高中数学选修内容知识点归纳 2

1、更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂选修之 1 常用规律用语一、命题及其关系1.命题（1）用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句叫做 命题 . 其中判定为真的语句叫做 真命题 ,判定为假的语句叫做 假命题（2）对于“ 如 p,就 q” 形式的例题,p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论 .2.四种命题原命题：如p,就 q . qp,就称 p 是 q 的必要条件；逆命题：如q,就 p . （2）假如 q 成立时, p 肯定成立,即（3）假如既有pq,又有 qp,就 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. 三、简洁的规律联结词1.联结词及记号更多高中数学资料请关注微信公众号

2、：凌风笑数学学堂规律联结词M 中任意一个记号意义且p qp 且 q或p qp 或 q非p非 p（2）全称命题“ 对x,有 p x成立” 可用符号简记为读作“ 对任意x 属于 M ,有 p x成立”.xM,p x ,2.存在量词（1）短语“ 存在一个”、“ 至少有一个” 在规律中通常叫做存在量词 ,并用符号“”表示含有存在量词的命题,叫做特称命题注： 常见的存在量词仍有“ 有些”、“ 有一个” 、“ 对某个” 、“ 有的” 等 .（2）特称命题“ 存在 M 中的一个 x,使 p x成立” 可用符号简记为x M , p x ,读作“ 存在一个 x 属于 M ,使 p x成立”.3.含有一个量词的命

3、题的否定（1）全称命题p:xM,p x.否定pxM,p x.（2）特称命题p:xM,p x.否定pxM,p x.更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂选修之 2 圆锥曲线一、椭 圆 1.定义平面内与两个定点F 1,F 2 的距离的和等于常数（大于 F 1 F 2）的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2.标准方程（1）焦点在 x 轴上：x2y21.a2b2二、双曲线 1.定义 平面内与两个定点 F 1,F 2 的距离的差的肯定值等于常数（小于F 1 F 2）的点的轨迹 叫做 双曲线 . 这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫做双曲线的

4、 焦距2.标准方程（1）焦点在 x 轴上：x2y21.2+b 2.22ab（2）焦点在 y 轴上：y2x21.a2b2说明： 留意双曲线中c 为 a,b,c 中的最大数, c2=a更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂3.双曲线的简洁几何性质性质焦点在 x 轴焦点在 y 轴范畴xa 或 xaya 或 y a对称性关于 x 轴、 y 轴成轴对称,A 10 , B,A 20 , b 关于原点成中心对称.顶点A 1 a , 0,A2a , 0 渐近线ybxyaxab离心率ec aec a（3）开口向上： x2=2py.（4）开口向下： x2=2py.3.抛物线的简洁几何性质性质开口向左开口

5、向右开口向上开口向下范畴x0 x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点O0 , 0O0 , 0O0 , 0O0 , 0离心率e=1e=1e=1e=1焦点p,0p,00,p0,p2222准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂四、直线与圆锥曲线的位置关系1.交点（1）将直线与圆锥曲线的方程联立得到方程组,就方程组的解就是交点的坐标 . （2）消掉一个未知数后可得关于另一个未知数的一元二次方程,设此方程的判别式为,就有相交方程有两不同解 0；相切方程有两相同解 0；相离方程无实数解 0.2.弦长公式PM | p M ；（3）用坐标表示条件pM

6、,列出方程f x , y=0；（4）化方程 f x , y=0 为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上注： 化简前后方程的解集一般是相同的,步骤（5）可省略不写 . 假如有的点其坐标满足求出的方程,但该点不在方程的曲线上,肯定要留意排除步骤（2）有时也可省略.3.求轨迹方程的常用方法（1）标准方程法：如圆、椭圆、抛物线等都有标准方程,如能知道轨迹是何种曲线就可套用标准方程 . （2）待定系数法：有时标准方程中的参数不易直接运算求得,就可用待定系数法,即列方程（组）求之. P 与一条已知曲线f x , y=0 上的点 Q 有联系,就可先找出（3）代入法：如一个动点更多高中数

7、学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂P x , y,Qx 1 , y1的坐标之间的关系x11x y,然后代入 f x1 , y1=0 即可求出 P 的轨迹y 12x y , ,方程 f 1x,y , 2x,y=0.选修之 3 推理与证明一、推 理1.合情推理1由某类事物的部分对象具有某些特点,推出该类事物的全部对象都具有这些特点的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理 简称归纳 2由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理称为类比推理 简称类比 类比推理是由特别到特点的推理 . 要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 . 2.分

