弹性力学第二章平面问题的基本理论

1、弹性力学第二章平面问题的基本理论第1页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平 面 应 力 问 题平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也平行于板面且不沿厚度变化。xyzh第2页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平 面 应 变 问 题平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变化。xyz第3页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三物 理 方 程这里，E为弹性模量，G为剪切模量，泊松系数，且

2、有如下关系：第4页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平面应力问题的物理方程注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变不为零。第5页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平面应变问题的物理方程注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力不为零。第6页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平 衡 微 分 方 程 (1)oxyc第7页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平 衡 微 分 方 程 (2)X 方向力平衡：c第8页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三再 证 剪 应 力 互 等对c点力矩平衡：c第9页，共

3、42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三几 何 方 程PABPABoxy第10页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三刚 体 位 移Poxy第11页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平 面 问 题 小 结平面问题的基本方程：三个物理方程三个几何方程两个平衡方程平面问题中的未知函数：三个应力分量三个应变分量两个位移分量第12页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三平面问题中一点的应力状态PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得 ：同理：第13页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三主 应 力 及 其 方 向PABo

4、xy在应力主面上，全应力等于主应力，因此：第14页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三最大正应力与最大剪应力第15页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三莫尔圆推导应力状态公式2O. Mohr, 德国人，1835-1918。第16页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三边 界 条 件位移边界条件：应力边界条件：混合条件：在位移约束 面上：在应力约束 面上：位移约束与应力约束的组合。设 面法线与x轴正向夹角的余玄为l，与y轴正向夹角的余玄为m。第17页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三边 界 条 件 举 例xyxyqp第18页

5、，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三圣维南原理及其应用圣维南（Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant，17971886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF第19页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三圣 维 南 原 理 推 广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处发生显著的应力，而远处

6、可以不计。第20页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三圣 维 南 原 理 应 用xyh/2h/2严格边界条件运用圣维南原理的边界条件ll第21页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三用位移法与应力法求解平面问题位移法：以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量。应力法：以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形变分量和位移分量。注：课堂上只推导平面应力问题

7、的求解方法，至于平面应变问题，只需要在推导结果上稍作改变，即将结果中：换为换为第22页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面应力问题(1) 用应变表达应力（物理方程）第23页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面应力问题(2) 用位移表达应变（几何方程）第24页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面应力问题(3) 平衡方程第25页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面应力问题(4) 边界条件第26页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面应力问题(

8、5) 小结按位移求解平面问题需要：1. 位移分量满足微分方程：2.边界条件：第27页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面问题(5) 举例y=hgxy第28页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按位移求解平面问题(6) 举例y=hgxy第29页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按应力求解平面应力问题(1) 用位移表达应变（几何方程）形变协调方程或相容方程连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证真实的位移分量存在。第30页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按应力求解平面应力问题(2)

9、 相容方程的运用设有应变分量：显然其不满足协调方程。第31页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按应力求解平面应力问题(3) 用应力表达应变（物理方程）用应力表达应变并代入形变协调方程：得到：第32页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按应力求解平面应力问题(4) 平衡方程代入下式消去剪应力：得到：第33页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三按应力求解平面应力问题(5) 小结按应力求解平面问题需要：3.应力分量满足边界条件和或位移单值条件：2.应力分量满足形变协调方程：1.应力分量满足平衡微分方程：第34页，共42页，2022年，5月20日

10、，9点39分，星期三按应力求解平面应力问题(6) 例题y=hgxy第35页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三常体力情况下的简化（1） 应力调和方程常体力拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，17491827）方程，即调和方程。当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体的边界形状以及受力分布相同，那么它们平面内的应力分布相同。第36页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三常体力情况下的简化（2） 求解平衡方程平衡方程应力调和方程所求的应力函数必须满足以下方程：其中 式的解为 式的通解加上 式的特解：第37页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三常体力情况下的简化（3） 平衡方程的特解特解一：特解二：特解三：第38页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三常体力情况下的简化（4） 平衡方程的通解因此，由 中第一式：由 中第二式：剪应力相等：则有：最后得到：艾里George Airy (1801-1892)应力函数第39页，共42页，2022年，5月20日，9点39分，星期三常体力情况下的简化（5） 平衡方程的解通解特解第40页，共42页，2022年，5月20日