初中数学沪科版九年级上册第23章　解直角三角形-阶段强化专训

1、阶段强化专训一：求锐角的三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比值 直接用锐角三角函数的定义(第1题)1如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD5，AC6，则tan B的值是() f(4,5) f(3,5) f(3,4) f(4,3)2如图，在ABC中， ADBC，垂足是D，若BC14，AD12，tan BADeq f(3,4)，求sin C的值(第2题)3如图，直线yeq f(1,2)xeq f(3,2)与x轴

2、交于点A，与直线y2x交于点B.(1)求点B的坐标；(2)求sinBAO的值(第3题) 利用同角或互余两角三角函数间的关系4若A为锐角，且sin Aeq f(r(3),2)，则cos A()A1 f(r(3),2) f(r(2),2) f(1,2)5若为锐角，且coseq f(12,13)，则sin(90)() f(5,13) f(12,13) f(5,12) f(12,5)6若为锐角，且sin2cos2301，则_ 巧设参数7在RtABC中，C90，若sin Aeq f(4,5)，则tan B的值为() f(4,3) f(3,4) f(3,5) f(4,5)8已知a，b，c是ABC的三边长，

3、且a，b，c满足b2(ca)(ca)若5b4c0，求sin AsinB的值 利用等角来替换9如图，已知RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，且AH2CH，求sin B的值(第9题)阶段强化专训二：同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1.同角三角函数关系：sin2 cos21，tan eq f(sin ,cos )；(为锐角)2互余两角的三角函数关系：sin cos(90)，cos sin(90)，tan tan(90)1.(为锐角) 同角间的三角函数的应用1已知A为锐角，eq f(sin A,cos A)4，求eq f(

4、sin A3cos A,4sin Acos A)的值2.若为锐角，sin cos eq f(r(2),2)，求sin cos 的值 余角间的三角函数的应用3若45和45均为锐角，则下列表达式正确的是()Asin(45)sin(45)Bsin2(45)cos2(45)1Csin2(45)sin2(45)1Dcos2(45)sin2(45)14计算tan 1tan 2tan 3tan 88tan 89的值 同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5已知sin cos eq f(12,25)(为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin 和cos .6已知为锐角且sin 是方程2x27x3

5、0的一个根，求eq r(12sin cos )的值阶段强化专训三：解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形 已知两直角边解直角三角形1如图，在RtABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边，a2eq r(3)，b6，解这个直角三角形(第1题) 已知一直角边和斜边解直角三角形2如图，ACB90，AB13，AC12，BCMBAC，求sin BAC和点B到直线MC的距离(第2题) 已知一直角边和一

6、锐角解直角三角形3如图，在ABC中，B90，C30，AB3.(1)求AC的长；(2)求BC的长(第3题)4已知：如图，在RtABC中，C90，A30，BC3，D为AC边上一点，BDC45，求AD的长(第4题) 已知斜边和一锐角解直角三角形5如图，在RtABC中，C90，B45，a，b，c分别为A，B，C的对边，c10，解这个直角三角形(第5题)6如图，在ABC中，C90，B30，AD是BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB4eq r(3)，求AD的长(第6题) 已知非直角三角形中的边和角解直角三角形类型1化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7如图，在ABC中，点D是AB的中点，DCAC，

7、且tan BCDeq f(1,3)，求A的各个三角函数(第7题)类型2化解四边形问题为解直角三角形问题8(中考北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BAC90，CED45，DCE30，DEeq r(2)，BE2eq r(2).求CD的长和四边形ABCD的面积(第8题)类型3化解方程问题为解直角三角形问题9已知a，b，c分别是ABC中A，B，C的对边，关于x的一元二次方程a(1x2)2bxc(1x2)0有两个相等的实数根，且3ca3b.(1)判断ABC的形状；(2)求sin Asin B的值阶段强化专训四：作辅助线构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义

8、的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，使其转化为直角三角形来解，最常用的是作高(或垂线) 无直角、无等角的三角形作高1如图，在ABC中，已知BC1eq r(3)，B60，C45，求AB的长(第1题) 有直角、无三角形的图形延长某些边2如图，在四边形ABCD中，AB2，CD1，A60，DB90，求四边形ABCD的面积(第2题) 有三角函数值不能利用时作垂线3如图，在ABC中，点D为AB的中点，DCAC，sin BCDeq f(1,3)，求tan A.(第3题) 求解非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4如图，在ABC中，ABA

9、C5，BC8.若BPCeq f(1,2)BAC，求tan BPC.(第4题)阶段强化专训五：利用三角函数解实际问题中的几种数学模型名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造直角三角形，在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线构造一个甚至几个直角三角形 “背靠背”型(第1题)1(2023襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45，测得大树AB的底部B的俯角为30，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为_ m(结果保留根号)2(2023资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30的方向上，然后

