弹性力学讲稿精品课件

1、关于弹性力学第一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月主 要 内 容2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程 刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题 相容方程2-10 常体力情况下的简化 应力函数第二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-1 平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题(1) 几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征外力（体力、面力）和约束，

2、仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。第三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月xyyztba(3) 应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。第四张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2. 平面应变问题(1) 几何特征水坝滚柱厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 近似认为无限长(2) 外力特征 外力（体力

3、、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 沿长度 z 方向不变化。(3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长，则沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视为对称面第五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面位移问题 平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量： 仅为 x y 的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。第六张，PPT共九十三页，创作于2

4、022年6月 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题第七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月两类平面问题：平面应力问题几何特征受力特征应力特征平面应变问题几何特征;受力特征;应变特征。xyyztba水坝滚柱第八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月3. 平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求： 仅为 x y 的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件： 平衡微分方程 几何方程 物理方程

5、（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；第九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-2 平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DfxfyZ 方向取单位长度。设P点应力已知：体力：fx ，fyAC面：BC面： 注： 这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。第十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月PBACxyODfxfy由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有 剪应力互等定理第十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月PBACxyODfxfy两边同除以dx dy，并整理得：两边同除以dx dy，并整理得：第十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月平

6、面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量： 超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODfxfy第十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-3 平面问题中一点的应力状态1. 斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量px，pyxyOdxdydsPABppxpyN设P点的应力分量已知：斜面AB上的应力矢量: p 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方

7、向余弦： 由微元体平衡： 整理得： （2-3）整理得： （2-4）外法线 同样，由 第十四张，PPT共九十三页，创作于2022年6月xyOdxdydsPABppxpyN（2）斜面上的正应力与剪应力（2-3）（2-4）将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：（2-5）（2-6）说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2） 的正负号规定： 将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。 任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边界S，则（2-18） 平面问题的应力边界条件第十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2. 一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABppxp

8、yN（1）主应力 若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；当 时，有求解得：（2-7） 平面应力状态主应力的计算公式第十六张，PPT共九十三页，创作于2022年6月主应力 所在的平面 称为主平面；主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；由式（2-7）易得： 平面应力状态应力第一不变量（2）应力主向 设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则 设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则第十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月应力主向的计算公式：（2-8）由得显然有表明：1 与 2 互相垂直。结论任一点P，一定

9、存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。（3）N 的主应力表示xyOpdxdydsPABN由1 与 2 分别为最大和最小应力。第十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（4）一点的最大应力与最小应力：最大、最小正应力：由：表明：主应力 中，一定包含最大、最小正应力。 xyOdxdydsPABNs最大、最小剪应力：由第十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月显然，当时，N为最大、最小值：由得，max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。最大、最小剪应力由xyOdxdydsPABNs第二十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月前面内容回顾与小结：基本假定：（1） 连续性假定；（2

10、） 线弹性假定；（3） 均匀性假定；（4） 各向同性假定；（5）小变形假定。（掌握这些假定的含义及作用）第二十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（1）两类平面问题：平面应力问题几何特征受力特征应力特征平面应变问题几何特征;受力特征;应变特征。xyyztba水坝滚柱第二十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（2）平面问题的平衡微分方程：（2-2）xyOdxdydsPABppxpyN（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18） 平面问题的应力边界条件（3）斜面上的应力第二十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（2-8）表明：1 与 2 互相垂直。（4）一点的主应力

11、、应力主向、最大最小应力（2-7）max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。第二十四张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-4 几何方程 刚体位移建立：平面问题中应变与位移的关系 几何方程1. 几何方程一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOP考察P点邻域内线段的变形：AdxBdyuv变形前变形后PABuv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。第二十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月xyOPAdxBdyuvPA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化第二十六张，PPT共九十三页，创作于2022年6月xyOPAdxBdyuv整理得：几何方程（

