浅析计算不定积分方法

1、浅析计算不定积分方法之凑微分不定积分是高等数学的基本内容和主要内容，该运算是求导运算 的逆过程，而定积分的计算主要是用牛顿一莱布尼茨公式，使用牛顿 莱布尼茨公式的前提是找到被积函数的一个原函数。因此，不定积 分是连接微分学和积分学的纽带。由于不定积分方法的灵活性和积分 结果的不确定性，导致很多学员在计算积分的过程中常常觉得很混乱， 找不到一个统一的方法进行计算。不定积分的常规求解方法主要包括利用基本积分公式直接积分、 换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积 分法，这两种方法的核心是“凑微分”。换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第 一类换元积分法的解题思

2、路是首先利用g(x)dx凑成微分形式du(x)，然 后换元令u = u(x)使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式 求积分，求出积分后再换元。其中最为关键的一步是凑成微分形式 du(x)，也是学员们感到最困难的一步，因为题目中需要有u(x)dx才能 凑成微分形式du(x)，而u(x)往往不容易看出来，也就无法凑成微分的 形式了，这正是凑微分的核心。由于“凑微分”方式灵活多样，单靠 几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，因此我们将其归结为四 种方法，以便学生易于掌握。1、能化成若干个函数的积分，观察各个函数能否凑微分，找出合适 的求解如：求解不定积分时J蛭dx = Jlnxd(lnx)，

3、因为d(Inx) =1 dx = f udu，xx这里的u = lnX。2、不能化成几个函数的乘积若一个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若 干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本sin xsin x-I 3dx TOC o 1-5 h z 如：求不定积分4 + cos2x时，sin x111 cos X、1, cos X、Jdx = Jd (cos x) = Jd () = arctan() + C4 + cos2 x4 + cos2 x2 +(cos X)222223、能化成几个因式的乘积但难以凑微分若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个

4、函数的乘积但难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本 公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，然后进行相应求解。如：求不定积分I X2（X2+1） dX时，I (-1)dx = I 上 dx I(1)dx = arctan x + C4、分部积分法中的“凑微分”分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积 分，分部积分法的关键是凑微分，即将f(X)拆分成uv，设 u = x, dv = cos xdx = d (sin x)， I x cos xdx = I xd (sin x) = x sin x I sin xdx = x sin x+ cosX + C则容易求解。遵

5、循上面的两个原则，实际计算中一个比较实用的方法是：对拆分成乘积的两个函数求导数，若函数类型发生变化 则做u，没有变化则做”，全部没有发生变化则任选一个做u即可，而且总结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可 以做y，反三角函数、对数函数不能做y，。如求解J ex cos xdx时，指数函数ex和三角函数cos x求导后仍为指数函数与三角函数，函数类型没有发生变化，则可任选一个函数做yJ ex sin xdx = J sin xd (ex) = ex sin x J ex cos xdx = ex sin x J cos xd (ex) = ex sin xex cos x J e

6、x sin xdx。 将最后的式子中的Jex sin xdx移项，再合并，然后可得Jex sin xdx = 1 ex (sin x - cos x) + C。此方法对于“凑微分”的选择来 2说是比较实用的，但在一定方面具有局限性。如求解不定积分Jx2exdx 被积函数x2求导得2x，被积函数ex求导得ex，类型仍然是幕函数和指 数函数形式，因此应该任取一个做u即可，但通过下面的求解发现并 不是如此： 解法：J x2exdx J exd (x3)=- x3ex ! J x3exdx = x3ex 一J exd (x4)(陷入333312无限循环)。解法(2)： J x2exdx = J x2d

7、(ex) = x2ex 一 2J xexdx = x2ex 一 2J xd(ex) = x2ex 一 2J xd(ex)x2ex 一2xexdx = x2gx 一2xex + 2ex + C = (x2 一2x + 2)ex + C (间单明 了)。为解决此缺陷，可以再给出一个选择u及y，的简单方法：把被积 函数视为两个函数的乘积，按“反对幕指三”的顺序，前者为后者 为y，。如：求解不定积分J x 2 cos xdx 时， 被积函数 x2 cosx 可以看成幕函 数x 2与三角函数cos x的乘积，按照“反对幕指三”的顺序取u = x2,y = cosx，其实，两种方法各有利弊，第一种方法拓展了学生的 发散思维，但对于某些问题不能广泛应用，第二种方法虽然简洁、应 用广泛，但是又限制了同学们发散思维