专题16 角平分线四大模型

1、中考常考几何模型专题 16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P是ZMON的平分线上一点，过点P作PA丄0M于点A, PB丄ON于点B。 结论：PB=PAO2、截取构造对称全等如图，P是ZMON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON 上截取OB=OA，连接PB。结论： OPBOPAo3、 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是ZMO的平分线上一点，如图，P是ZMO的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP于点Bo 结论：AAOB是等腰三角形。0N4、角平分线+平行线如图，P是MO的平分线上一点，过点作PQON,交OM于点Q。结论：APOQ是等腰三角形。模型精练：1.

2、 (2019东平县二模)如图，ABC的外角ZACD的平分线CP与内角/ABC的平分线BP交于点P,若ZBPC=40，则 ZCAP=()【点睛】根据外角与内角性质得出/BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定,得出ZCAP=ZFAP,即可得出答案【解析】解：延长BA,作PN丄BD, PF丄BA, PM丄AC,设 ZPCD=x,TCP 平分/ACD,AZACP=ZPCD=x, PM=PN,TBP 平分/ABC,AZABP=ZPBC, PF=PN,:PF=PM,VZBPC=40,：/ABP=/PBC=/PCD -ZBPC=(x - 40),:.ZBAC=ZACD-ZABC=2x-(

3、x-40)-(x-40)=80,：ZCAF= 100,在 RtPFA 和 RtPMA 中，PA = PAPM = PF，:.RtPFARtPMA (HL),:.ZF4P=ZP4C=50.故选：C.2. (2019桂平市期末)如图，在ABC 中，ZC=90, AD 平分ZCAB, BC=12cm, BD = 8cm，那么点D 到直线 AB 的距离是( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 10cm【点睛】先求出CD的长，过点D作DEAB于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性 质可得DE=CD,从而得解.【解析】解：如图，过点D作DE丄AB于点E,rCrC BC=12cm, BD

4、8cm,；CD=BC - BD=12 - 8=4cm,VZC=90, AD 平分/CAB,:.DE=CD=4cm,即点 D 到直线 AB 的距离是 4cm故选：B.（2020浙江自主招生）如图，在ABC中，AD是ZA的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m, PC=n，AB=c，AC=b，贝9（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A. m+nb+cA. m+nb+cB. m+nb+c.【解析】解：在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,AD是ZA的外角平分线,:.ZCAD=ZEAD,AE = AC在AACP 和 AAEP 中，zCAD = EAD,AP = AP:、ACFA

5、EF (SAS),:.PE=PC,在 APBE 中，PB+PEAB+AE,:PB=m, PC=n, AB=c, AC=b,：.m+nb+c.故选：A.(2019兰山区一模)如图，在ABC中，ZABC和ZACB的平分线交于点E,过点E作MN/BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN= 11，则线段MN的长为 11.【点睛】根据平行线的性质得出ZMEB=ZEBC,ZNEC=ZECB，根据角平分线定义得出Z MBE=ZEBC,ZNCE=ZECB，求出 ZMEB=ZMBE,ZNEC=ZNCE，推出 ME=BM, EN=CN 即可.【解析】解：: MN/ BC,:Z MEB=Z EBC,Z NEC=Z

6、ECB,: ZABC和ZACB的平分线交于点E,:Z MBE=Z EBC,Z NCE=Z ECB,:Z MEB=Z MBE,Z NEC=Z NCE,: ME= BM, EN= CN,VBM+CN=11,；EM+EN=11,即 MN=11,故答案为：115.如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=90, BF平分A ABC, CD丄BD交BF的延长 线于点D,试说明：BF=2CD.【点睛】作BE的中点E,连接AE、AD,根据直角三角形得到性质就可以得出AE=BE=EF,由BD平 分 A ABC 就可以得出 ZABE=ZDBC=22.5，从而可以得出 ZBAE=ZBAE=ZACD=

7、22.5,ZAEF =45，由 ABAC=90,ABDC=90。就可以得出 A、B、C、D 四点共圆，求出 AD=DC，证ADC AEB推出BE=CD,从而得到结论.【解析】解：取BF的中点E,连接AE, AD,VABAC=90,：AE=BE=EF,:.AABD=ABAE,TCD 丄 BD,/.A, B, C, D四点共圆,； /DAC=/DBC,:BF 平分 ZABC,:.ZABD=ZDBC,；./DAC=/BAE,.ZEAD=90,VAB=AC,.ZABC=45,ZABD=ZDBC=22.5,.ZAED=45,:.AE=AD,在AABE与ADC中，乙 ABE = ADAC A.BAE =乙

