下端看作左端10kN轴力图剪力图10kN20kN20kNm弯矩图20kNm80kNm第27页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四注意：轴力 正值画在外侧，负值画在内侧。剪力 正值画在外侧，

13、负值画在内侧。弯矩 本教材画在受压侧，不标注正负。 一般机械类教材弯矩图画在受压侧，土木类教材弯矩图画在受拉侧。第28页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 1.假设：规定Fs(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上Fs(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 2.微分关系推导：4.弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系yxMFq(x)ABxdxq(x)dxOM(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)第29页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:d)d()Fs(xx

14、qx=d()d)MxxFs(x=d()dd)d()22MxxFs(xxqx=第30页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四1.微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二、讨论微分关系的几何意义外力情况q0C0C0有极小值0有极大值注意坐标方向不同，曲线开口方向不同FsFs0Fs0Fs0Fs0M由：EDxCxxMDCxxFs(xxM+=+=221)()d)(d求出令0)d)(d=xFs(xxM第33页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四各种形式荷载作

15、用下的剪力、弯矩图CC尖角突变PC无变化突变mFs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0突变第34页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四1.先利用计算法则计算分段点（控制点）FS、M值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。 实例：利用微分关系作剪力弯矩图例六 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。解： 1、求支反力2、判断各段FS、M图形状：CA和DB段：Fs=0，Fs图为水平线， M图为斜直线。AD段：Fs0， Fs 图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。DABC3、先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。Fs+_3(kN)4.23.

16、8Ex=2.1mM(kNm)3.81.412.2_+FAFB3第35页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例Fs第36页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例一般作剪力图时，从左往右，随力的方向走。Fs第37页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例A端约束力=PABB端约束力=0Fs第38页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例PP Fs第39页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例Fs第40页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例Fs第41页，共61页，2022年，5月20日，3点58

17、分，星期四例Fs第42页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例Fs第43页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四例综合应用题4m4m4m3mABCDEMq外伸梁解：一、求支反力二、作剪力图Fs7331kNqRFskNRFsACACAA347:=-=-+斜直线段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11-=-=-=+斜直线段第44页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四4m4m4m3mABCDEMqFs7313BD：水平直线BE：水平直线2三、作弯矩图M2020.516x mkNFsB3-=-kNPFsB22=+)mqPRxPqxRx

18、Fs(CDAA50:11=-=-=令抛物线第45页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四4m4m4m3mABCDEMqFs73132M2020.51666x第46页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四ABC Dx第47页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四 例 绘制刚架内力图解：一）求支反力：Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB第48页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四二）分析内力：1）BC段：（0 x13）8kNRAYFs=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN1kNRBx

19、1FN12）DC段：（0 x23）分段列出EC段:（0 x22）X2RB =5kN3531)(5)12222N2-=x-=-=-=-=xxRxMkNRxFs(kNFBB)2xFs()1xFs(kNRFB5N1-=-=轴力N2F剪力弯矩第49页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBED段:（2x23）X2X33）AD段：（0 x34）RB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kN13331)2(8)(58);122222N2+-=x-=+-=-=xxxRxMkNRxFs(FBB23323323333N3

20、21321)(31)3()3xxFsxxRxMxxFsxRxFs(kNRFAxAxAy-=-=-=-=-=-=-=)3xFs(N3F第50页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC1）轴力图三、作内力图5kN1kN3kNkNFADkNFDCkNFBC3:1:5:N3N2N1-=-=-=杆杆杆第51页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力图:用简易法：取控制点1kNBC段：取一点（水平线）DC段：取两

21、点（l）5kN3kNDA段：取两点（斜直线）1kN3kNRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kN第52页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）弯矩图用简易法：取控制点BC段：取两点（斜直线）DC段：取两点（水平线）DA段：取三点（抛物线）ABDEC0kNm3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3mABDEC1kN5kN3kN1kN3kN4kNmRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kN第53页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四ABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kNm3kNm3kNm4.5kNm7kNm4kNm3m5kN1kN3kN第54页，共61页，2022年，5月20日，3点58分，星期四当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：按叠加原理作弯矩图BMBAqMA