常微分方程的一般概念

1、常微分方程的一般概念第1页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三常微分方程Ordinary(1) 概念、建模Differential Equations第2页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三方程 代数方程 其解为特定常值，如 二次方程、三角方程等；函数方程 其解为“函数”，如 微分方程、积分方程等。第3页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三5. 常微分方程的一般概念 一. 两个简单的例子例1求以原点为中心的一切圆所满足的微分方程。解 圆心在原点的一切圆的直角坐标方程(1)第4页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三由于满足

2、这个方程的解(函数 (1)有无穷(2)多个(解族、解集) ,两边同时对x求导 到通解 中有一个任意常数：又称为通解, 应注意第5页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三如求出过(1,0)点的圆,通解 的图像是一族充满全平满足所给条件的一个特解:只要给定条件:面的同心圆也叫 “积分曲线族”；则立即可定出 r = 1, 于是就得到方程(1) 第6页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三例2质量为m的质点,自某高度下落,设初速度为 ,介质阻力与速度的平方成正比,建立速度所满足的微分方程;建立落程所满足的微分方程;解 第7页，共36页，2022年，5月20日，5点21分

3、，星期三在给定的初始条件从定解条件一般就可得此微分方程的一个特解:在不记阻力条件下,因 第8页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三先后积分两次，得其图象是一族积分曲线族,也叫方程通解,(注意含两个任意常数)。若给了如下定解条件:(也叫初始条件)第9页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三即可方便地确定出于是便得到原方程对应初条件的一个特解:第10页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三二. 有关微分方程的系列概念 微分方程 (Differential Equations)含有未知函数的导数或微分的方程。其中只含一个自变量的方程为常微分方程(or

4、dinary differential equations),自变量多余一个的方程为偏微分方程(partial differential equations)。第11页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 微分方程的阶方程所含未知函数的导数(或微分)的最高阶数 .请见以下各种微分方程：第12页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三第13页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三一般形式正规形式第14页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三含有 n 个独立的任意常数的解的一般表达式： 微分方程的解 微分方程的通解n 阶微分方程(10

5、)的第15页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三微分方程的特解n 阶微分方程(10)的不含有任何常数的一个确定的 线性微分方程方程的含“未知函数及其各阶导数”的各项(整体)皆以一次项的形式出现; 否则为非线性微分方程。第16页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 齐次微分方程的不含“未知函数及其各阶导数”对于正规方程(11)的项的和为零；否则称为非齐次 微分方程定解条件微分方程。为确定方程的定条件如: 初始条件或边值条件。一个特解而设定或附加的某些特第17页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三(1) 由实际问题出发, 建立未知函数所满 足的

6、微分方程, 并根据需要附加定解 条件；(数学建模) 关于微分方程要研究的问题主要有：(2) 研究解的存在性、唯一性；(3) 求微分方程的通解；(4) 求满足定解条件的 微分方程的特解。几何法分析法代数法数值法方法第18页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三第19页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三2. 微分方程数学建模举例 1. 指数模型 ( Malthus 模型 ) 十八世纪晚期，人类首次关注人口规划问题. 指数模型及Logistic模型在人口、经济、医学、 生态环境领域都有很好的应用。第20页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三美国科

7、学家发现，在17901860年期间美国人口的相对增长率 k 接近一个常数：根据这一点建立的微分方程及定解条件为：第21页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三从而得出人口按指数规律增加：评价 相对增长率等于常数这一假设只在一 个较短的时间间隔对问题的模拟较好；按指数模型，人口将无限增长下去, 但这是不可能的。第22页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三2. Logistic 模型(人口增长模型 )Malthus 模型不符合实际情况的主要原因在于未考虑“密度制约”或“拥挤效应”, 以及战争、灾荒、经济衰退等因素。第23页，共36页，2022年，5月20日，5点2

8、1分，星期三 经过对美国17901940年人口状况的 数据分析, 发现人口的相对增长率呈线性规律：(只有1840与1870的预测与实际偏离较大)第24页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 Logistic 模型的一般形式或其中环境的承载量：(这个方程是由比利时数学家于1830给出的) Logistic 方程的解的定性分析可以用Maple完美作出。第25页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 求 Logistic 方程的解析解分离变量并积分第26页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三通解为设初值条件 ,则相应的特解为由这一特解易见,当第27

9、页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三说明人口(或种群)的数目随着时间的推移, 最终将稳定在 k 左右环境的承载量。 下面这个例子说明,有时不完全解方程，也可以定性地研究微分方程解的性态。第28页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三3. 宇宙的膨胀模型 天文学家在研究“宇宙膨胀速度到底有多快”时，建立了一种模型设宇宙这个大球体的半径，G 宇宙引力常数宇宙的质量第29页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三方程两边同乘 ，得 于是，又可以把上面方程 写为 第30页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三即：亦即： 利用这个 与 的

10、关系式就可确定 是 如何随时间 t 变化的.第31页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三由于仍保持 ,宇宙但速度将减小,当 时膨胀速度减小到 ; 当 R 增大时, 宇宙在膨胀情况下 因此仍在膨胀,第32页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三(big crunch)第33页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三通过解这个一阶方程, 得 第34页，共36页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 这个公式被称为“扁平宇宙模型”(flat universe model) , 试问此模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？ 微分方程数学模型建立之后，可以从理论上研究解的存在唯一性, 还可以用分析、几何、代数、数值等多种