8、ACD,AE = AD:.ABEADC,:.BE=CD,：BF=2CD.如图，在ABC中，/ABE=2/C, AD是ZBAC的平分线，BE丄AD,垂足为E若ZC=30。，求证：AB=2BE.1若ZCH30。，求证：BE=2 (AC-AB).【点睛】(1)由BE丄AD,得到ZAEB=90。，根据已知条件得到ZABE= 60。，根据三角形的内角和得 到ZBAE=30，根据直角三角形的性质即刻得到结论；(2)根据等腰三角形的性质得到AB=AF,根据等腰三角形的性质得到ZAFE=ZABE=2ZC,根据三 角形外角的性质得到ZC=ZCBF,得到BF=CF,于是得到结论.【解析】解：(1)：BE丄AD,A

9、ZAEB=90,:ZABE=2ZC,ZC=30,AZABE=60,AZBAE=30,:.AB=2BE；(2)：AD是ZBAC的平分线，BE丄AD,：AB=AF,:.ZAFE=ZABE=2ZC,:ZAFE=ZC+ZCBF,:.ZC=ZCBF,：BF=CF,:BF=2BE,： CF=AC - AB=BE=2BE,1:BE=2 (AC-AB).（2019沂源县期末）如图，在ABC中，AB=AC,ZABC=40, BD是ZABC的平分线，延长BD至E,使 DE=AD,求证：ZECA=40.【点睛】在BC上截取BF=AB,连DF,根据SAS可证明AABDAFBD，得出DF=DA =DE,证明DCEADC

10、F，故 ZECA=ZDCB=40.【解析】证明：在BC上截取BF=AB，连DF,TBD 是ZABC的平分线，AZABD=ZFBD,:.ABDFBD (SAS),:.DF=DA=DE,又VZACB=ZABC=40,ZDFC=180-ZA = 80 ,AZFDC=60,AZEDC=ZADB=180-ZABD-ZA = 180-20-100=60,：DCEDCF (SAS),故 ZECA=ZDCB=40.(2019临洮县期末)已知ABC 中，AB=AC,ZA = 108, BD 平分ZABC,求证：BC=AC+CD.【点睛】在线段BC上截取BE=BA，连接DE.则只需证明CD=CE即可.结合角度证明

11、ZCDE=ZCED.【解析】证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE.: BD 平分 ZABC,1.ZABD=ZEBD= qZABC.在 ABD和AEBD中，BE = BA乙ABD =乙EBD，ED = BD:.ABD竺EBD. (SAS)AZBED=ZA = 108，ZADB=ZEDB.1又VAB=AC，ZA = 108，ZACB=ZABC=2x(180-108)=36 ,AZABD=ZEBD=18.AZADB=ZEDB=180-18-108=54.ZCDE=180-ZADB-ZEDB=180-54-54=72.ZDEC=180-ZDEB=180-108=72.AZCDE=ZDEC.CD

12、= CE.:BC=BE+EC=AB+CD.(2019自贡期中)如图，在四边形ABCD中，BCBA, AD=DC,若 BD丄CD,ZC=60, BC=10，求 AD 的长；若 BD 平分ZABC,求证：ZA+ZC=180.【点睛】(1)由含30角的直角三角形的性质求出DC,即可得出答案；(2)在 BC 上截取 BE=BA,连接 DE,推出ABDEBD，推出 ZA=ZBED, AD=DE=DC，推出ZBED+ZC=180，即可得出答案.【解析】(1)解：TBD丄CD,ZC=60, ZCBD = 30,dc=2bc=5,VAD=DC=5；(2)证明：在BC上截取BE=BA，连接DE,如图所示: BD

13、 平分 ZABC, ZABD=ZEBD,AB = BE在AABD 和AEBD 中，乙ABD =乙EBD,、ED = BD:.ABDEBD (SAS),:.ZA=ZBED, AD=DE,.AD=DC,；.DE=DC,:.ZC=ZDEC,VZBED+ZDEC=ZA+ZDEC=ZA+ZC=180, 即 ZA+ZC=180.（2019宜昌期中）（1）已知：如图1,等腰直角三角形ABC中，ZB = 90, AD是ZBAC的外角平分 线，交CB边的延长线于点D.求证：BD=AB+AC；（2）对于任意三角形ABC,ZABC=2ZC, AD是ZBAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D,如 图2,请你写出线段

