高中数必修一知识点复习归纳总结

1、- 2022 2022 学年度高一数学必修 1 学问点复习总结 第一章 集合与函数概念 一,集合 1,集合的中元素的三个特性： , , ； 2,集合的表示： , 如： 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 , 北冰洋 （1）用大写的拉丁字母表示集合： （2）用小写的拉丁字母表示元素：如 3,集合的表示方法： （1）留意：常用数集及其记法： A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 M= , b, c, 非负整数集 （即自然数集） 记作： ；正整数集 记作 ； ；整数集 记 作 ； 有理数集 记作 ；实数集记作 （2）列举法： a,b,c . （3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括

2、号内表示集合的方 法； x R| x-32 ,x| x-32 （4）语言描述法：例： （5）区间法： 不是直角三角形的三角形 4,集合的分类：按元素的种类来分可以分为数集,点集等；按元素的种类来分分 为： ：有限集 含有有限个元素的集合 例： x|x 2=5 ：无限集 含有无限个元素的集合 ：空集 不含任何元素的集合 5,集合间的基本关系 （1）“包含”关系子集 留意： A B 有三种可能（ 1）A 是 B 的一部分；（ 2） A 与B 是同一集合；（ 3）A ； 反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A（2）“相等”关系：A=B 55,且

3、55,就 5=5 任何一个集合是它本身的子集； A A真子集 :假如 A B, 且 A B 那就说集合 A A B,B C, 那么 A C 假如 A B 同时 BA 那么 A=B 是集合 B 的真子集,记作 A B 或 B A 假如 （3）不含任何元素的集合叫做空集,记为 （4）规定 : 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集；n n 第-1- 页共 12 页 第 1 页,共 12 页- - 6,集合的运算 运 算 交 集 并 集 补 集 类型 定 由全部属于 A 且 由全部属于集合 A 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个 属于 B 的元素组 或属于集合 B 的元 子集,由

4、S 中全部不属于 A 的元 成的集合 ,叫 A,B 素组成的集合, 叫 素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的交集记作 A,B 的并集记作： 的补集（或余集） A B（读作 A A B（读作 A 并 记作 C s A ,即 义 交 B）,即 A B= B）,即 A B x|x A , 且 =x|xA , 或 Cs A= x | x S, 但 x A x B x B 韦 恩 A ABA ABS A 图 图 1 图 2 示 CuA CuB= Cu A B A=A A=A 性 A = A =A CuA CuB= CuA B 质 A B=B A A B=B A A CuA=U A CuA= A B A

5、 A B A B A A B 学问应用： 1.,以下四组对象,能构成集合的是 （ ） A 某班全部高个子的同学 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.,集合 a,b,c 的真子集共有 个； 3.,如集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x 0,就 M 与 N 的关系是 ； 4.,设集合 A= x 1 x 2 , B= x x a,如 A B,就 a 的取值范畴是 5,50 名同学做的物理,化学两种试验,已知物理试验做得正确得 有 40 人,化学试验做得正确得有 31 人, 两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有 人； 6. 用描述法表示图中

6、阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= 2 2 2 2 7. 已知集合 A=x| x +2x-8=0, B=x| x-5x+6=0, C=x| x-mx+m -19=0, 如 BC, AC= ,求 m 的值 第-2- 页共 12 页 第 2 页,共 12 页- - 二,函数的概念 1,函数的定义： 设 A,B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数； 记作： y=fx , x A 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数

7、的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域 2,定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域； 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1 分式的分母不等于零； 2 偶次方根的被开方数不小于零； 3 对数式的真数必需大于零； 4 指数,对数式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 分都有意义的 x 的值组成的集合 . .那么,它的定义域是使各部 6 指数为零底不行以等于零；底数为 0 的指数不能为 0 和负数； ； 7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 .3,相同函数的

8、判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 定义域和对应关系一样 两点必需同时具备 4,值域 : 先考虑其定义域 1 观看法 2配方法 3 代换法 5,函数图象学问归纳 1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值 y 为 纵坐标的点 Px ,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐 标 x, y均中意函数关系 y=fx ,反过来,以中意 y=fx 的每一组有序实数对 x, y 为 坐标的点 x, y,均在 C 上 . 常用变换方法有四种 平移变换 ； 伸缩变换 ； 对称变换 ； 翻折变换 ； 6,映射 一般地,设

9、 A,B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集 合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称 对应 f：A 为从集合 到集合 的一个映射；记作“（对应关系）： （原象）B A B f A B（象）” 对于映射 f：AB 来说,就应中意： 1 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的； 第-3- 页共 12 页 第 3 页,共 12 页- - 2 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个； 3 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象； 7,分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同

10、的解析表达式的函数； 2 留意各部分的自变量的取值情形 3 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 4 要把各段连起来看单调性时要留意两点：,在定义域的各个范畴内的单调 性要保持一样,在定义域的各个范畴端点的函数值也要中意单调性； 8,补充：复合函数：假如 y=fuu M,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx A 称为 f,g 的复合函数； （1）复合函数求定义域内外函数都要中意； （2）复合函数求值域时可以分解成基础函数来求； （3）复合函数判定单调性可以用定义法和分解成基础函数用“同增异减”的原就 来判定； （4）复合函数的奇偶性可用定义法；如内函数为偶函数时该函数必