10、沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45的方向上(其中A，B，C在同一平面上)求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离(第2题) “母抱子”型3校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使CAD30，CBD60.(1)求AB的长(精确到米，参考数据：eq r(3)，eq r(2)(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理

11、由(第3题) “拥抱”型4如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)(第4题) “斜截”型5某片绿地的形状如图，其中A60，ABBC，ADCD，AB200 m，CD100 m求AD，BC的长(精确到1 m，eq r(3)(第5题)答案阶段强化专训一1C2解：ADBC，tan BADeq f(BD,AD).tanBADeq f(3,4)，AD12，eq f(

12、3,4)eq f(BD,12)，BD9.CDBCBD1495，在RtADC中，ACeq r(AD2CD2)eq r(12252)13，sin Ceq f(AD,AC)eq f(12,13).3解：(1)解方程组eq blc(avs4alco1(yf(1,2)xf(3,2)，,y2x，)得eq blc(avs4alco1(x1，,y2.)所以B点坐标为(1，2)；(第3题)(2)作BCx轴于点C，如图，当y0时，eq f(1,2)xeq f(3,2)0，解得x3，则A(3，0)，OA3，ABeq r(AC2BC2)2eq r(5)，sinBACeq f(BC,AB)eq f(2,2r(5)eq

13、f(r(5),5)，即sinBAOeq f(r(5),5).4D8解：b2(ca)(ca)，b2c2a2.即c2a2b2，ABC是直角三角形5b4c0，5b4c，则eq f(b,c)eq f(4,5)，设b4k，c5k，那么a3k.sin Asin Beq f(3k,5k)eq f(4k,5k)eq f(7,5).9解：CD是斜边AB上的中线，CDADBD.DCBB.ACDDCB90，ACDCAH90DCBCAH.BCAH.在RtACH中，AH2CH，ACeq r(5)CH.sin Bsin CAHeq f(CH,AC)eq f(CH,r(5)CH)eq f(r(5),5).阶段强化专训二1分

14、析：本题可利用eq f(sin A,cos A)求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A，把原式化为关于eq f(sin A,cos A)的代数式，再整体代入其值求解即可也可直接由eq f(sin A,cos A)4，得到sin A与cos A之间的数量关系，代入式子中求值解：(方法1)原式eq f(（sin A3cos A）cos A,（4sin Acos A）cos A)eq f(f(sin A,cos A)3,f(4sin A,cos A)1).eq f(sin A,cos A)4，原式eq f(43,441)eq f(1,17).(方法2)eq f(sin A,cos A)4，si

15、n A4cos A.原式eq f(4cos A3cos A,44cos Acos A)eq f(cos A,17cos A)eq f(1,17).2分析：要求sin cos 的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解解：sin cos eq f(r(2),2)，(sin cos )2eq f(1,2).即sin2cos22sin cos eq f(1,2).12sin cos eq f(1,2)，2sin cos eq f(1,2).(sin cos )2sin2cos22sin cos 1eq f(1,2)eq f(3,2)，又为锐角，sin 0，cos 0.sin c

16、os eq f(r(6),2).3C点拨：(45)(45)90，sin (45)cos (45)sin2(45)sin2(45)cos2(45)sin2(45)1.4分析：因为tan 1tan 891，tan 2tan 881，tan 44tan 461，所以运用乘法的交换律和结合律，本题易求得结果解：tan 1tan 2tan 3tan 88tan 89(tan 1tan 89)(tan 2tan 88)(tan 44tan 46)tan 451.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若90，则tan tan 1.5解：sin2cos21，sin cos eq f(12,25)，(sin co

17、s )2sin2cos22sin cos 12eq f(12,25)eq f(49,25).为锐角，sin cos 0.sin cos eq f(7,5).又sin cos eq f(12,25)， 以sin ，cos 为根的一元二次方程为x2eq f(7,5)xeq f(12,25)0.点拨：此题运用到两个方面的知识：(1)公式sin2cos21与完全平方公式的综合运用；(2)若x1x2p，x1x2q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2pxq0.6解：sin 是方程2x27x30的一个根，由求根公式，得xeq f(（7）r(（7）2423),22)eq f(75,4).sin eq f

18、(1,2)或sin 3(不符合题意，舍去)sin2cos21，cos21eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4).又cos 0，cos eq f(r(3),2).eq r(12sin cos )eq r(sin2cos22sin cos )eq r(（sin cos ）2)|sin cos |eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)eq f(r(3)1,2).阶段强化专训三1解：a2eq r(3)，b6，ceq r(a2b2)eq r(1236)eq r(48)4eq r(3).tan Aeq f(a,b)e