14、AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明.EACBDB EACBDB mi【点睛】（1）在CA的延长线上截取AE=AB,连接DE,由角平分线的性质就可以得出EADABAD,得出 ZAED=ZABD=90, DB=DE,就可以得出 DB=AB+AC；(2)在CA的延长线上取一点E,使AE=AB,连接DE,由角平分线的性质就可以得出AEDAABD, 就可以得出DE=DB,ZAED=ZABD，就可以得出/DEF=/ABC,就可以得出ZEDC=ZC,进而得 出结论【解析】证明：(1)在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE.EACBCDD图2EACBCDD图2B miTAD 平分ZEAB,AZEAD=

15、ZBAD,在AEAD和ABAD中,EA = BAEAD =ABAD,AD = ADEADABAD (SAS).AZAED=ZABD, DB=DE,VAB=BC,ZABC=90 .ZC=45,ZABD=90 , .ZAED=90,AZEDC=45,AZEDC=ZC,：DE=EC. BD= EC.EC=AE+AC,:.BD=AE+AC:.DB=AE+AC=AB+AC；(2) BD=AB+AC,理由如下：在CA的延长线上取一点E,使AE=AB，连接DE,TAD 平分ZEAB,AZEAD=ZBAD,在AEAD和ABAD中，EA = BAAEAD =ABAD,AD = AD:.AEADABAD (SAS

16、).AZAED=ZABD, DB=DE.VZAED+ZFED=180,ZABD+ABC=180,AZFED=ZABC.VZABC=2ZC,AZFED=2ZC.VZFED=ZEDC+ZC,A2ZC=ZEDC+ZC,AZC=ZEDC,.DE=CE.BD=EC.EC=AE+AC,:.BD=AE+AC:.DB=AE+AC=AB+AC.(2019潮南区期中)在ABC中，BD 是ZABC的平分线，AD丄BD,垂足是D.求证：Z2=Z1+ZC；若 ED/BC,/ABD=28，求ZADE 的度数.BC【点睛】(1)如图延长AD交BC于H 证明 BDAABDH (ASA)即可解决问题.求出ZAHC，再利用平行线

17、的性质即可解决问题.【解析】解：(1)如图延长AD交BC于H.BD 丄 AH，AZBDA=ZBDH=90， ZABD=ZHBD，BD=BD, .BDAABDH (ASA)，ABA=BH，Z2=ZBHA，VZBHA=Z1+ZC，AZ2=Z1+ZC.(2)VZABD=28,ZBDA=90,.Z2 = 62,.ZAHB=Z2=62,.ZAHC= 180-62=118,.DEEC,AZADE=ZAHC= 118.(2019蔡甸区校级月考)如图，在ABC, AD平分ZBAC, E、F分别在BD、AD上，且DE=CD,EF=AC，求证：EFAB.【点睛】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明ADE

18、GADCA，可得EG=EF,可证明EFAB.【解析】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，：EGII AC在ADEG和ADCA中，ADC=乙GDE CD = ED ,、乙DEG = DCA:.ADEGADCA (ASA),AEG=EF,ZG=ZCAD, 又 EF=AC故 EG=ACTAD 平分 ABAC,:.ZBAD=ZCAD, ；EG=EF,:.ZG=ZEFD,:.ZEFD=ZBAD,： EF/AB.AA（2019 崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD/BC, AE平分A BAD, BE平分ZABC,且AE、BE交CD于点E.试说明AD=AB - BC的理由.【点睛】在AB上找

19、到F使得AF=AD，易证AEFAED，可得AF=AD,AAFE=AD,根据平行 线性质可证AC=ABFE，即可证明 BECBEF，可得BF=BC,即可解题.【解析】证明：在AB上找到F使得AF=AD,:.ZEAD=ZEAF,AD = AF在 AAEF 和 AAED 中，zEAD = EAF,AE = AE:.AEFAED, (SAS):.AF=AD,ZAFE=ZD,.ADBC,.ZD+ZC=180,：/AFE+/BFE=180:.ZC=ZBFE,: BE 平分 ZBAD,:.ZFBE=ZC,上BFE = zC:在ABEC 和 ABEF 中，zFBE = zCBE,.BE = BE:.ABEC竺

