2021-2022学年浙江省浙大附中数学高二第二学期期末预测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，集合，则（）ABCD2函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线, 则的图象的顶点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数为内的奇函数，且当时，记，则间的大小关系是（ ）ABCD4运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几

3、何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）ABCD5在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）ABCD6已知-1，a，b，-5成等差数列，-1，c，-4成等比数列，则a+b+c=（ ）A-8B-6C-6或-4D-8或-47下列命题中，真命题是A若，且，则中至少有一个大于1BC 的充要条件是D8若实数a,b满足a+b0，则( )Aa,b都小于0 Ba,b都大于0Ca,b中至少有一个大于0 Da,b

4、中至少有一个小于09中，则的值是（ ）ABCD或10某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A30种B35种C42种D48种11在中，若，则此三角形解的个数为（）A0个B1个C2个D不能确定12已知（为虚单位），则复数在复平面上所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知一组数据，的方差为，则数据2，2，2，2，2的方差为_14复数（是虚数单位）的虚部是_15四面体ABCD中，ABCD2，ACADBCBD4，则异面直线AB与CD的夹角为_16设函数图象在处的切线

5、方程是，则函数的图象在处的切线方程是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.18（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点（1）证明：平面;（2）设，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离19（12分）已知函数.证明：；已知，证明：.20（12分）已知椭圆的离心率为,过右焦点作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于两点，且为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2) 设直线与椭圆相交于两点,若.求的值；求的面积的最小值.21（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天

6、气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如表所示的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将列联表补充完整；患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50（2）是否有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考: 0.150.100.050.0250.0

7、100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式，其中）22（10分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】首先解出集合，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。【详解】由题可得，；所以，则选项正确；故答案选D【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。2、A【解析】设，则，由图可知，从而可得顶点在第一象限.【详解】因为函

8、数的图象过原点，所以可设，由图可知,，则函数的顶点在第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.3、D【解析】根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.【详解】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，所以在内单调递减又，故，选D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.4、C【解析】根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】由椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3

9、的圆柱在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥当截面与底面距离为时，截圆锥得到的截面小圆半径为 则，即所以截面面积为把代入椭圆方程，可求得所以橄榄球形状几何体的截面面积为由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为故选:C【点睛】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.5、D【解析】将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.6、D【解析】根据等差数列的性质可得出a+b的值，利用等比中项的性质求出c的值，于此可得出a+b+c的值。【详解】由于-1、a、b、-5成等差数列，则a+

10、b=-1又-1、c、-4成等比数列，则c2=-1当c=-2时，a+b+c=-8；当c=2时，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故选：D。【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。7、A【解析】逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项A,假设x1，y1，所以x+y2，与已知矛盾，所以原命题正确.当x=2时，2x=x2，故B错误当a=b=0时，满足a+b=0，但=1不成立，故a+b=0的充要条件是=1错误，xR，ex0，故x0R，错误，故正确的命题是A，故答案为：A【点睛】

11、（1）本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假，考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.8、D【解析】假设a,b都不小于0,即a0,b0,则a+b0,这与a+b0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.9、B【解析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得，选B.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.10、A【解析】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A中选有种，只在B中选有种，则在两类课程中至少选一门的选法有种.11、C【解析】判断的大小关系，即可得到

12、三角形解的个数.【详解】,即，有两个三角形.故选C.【点睛】本题考查判断三角形解的个数问题，属于简单题型.12、B【解析】由得，再利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数所表示的点所在的象限.【详解】由得，因此，复数在复平面上对应的点在第二象限，故选B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点所在的象限，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】根据方差的性质运算即可.【详解】由题意知： 本题正确结果：【点睛】本题考查方差的运算性质，属于基础题.14、【解析】根据复数的结果

13、，直接判断出其虚部是多少.【详解】因为，所以复数的虚部为.故答案为：.【点睛】本题考查复数的虚部的辨别，难度容易.已知复数，则为复数的实部，为复数的虚部.15、【解析】取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，然后根据直线与平面垂直的性质可得，从而可得答案.【详解】如图所示：取的中点，连接，因为，为的中点，所以，因为，为的中点，所以，又，所以平面，因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直线与平面垂直的判定定理和性质，属于基础题.16、【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：

14、因为函数图象在处的切线方程是，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【解析】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为

15、对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.试题解析：（1）当时，由,解得. 在上是减函数，在上是增函数. 的极小值为，无极大值. （2）. 当时，在和上是减函数，在上是增函数； 当时，在上是减函数； 当时，在和上是减函数，在上是增函数. （3）当时，由（2）可知在上是减函数，. 由对任意的恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立， 由于当时，. 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.18、（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为【解析】试题分析：（1）连结BD、AC相交于O

16、，连结OE，则PBOE，由此能证明PB平面ACE（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB 又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB平面AEC （2）由，可得.作交于由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离19、证明见解析；证明见解析.【解析】(1) ，于是证明即可，左边可由所证得到；

17、（2）即证，表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证.【详解】令，则在上单调递增，在上单调递减.，即当时，由可得，即，即由可知下面用数学归纳法证明当时，结论成立；假设时，结论成立，即；当时，设，其中，则在上单调递增又，数列单调递增，故由归纳假设和中结论时结论成立，即结合可得，即【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.20、（1）；（2），.【解析】（1）利用椭圆的离心率公式，通径的长和椭圆中a，b，c的关系，求得a，b，c的值，进而可得椭圆的方程.(2)通过联立直线和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程

18、的根与系数的关系，求出，再结合向量表示垂直得，进而求解；设直线OA的斜率为.分和两种情况讨论，当时，通过联立直线与椭圆方程和三角形面积公式，将面积的最小值问题转化为求函数的最值问题求解，再结合时的情况，得面积的取值范围，进而求得最小值.【详解】(1) 已知椭圆的离心率为，可知 ，根据椭圆的通径长为 ，结合椭圆中 ，可解得 ，故椭圆C的方程为 .（2）已知直线AB的方程为 , 设 与椭圆方程联立有,消去y,得 ,所以 ，因 ,所以 ，即 ，所以 .整理得 ,所以为 设直线OA的斜率为.当时,则的方程OA为,OB的方程为 ，联立得,同理可求得 ,故AOB的面积为 .令 ，则 令 ,所以 .所以 ，

19、当时,可求得S=1,故,故S的最小值为【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，涉及了椭圆的离心率方程，通径的长和椭圆中a，b，c的关系；考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中的最值问题；函数中求最值的常用方法有函数法和数形结合法；函数法：利用函数最值的探究方法，将椭圆中的最值问题转化为函数的最值来处理，解题过程中要注意椭圆中x，y的范围.21、（1）见解析（2）有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.（3）见解析，【解析】（1）由题意可知：在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，即可求得患心肺疾病的为20人，即可完成列联表；（2）再代入公式计算得出，与5.024比较即可得出结论；（