12、2-9）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当 u、v 已知，则 可完全确定；（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3） 以两线段夹角减小为正，增大为负。反之，已知 ，不能确定 u、v。第二十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2. 刚体位移物体无变形，只有刚体位移。 即： (a)(b)(c)由(a)、(b)可求得： (d)将(d)代入(c)，得： 或写成： 上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即 (e)积分(e) ，得： (f)其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:(

13、2-10) 刚体位移表达式第二十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月讨论： (2-10) 刚体位移表达式（1）仅有x方向平移。（2）仅有y方向平移。（3）xyOPyxr说明： P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的角度（刚性转动）第二十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（2-9）几何方程：(2-10)刚体位移表达式：xyOPAdxBdyuv小 结：第三十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-5 物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（

14、Hooke）定律。（2-13）其中：E 为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。第三十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中（2-15） 平面应力问题的物理方程注：(1) (2) 物理方程的另一形式第三十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（2）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中（2-16） 平面应变问题的物理方程注：(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得（2-13）(1) 平面应变问题中，但？第三十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（3）两类平面问题物理方程的转换：

15、（2-16） 平面应变问题的物理方程 平面应力问题的物理方程（2-15）(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：第三十四张，PPT共九十三页，创作于2022年6月本章前面主要内容回顾：1.两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征;受力特征;应力特征。几何特征;受力特征;应变特征。xyyztba水坝滚柱第三十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）平面应力问题（2-16）平面应变问题第三十六张，PPT共九十三页，创作于2022年

16、6月3.平面问题一点的应力、应变分析(b) 主应力与应力主向（2-7）（2-8）(a) 任意斜面上应力或 平面应力状态应力第一不变量第三十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月(c) 最大、最小剪应力及其方向max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。第三十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-6 边界条件1. 弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）未知量数：8个方程数：8个结 论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。第三十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2. 边界条件及其分类边界条件：建立边

17、界上的物理量与内部物理量间的关系。xyOqP是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界 三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：（2-17） 平面问题的位移边界条件说 明：称为固定位移边界。第四十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月xyOqP（2）应力边界条件给定面力分量 边界 应力边界xyOdxdydsPABpxpyN由前面斜面的应力分析，得式中取：得到：（2-18）式中：l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如： 平面问题的应力

18、边界条件垂直 x 轴的边界：垂直 y 轴的边界：第四十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说 明：x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：第四十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y = 0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x = l）：(3)AC段（y =x tan ）:N第四十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：第四十四张，PPT共九十三页，

19、创作于2022年6月例4图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：上侧面：右侧面：第四十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例5图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：右侧面：上侧面：第四十六张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例6图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解： 平面应力问题AB 边界：由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得 A 点处无应力作用在 AC、AB 边界上无面力作用，即第四十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例7图示楔形体，试

20、写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例8第四十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例7图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：第四十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月图示构件，试写出其应力边界条件。例8上侧：下侧：N第五十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)： 位移边界条件 应力边界条件图(b)： 位移边界条件 应力边界条件第五十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-7圣维南原理问题的提出：PPP

21、 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1. 静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。第五十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2要点：

22、小部分边界（次要边界）； 静力等效； 影响范围限于近处，远处不受影响；第五十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月 3.圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界第五十四张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例9图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理

23、求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！第五十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月边界条件（2-17） 平面问题的位移边界条件（1）位移边界条件xyOqP（2）应力边界条件（2-18） 平面问题的应力边界条件垂直 x 轴的边界：垂直 y 轴的边界：特殊情形：上一节内容回顾：第五十六张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-8 按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）（4）边界条件：（1）（2）第五十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月 2.弹性力学问题的

24、求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ；再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，并求出这些未知量，再求出其余未知量。第五十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月3. 按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（2-19）（a）将式(a)代入平衡方程，

25、化简有（2-20） 用位移表示的平衡微分方程第五十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：（a）将式（a）代入，得（2-21）（2-17） 用位移表示的应力边界条件第六十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-20）（2）边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：（2-21）说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。第六十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-9 按应力求解平面问题 相容方程1.变