8、析法从要证明的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最终把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件、定理、更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂定义、公理等 为止这种证明方法叫做分析法 . 3.反证法假没原命题不成立,经过正确的推理,最终得出冲突,因此说明假设错误,从而证明白原命题成立,这样的证明方法叫做反证法 . 4.数学归纳法 理科 证明一个与正整数 n 有关的例题,可按下面步骤进行：1归纳奠基 证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；2归纳递推 假设 nkkn0,kN* 时命题成立,证明当n=k+1 时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以肯定命题对从n0 开头的

9、全部正整数n 都成立 .这种证明方法叫做数学归纳法. 选修之 4复数1.复数的概念（1）虚数单位： i2= 1.（2）形如 a+bi 的数叫复数,其中 a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部 （3）复数 a+bi 当且仅当 b=0 为实数,当且仅当 b 0时为虚数,当且仅当 a=0,b 0时为纯虚数,当且仅当 a=b=0 时为 02.复数相等的条件a+bi=c+di a=c,且 b=d .复数一般不能比较大小,当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小 .3.复数的模及共扼复数数加法、乘法满意实数运算的全部运算律 然成立.实数的整数指数幂的运算性质在复数集中仍注： 在复数集中,分数指数幂的运算性质不再

10、成立；中学阶段不讨论复数的开方；一般地, |a|2a2.更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂选修之 5 统计案例 一、回来分析 1.线性回来分析（1）函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系回来分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法（2）线性回来分析： 方法是画散点图, 求回来直线方程, 并用回来直线方程进行预报其回来方程的截距和斜率的最小二乘估量公式分别为：回来模型中, R2表示说明变量对于预报变量变化的奉献率R2越接近于 1,表示回来的成效越好假如对某组数据可能实行几种不同的回来方程进行回来分析,也可以通过比较几个 R 2,挑选 R2 大的模型作

11、为这组数据的模型说明： r 只能用于线性模型,R2就可用于任一种模型. 对线性回来模型来说,2 R2 r .二、独立性检验1.基本概念（1）对于性别变量,其取值为男和女两种这种变量的不同“ 值” 表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量 x , y 1和y , y 2其样本频数列（2）假设有两个分类变量X 和 Y,它们的值域分别为联表称为 22 列联表：更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂x1 y1 y2 总计a b abx2 c d cd总计ac bd a bcd（ 3）构造随机变量K2aabbccddaadbc2,这种方法称为cbd利用 K2的大小可以确定在多大程度上可以

12、认为“ 两个分类变量有关系”如：假如 k7.879,就有 99.5的把握认为“X 与 Y 有关系”. 选修之 6 导数及其应用一、变化率与导数1.变化率式子 f x 2 f x 1 叫做函数 f x从 x 1 到 x 2的平均变化率 . 记 x =x2x 1, y=f x 2x 2 x 1f x 1,就平均变化率可表示为 yx.2.导数定义函数 y= f x在 x=x 0处的瞬时变化率lim x 0 xy x.称为函数 y= f x在 x = x0 处的导数,记作f x0或 y | x = x 0,即f0+xf x0.fxlim x0 x更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂（3）s

13、in x =cosx（4）cos x =sin x（5）ax = axlnax1a（6）ex = ex（7）logaxln（8）lnx1x2.求导法就（1）fx gx =f x g x（2）fx gx =f xgx+fxg x （3）fxgx =f xgxfxg x gx 2（4）Cfx =Cf x（C 为常数）3.复合函数的导数（理科）（1）复合函数：对于两个函数y= f u和 u= g x,假如通过变量u,y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y f u和 u = g x的复合函数,记作y = f gx（2）复合函数求导法就：y x y u u x 即 y 对 x 的导数等于 y

14、对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积三、导数的应用1.单调性与导数（1）在某个区间 a , b内,假如 f x 0,且 f x=0 仅在一些孤立点上成立,那么函数 y=f x在a , b内单调递增；假如 y=f x在 a , b内单调递减 .f x0,且 f x=0 仅在一些孤立点上成立,那么函数（2）用导数单调区间：求 f x；解不等式 f x0,可得 f x的单调递增区间,解不等式 f x0,可得 f x的单调递减区间（留意定义域）.更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂留意： 上述定理的逆命题不成立 . （3）求函数的极值的方法求函数 y= f x在区间 a , b上的最