19、q f(2r(3),6)eq f(r(3),3)，A30，B60.2解：AB13，AC12，ACB90，BCeq r(AB2AC2)eq r(169144)eq r(25)5.sin BACeq f(BC,AB)eq f(5,13).设点B到直线MC的距离为d，BCMBAC，sin BACsin BCM.sin BCMeq f(d,BC)eq f(5,13)，即eq f(d,5)eq f(5,13)，deq f(25,13).即点B到直线MC的距离为eq f(25,13).3解：(1)由题意知sin Ceq f(AB,AC)，即eq f(1,2)eq f(3,AC)，则AC6.(2)由题意知t

20、an Ceq f(AB,BC)，即eq f(r(3),3)eq f(3,BC)，则BC3eq r(3).4解：BDC45，BC3，CD3.A30，BC3，tan Aeq f(BC,AC)eq f(3,AC)eq f(r(3),3)，即AC3eq r(3).ADACCD3eq r(3)3.5解：B45，C90，c10，A45.abcsin A5eq r(2).6解：C90，B30，AB4eq r(3)，CAB60，ACABsin 304eq r(3)eq f(1,2)2eq r(3).CAD30.cos CADeq f(AC,AD)，eq f(r(3),2)eq f(2r(3),AD)，AD4.

21、(第7题)7解：过点D作CD的垂线交BC于点E，如图在RtCDE中，tan BCDeq f(1,3)eq f(DE,CD)，可设DEx，则CD3x.又CDAC，DEAC.又点D为AB的中点，点E为BC的中点DEeq f(1,2)AC.AC2DE2x.在RtACD中，ACD90，AC2x，CD3x，ADeq r(AC2CD2)eq r(4x29x2)eq r(13)x.sin Aeq f(CD,AD)eq f(3x,r(13)x)eq f(3r(13),13)，cos Aeq f(AC,AD)eq f(2x,r(13)x)eq f(2r(13),13)，tan Aeq f(CD,AC)eq f(

22、3x,2x)eq f(3,2).方法技巧：本题中出现tan BCDeq f(1,3)，由于BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切的定义，构造出一个与之相关的直角三角形(第8题)8解：如图，过点D作DHAC于H.CED45，DHEC，DEeq r(2)，EHDEcos 45eq r(2)eq f(r(2),2)1，DH1.又DCE30，HCeq f(DH,tan 30)eq r(3)，CDeq f(DH,sin 30)2.AEB45，BAC90，BE2eq r(2)，ABAEBEsin 452，AC21eq r(3)3eq r(3)，S四边形ABCDeq f(1,2)2(3eq r(3)

23、eq f(1,2)1(3eq r(3)eq f(3r(3)9,2).方法技巧：题目中所给的有直角和30，45角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积9解：(1)将方程整理，得(ca)x22bx(ac)0，则(2b)24(ca)(ac)4(b2a2c2)方程有两个相等的实数根，0，即b2a2c2.ABC为直角三角形(2)由3ca3b，得a3c3b.将代入a2b2c2，得(3c3b)2b2c2.4c29bc5b20，即(4c5b)(cb)0.由可知，bc，4c5b.beq f(4,5)c.将代入，得aeq f(3,5)c.在RtABC

24、中，sin Asin Beq f(a,c)eq f(b,c)eq f(3,5)eq f(4,5)eq f(7,5).点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值阶段强化专训四1解：过点A作ADBC，垂足为点D.设BDx，在RtABD中，ADBDtan Bxtan 60eq r(3)x.在RtACD中，C45，CAD90C45，CCAD，CDADeq r(3)x.BC1eq r(3)，eq r(3)xx1eq r(3)，解得x1，即BD1.在RtABD中，cos Beq f(BD

25、,AB)，ABeq f(BD,cos B)eq f(1,cos 60)2.2解：延长BC，AD，相交于点E.A60，B90，E30.在RtABE中，BEeq f(AB,tan E)eq f(2,tan 30)2eq r(3)，在RtCDE中，DEeq f(CD,tan E)eq f(1,tan 30)eq r(3).S四边形ABCDSRtABESRtECDeq f(1,2)ABBEeq f(1,2)CDEDeq f(1,2)22eq r(3)eq f(1,2)1eq r(3)eq f(3r(3),2).点拨：本题看似是四边形问题，但注意到B90，A60，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形

26、，转化为直角三角形问题来解决3解：过点B作BECD，交CD的延长线于点E.点D是AB的中点，ADDB.又ACDBED90，ADCBDE，ACDBED，CDDE，ACBE.在RtCBE中，sin BCEeq f(BE,BC)eq f(1,3)，BC3BE.CEeq r(BC2BE2)2eq r(2)BE，CDeq f(1,2)CEeq r(2)BEeq r(2)AC.tan Aeq f(CD,AC)eq f(r(2)AC,AC)eq r(2).方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键4解：如图，过点A作AEBC于点E，(第4题)ABAC5，BEeq f(1,2)BCeq f(1,2)84，BAEeq f(1,2)BAC.BPCeq f(1,2)BAC，BPCBAE.在RtBAE中，由