11、为偶函数； 9,函数的性质 , .函数的单调性 局部性质 （1）增函数：设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对定义域 I 内的某个区间 D 内的任意 两个自变量 x 1,x2,当 x 1x2 时,都有 fx 1 fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 . 假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx 1 fx 2 ,那 么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函

12、数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具 有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图 象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法： 1 2 3 4 5 任取 x1 ,x2D,且 x1 1,且 nN* 留意：（ 1）负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,记作 n00 ； 第-6- 页共 12 页 第 6 页,共 12 页- - （ 2）当 n 是奇数时, nan a,当 n 是偶数时, n a n | a | a a 0 a a 0 2,分数指数幂 （1）正数的分数指数幂的意义,规定： m a m n1 m 1 a 0, m,n

13、 N * , n 1 a nna m a 0,m, n N * , n 1 , a n n am 0,0 的负分数指数幂没有意义 0 的正分数指数幂等于 （2）实数指数幂的运算性质 （1） a ra r a r s a 0, r , s R ； ； （2） ar sa rs a a 0, r , s R （3） ab r0, r , s R a a rs3,指数函数及其性质 （1）,指数函数的概念：一般地,函数 ya x a 0,且 a 1 叫做指数函数,其中 x 1 是自变量,函数的定义域为 R 留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数,零和 （2）,指数函数的图象和性质 a1 定义域

14、 值 域 图 象 对称性 单调性 0 f x 1 1 f x 其 它 第-7- 页共 12 页 第 7 页,共 12 页- - 留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出： （1）在 a, b 上, f x a x a 0 且 a 1 值域是 f a, f b 或 f b, f a ； （2）如 x 0 ,就 f x 1 ； f x 取遍全部正数当且仅当 x R ； （3）对于指数函数 4,对数 f x ax a 0 且 a 1 ,总有 f 1 a ； （1）数的概念：一般地,假如 a x N a 0, a 1 ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 数,记作： x log N a（ a 底

15、数, N 真数, log Na 对数式） 说明：1 留意底数的限制 a 0 ,且 1； a 2 a x N logNx a ； 3 留意对数的书写格式 log N 留意重要对数： 1 常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 2 自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 ln N 指数式与对数式的互化 log N ab N a b 对数的运算性质 假如 a 0 ,且 a 1, M 0 , N 0 ,那么： log M log N 1 log a M N a a ； M log a2 N log a M log a N ； 3 log a M n n log Ma n R 留意：换底公式 l

16、og b log a b log c a（ a 0 ,且 a 1； c 0 ,且 c 1 ； b 0 ） 利用换底公式推导下面的结论 log m bn n log a b log a b 1 log b （1） a m ；（2） log a b （3）a a b 5,数函数 第-8- 页共 12 页 第 8 页,共 12 页- - 1 ,对数函数的概念：函数 ylog ax a 0 ,且 a 1 叫做对数函数,其中 x 是自变 量,函数的定义域是（ 0,+） 留意： 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如：x y log 5y 2log 2 x , 5 都不是对数函数,而

17、只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： a 0 ,且 a 1 2,对数函数的性质： a1 定义域 值 域 图 1 1象 0101对称性 单调性 f x 0 f x 0 其 它 6,幂函数 1,幂函数定义：一般地,形如 y x a R 的函数称为幂函数,其中 为常数 2,幂函数性质归纳 （1）全部的幂函数在（ 0, +）都有定义并且图象都过点（ 1, 1）； （2） 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 0, 上是增函数特别地, 当 1 时,幂函数的图象下凸；当 0 1 时,幂函数的图象上凸； （3） 0 时,幂函数的图象在区间 0, 上是减函数在第一象限内,当 x 从右 边趋向原

18、点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 时,图象在 第-9- 页共 12 页 第 9 页,共 12 页- - x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴 7,勾勾函数：形如 f x x a , a 0 的函数 x 定义域 值 域 图 象 奇偶性 f x 0 f x 0 单调性 公式应用： 1. 已知 a0 , a 3 0,函数 y=ax 与 y=loga-x 的图象只能是 2 log 2 log 2. 运算： 27 log 2 64 ; 24 log 3 2= 1 log 27 5 ; 5 1 7 0 23 4 16 0 .75 1 = 3 3 8 1 3. 函数 y=log

19、2 2x2-3x+1 的递减区间为 4.如函数 f x log x0 a a 1 在区间 a, 2a 上的最大值是最小值的 3倍,就 a= 1 x 5 已f xlog a 1 x a 0 且 a 1 ,（ 1）求 f x 的定义域（ 2）求使 f x 0的 x 的取值范畴 知 第-10- 页共 12 页 第 10 页,共 12 页- - 第三章 函数的应用 1,函数零点的概念： 对于函数 y f x x D ,把使 f x x 0 成立的实数 x 叫做函 数 y f x x D 的零点； 0 实数根,亦即函数 2,函数零点的意义：函数 y f x 的零点就是方程 f x y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标； 轴有交点 函数 y f x 即：方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 有零点 3,函数零点的求法： 1 （代数法）求方程 f x 0 的实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y f x 的图象联系 起来,并利用函数的性质找出零点 4,二次函数的零点： 二次函数 yax 2b