26、形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：2个方程，3个未知量，为超静定问题，需寻求补充方程。从形变、形变与应力的关系着手建立补充方程。将几何方程：（2-9）作如下运算：第六十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月显然有：（2-22） 形变协调方程（或相容方程）即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中：C 为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。第六十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2. 变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形

27、将物理方程代入相容方程，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：（b）第六十四张，PPT共九十三页，创作于2022年6月将 (b) 代入 (a) ，得：将 上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程（2）平面应变情形将 上式中的泊松比代为： ， 得（2-24）（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）第六十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：（2

28、-18）（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。第六十六张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例11下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：(2-2) 满足（2）将式（a）代入相容方程：式（a）不是一组可能的应力场。第六十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例11下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和

29、应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。第六十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月例12图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：（2-2）显然，平衡微分方程满足。第六十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月式（a）满足相容方程。再验

30、证，式（a）是否满足边界条件？ 满足满足近似满足代入相容方程：上、下侧边界：左侧边界：（a） 满足第七十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月近似满足结论：式（a）为正确解右侧边界：约束反力：由圣维南原理：（a）第七十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2-10 常体力情况下的简化 应力函数1.常体力下平面问题的相容方程令： 拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为： 平面应力情形 平面应变情形当体力 fx、fy为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或（2-25）第七十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2.常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）

31、相容方程（形变协调方程）（3）边界条件（2-18）（4）位移单值条件 对多连通问题而言。讨论：（1） Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果 相同 ）不同。（但（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。 光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。满足： 的函数称为调和函数（解析函数）。第七十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月全解 = 齐次方程通解3.平衡微分方程解的形式(1) 特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(a)第七十四张，PPT共九十

32、三页，创作于2022年6月将式(b)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得(c)(d)同理，将式(b)第二式改写为(e)(f)比较式( d)与(f)，有也必存在一函数 B(x,y)，使得(2) 通解式(2-2) 的齐次方程：(b)的通解。由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得第七十五张，PPT共九十三页，创作于2022年6月(g)(h)将式 (g)、(h) 代入 (c)、(d)、(e)、(f)，得通解(i)(2-26)平衡微分方程(2-2)的全解:第七十六张，PPT共九十三页，创作于2022年6月4.相容方程的应力函数表示(2-26)将式（2-26）代入常体力下的

33、相容方程：(2-25)有：注意到体力 fx、 fy 为常量，有将上式展开，有(2-27) 应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。第七十七张，PPT共九十三页，创作于2022年6月2.相容方程的应力函数表示将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力 fx、 fy 为常量，有将上式展开，有(2-27) 应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。式（2-27）可简记为：或：式中：满足方程(2-27)的函数(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）结论：应力函数应为一重调和函数第七十八张，PPT共九十三页，创作于2022年6月本章主要内容回顾（1）平衡方程：（2

34、-2） （2）几何方程：（2-9） （3）物理方程：（2-15）（4）边界条件：（1）（2）（位移边界条件）（应力边界条件）弹性力学平面问题的基本方程第七十九张，PPT共九十三页，创作于2022年6月按位移求解平面问题的基本方程（2-20）（1）平衡方程：（2）边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：（2-21）第八十张，PPT共九十三页，创作于2022年6月变形协调方程或相容方程（2-22） 形变协调方程（或相容方程）（1）（2-23）（平面应力情形） 应力表示的相容方程（2-24）（平面应变情形）（2-25）（体力为常量）（2）第八十一张，PPT共九十三页，创作于2022年6月（

35、1）平衡方程（2-2）（3）边界条件：（2-18）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（平面应力情形）按应力求解的基本方程：常体力下可以简化：求解方法？（ 两种平面问题形式相同）（ 1）体力fx、fy 转化为面力处理。（ 2）第八十二张，PPT共九十三页，创作于2022年6月(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解：(k) 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3) 全解取特解为：则其全解为：(2-26) 常体力下平衡方程（a）的全解。 由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。(x,y) 平面问题的应力函数 Airy 应力函数第八十三张，PPT共九十三页，创作于2022年6月按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为：（1）(2-27)（2）然后将 代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。(2-28