20、 ABEF, (AAS):.BF=BC,.AB=AF+BF,:.AB=AD+BC, 即卩 AD=AB-BC.(2019江夏区校级月考)如图1, ABCD, P为AB、CD之间一点若AP平分ZCAB, CP平分ZACD.求证：AP丄CP；22如图(2),若ZBAP=5ZBAC，ZDCP =5ZACD，且 AE 平分ZBAP, CF 平分/DCP，猜想ZE+ZF的结果并且证明你的结论；11在(1)的条件下，当ZBAQ=3BAP, ZDCQ= 3ZDCP, H为AB上一动点，连HQ并延长至K, 使ZQKA=ZQAK,再过点Q作ZCQH的平分线交直线AK于M,问当点H在射线AB上移动时，Z QMK的大

21、小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围.ASQDDC图1图ASQDDC图1图3H E【点睛】(1)依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到ZP=180-90=90。，进而得到AP 丄 CP；过E作EGAB,过F作FHCD,依据平行线的性质即可得到ZAEC=ZBAE+ZDCE,ZAFC22= ZBAF+ZDCF，再根据ZBAP =5ZBAC,ZDCP =5ZACD, AE 平分ZBAP, CF 平分ZDCP，即可 得到 ZE+ZF=108；1过Q作QE#AB,依据平行线的性质可得ZAQC=ZAQE+ZCQE=ZBAQ+ZDCQ,依据ZBAQ= 31ZBAP,ZDCQ=3ZDCP，

22、即可得出ZAQC=30。，再根据ZM=ZMQH -ZK进行计算，即可得出ZQMK的大小不变，是定值15【解析】解：（1）TABCD,:.ZBAC+ZACD=180,又：AP平分/CAB,CP 平分/ACD,1:/CAP= 2/CAB,1/ACP= 2/ACD,1:/CAP+/ACP= 21(/BAC+/ACD) =2灯80=90 ,:.ACP 中，ZP=180-90=90,即AP丄CP；(2)ZE+ZF=108证明：如图2,过E作EGAB, F作FHHCD,：ABH CD,.EG/AB/FH/CD,/BAC+/DCA = 180,:.ZBAE=ZAEG,ZDCE=ZCEG,ZBAF=ZAFH,

23、ZDCF=ZCFH,：.ZAEC=ZBAE+ZDCE,ZAFC=ZBAF+ZDCF,22:/BAP =5ZBAC,ZDCP =5ZACD, AE 平分 /BAP, CF 平分 ZDCP,11:/BAE =5/BAC,/DCF =5/DCA,1 2 2 1:/AEC= 5/BAC+5/ACD,/AFC= 5/BAC+5/DCA,1221333:.ZAEC+ZAFC =5ZBAC+ 5ZACD+5ZBAC+5ZDCA =5ZACD+ 5ZBAC =5 (/BAC+/DCA)=33X180=108；如图，过Q作QEAB,.ABCD,QECD,:.ZBAQ=ZAQE,ZDCQ=ZCQE,:.ZAQC=

24、ZAQE+ZCQE=ZBAQ+ZDCQ,由(1)可得 ZBAP+ZDCP=180-90=90,11又VZBAQ= 3BAP,ZDCQ= 3 上 DCP,1 1 1 .ZAQC=ZBAQ+ZDCQ=3ZBAP+3ZDCP=3(ZBAP+ZDCP)=30,yZAQH 是 AAOK 的外角，QA = QK,1.ZK= qZAQH,：QM是ZCQH的平分线，1：,ZMQH= 2 乙 CQH,: /MQH是AMOK的外角,1 1 1 1 1.ZM=ZMQH-ZK=2ZCQH2ZAQH=2(ZCQH-ZAQH)=2ZAQC=2X30=15,即ZQMK的大小不变，是定值15.(2019东湖区校级月考)(1)

25、如图1,已知：在ABC中，AB=AC= 10, BD平分ZABC, CD平分ZACB,过点D作EFBC,分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有5个等腰三角形:EF与BE、CF之间的数量关系是 BE+CF=EF , AEF的周长是一 20AAEDDEBCBCBC图AAEDDEBCBCBC图2如图2,若将(1)中“ABC中，AB=AC=10”改为“若ABC为不等边三角形，AB=8, AC =10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你 的结论，并求出aaef的周长已知：如图3, D 在ABC夕卜，ABAC,且BD平分ZABC, CD平分ABC的外角ZACG,过点 D作DEHBC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论 不证明.【点睛】(1)根据角平分线的定义可得ZEBD=ZCBD,ZFCD=ZBC