15、值的步骤如下：解方程 f x=0；当 f x0=0 时,假如在 x 0 邻近的左侧 f x0,右侧 f x0,那么 f x0是极大值；假如在 x 0邻近的左侧 f x0,那么 f x0是微小值 （4）求函数的最值的方法求函数 y= f x在a , b内的极值；将函数 y= f x的各极值与端点处的函数值 最小的一个是最小值f a,f b比较,其中最大的一个是最大值,四、定积分（理科）1.定积分的概念函数 f x在区间 a , b上连续,用分点a=x0 x 1 x i1xi x n=b将区间 a , b等分成 n 个小区间,在每个小区间x i1 , x i上任取一点ii=1,2, ,n,作和式n

16、 nf i x b a f i ,i 1 i 1 n当 n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f x在区间 a , b上的定积b分,记作 af x d x ,即a bf x d x lim n i n1 bn a f i ,这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a , b叫做积分区间,函数 f x叫做被积函数, x 叫做积分变量,f xdx 叫做被积式更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂由 y= f x,x=a,x=b 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为Sbf x d .a注：对于稍复杂些的图形的面积,的和或差 .（2）求变速直线运动的路程位移：sbv t

17、 dta可通过向 x 轴作垂线, 转化为求几个曲边梯形的面积路程：sbv t d t,其中 vt表示速率 .a（3）变力作功WbF x dx ,其中 F x表示变力 .a选修之 7空间向量与立体几何（理科）一、空间向量及其运算空间向量的有关概念及运算与平面对量形式上完全相同,只是由平面拓展到空间 .下面仅列举空间向量特有的内容 . （1）平行于同一个平面的向量,叫做共面对量 .（2）向量共面的条件：假如两个向量 a, b 不共线,那么向量 p 与 a,b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 x , y,使p=xa+yb. 更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂cosa ba ba

18、1 2a b 1 1a b 2b 1 2a b 3b 3 2.a ba2 2a 3 2b 2 2二、立体几何中的向量方法1.用向量解决立体几何问题的一般步骤（1）建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算,讨论点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译 ” 成相应的几何意义2.用向量解决的几类立体几何问题（1）证明平行或垂直线线平行：证明直线的方向向量平行 .线线垂直：证明直线的方向向量垂直 .线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 .线面垂直：证明直线的方向向量与

19、平面的法向量平行 .面面平行：证明两平面的法向量平行 .面面垂直：证明两平面的法向量垂直 .（2）运算距离点到平面的距离：设 v 是平面 的法向量, P 为 外一点, A 为 内任一点, P 到平更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂二面角：求两平面法向量的平角,二面角的大小可能是,也可能是180 ,可结合图形或其他条件确定 .选修之 81.加法原理排列组合与二项式定理（理科）一、计数原理完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有m 种不同的方法, 在第 2 类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有N m n 种不同的方法2.乘法原理完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m

20、种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法,更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂（3）排列数的运算m A nn n2nm1nn.m. m A nn.1 2 3n . 0.1 2.组合（1）从 n 个不同元素中取出mmn个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个 组合 （2）从 n 个不同元素中取出mmn个元素的全部不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号Cm表示n（3）组合数的运算m C nm A nn n1n2nm1n.m . m A nm.m. n（4）组合数的性质m n m C n C n .m m m 1 C n 1 C n

21、C n .注：排列与的区分： 排列有次序, 组合无次序 . 一种简便的判定方法是,任取一种情形,交换其中两个元素,假如变成了另一种情形,就是排列, 假如仍是同一种情形或变成了一种不行能的情形,就是组合 . 更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂两项的二项式系数相等,且同时取得最大值（3）各二项式系数的和C0C1CkCm2n. n C ,而某一项的系数包含其他常数,要留意二nnnn注： 二项式系数指的是0 C ,1 C ,者的区分 . 选修之 9 随机变量及其分布（理科）一、离散型随机变量及其分布1.基本概念（1）随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 .（2）全部取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 . 2.分布列（1）如离散型随机变量 X 可能取的不同值为x1,x2, ,x i, ,x n,X 取每一个值 xi i=1,2, ,n的概率 P X=x i=pi,以表格的形式表示如下：更多高中数学资料请关注微信公众号：凌风笑数学学堂（1）定义：设A,B 为两个大事,假如P AB =