高中数学竞赛教材讲义立体几何

1、第十二章立体几何一,基础学问公理1 一条直线；上假如有两个不同的点在平面；内就这条直线在 这个平面内,记作：a a公理2 两个平面假如有一个公共点,就有且只有一条通过这个点的公共直线,即如P,就存在唯独的直线m,使得 =m,且P m；公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面；即不共线的三点确定一个平面推论l直线与直线外一点确定一个平面推论2两条相交直线确定一个平面推论3两条平行直线确定一个平面公理4在空间内,平行于同始终线的两条直线平行定义1异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过90 的角叫做两

2、条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行 线与平面平行 统称直线在平面外 直线与平面没有公共点叫做直定义3 直线与平面垂直：假如直线与平面内的每一条直线都垂直,就第 1 页,共 17 页直线与这个平面垂直定理1 假如一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,就直线与平面 垂直定理2两条直线垂直于同一个平面,就这两条直线平行定理3如两条平行线中的一条与一个平面垂直,就另一条也和这个平面垂直定理4 平面外一点到平面的垂线段的

3、长度叫做点到平面的距离,如一 条直线与平面平行,就直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离 叫做直线与平面的距离定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线 上每一点向平面引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影全部这样的 射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的 射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内全部直线成角中最小的角定理4 三垂线定理 如d 为平面；的一条斜线,b 为它在平面a 内的 射影,c 为平面a 内的一条直线,如c b,就c a逆定理：如c a,就c b定理5 直线d 是平面a 外一条直线,如它与平面内一条直线b 平

4、行,就它与平面a 平行 定理6 如直线；与平面 平行,平面 经过直线a 且与平面a 交于直 线6,就a/b 结论2 如直线；与平面 和平面 都平行,且平面 与平面 相交于第 2 页,共 17 页b,就a/b 定理7 等角定理 假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行且 方向相同,就两个角相等定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平 行,否就即相交定理 8 平面a 内有两条相交直线a,b 都与平面 平行,就 / . 定理 9 平面 与平面 平行,平面 =a, =b,就 a/b 定义 7 二面角 ,经过同一条直线m 的两个半平面 , 包括直线m,称为二面角的棱 所组成的图形叫二

5、面角,记作 m,也可记为 A m 一B, AB 等过棱上任意一点P 在两个半平面内分别作棱的垂线AP,BP,就APB 90 叫做二面角的平面角它的取值范畴是0 , 特别地,如APB90,就称为直二面角,此时平面与平面的位置关系 称为垂直,即 . 定理 10 假如一个平面经过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直定理 11 假如两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理12 假如两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义8 有两个面相互平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边 称为侧棱 都相互平行,由这些面所围成的几 何体叫做

6、棱柱两个相互平行的面叫做底面假如底面是平行四边形第 3 页,共 17 页就叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边 形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相 等的正四棱柱叫正方体定义9 有一个面是多边形 这个面称为底面 ,其余各面是一个有公共 顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形,顶点在底面的射影 是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理13 凸多面体的欧拉定理 设多面体的顶点数为V,棱数为E,面 数为F,就 V+F-E=2定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球 面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径,定点叫做球心定理14 假如球心到平面的距

7、离d 小于半径R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,圆心与球心的连线与截面垂直设截面半径为r ,就 2 2 2d +r R过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在 两点间劣弧的长度叫两点间球面距离定义11 经度和纬度 用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截 面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周 以两极为端点 叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在的 半平面所成的二面角叫做经度,依据位置不同又分东经和西经定理15 祖 原理 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于 这两个平面的任意平面所截,假如截

8、得的两个截面的面积总相等,那第 4 页,共 17 页么这两个几何体的体积相等. 定理16 三面角定理 从空间一点动身的不在同一个平面内的三条射 线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于0360 定理17 （面积公式）如一个球的半径为R,就它的表面积为S 球面=4 R；如一个圆锥的母线长为 l ,底面半径为r ,就它的侧面积S 侧= rl. 定理18 （体积公式）半径为R的球的体积为V 球= 4 3R 3 ；如棱柱（或圆柱）的底面积为s,高h,就它的体积为V=sh；如棱锥（或圆锥）的底面积为s,高为h,就它的体积为V=1 sh. 3定理19 如图12-1 所示,四周体ABCD中

9、,记BDC=,ADC=,ADB=,BAC=A,ABC=B,ACB=C；DH H；（1）射影定理：S ABD.cos =S ABH,其中二面角平面ABC于 D AB H 为 ；（2）正弦定理：sin sin sin . sin C sin A sin B （3）余弦定理：cos=coscos+sin sin cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos . （4）四周体的体积公式V 1DH.S ABC 3= 1 abc 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos 61 aa 1 d sin （其中d 是a1, a 之间的距离,是它们的夹角）63a S

10、ABD.S ACD.sin 其中 为二面角 2 B AD C 的平面角 ；二,方法与例题1公理的应用；第 5 页,共 17 页例1 直线a,b,c 都与直线d 相交,且a/b,c/b 面；,求证：a,b,c,d 共 证明 设d 与a,b,c 分别交于A,B,C, 由于b 与d 相交,两者确定一个平面,设为a. 又由于a/b ,所以两者也确定一个平面,记为 ；因为A,所以 A,由于 Bb,所以B,所以 d . 又过b,d 的平面是唯独的,所以 , 是同一个平面,所以 a . 同理c . 即a,b,c,d 共面；例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？ 解 充要条件；先证充分性,设

11、图 12-2 中PQRSTK 是长方体ABCD-A 1B1C1D1的正六边形截面,延长PQ,SR设交点 O,由于直线SR 为平面CC1D1D,又O直线SR,所以O平面CC1D1D,又由于直线PQ 平面A1B1C1D1,又O直线PQ,所以O平面A1B1C1D1；所以O直线C1D1,由正六边形性质知,ORQ= OQR=60,所以 ORQ为正三角形,由于CD/C1D1,所以 CR SR =1；所以R 是CC1中点,同理Q 是B1C1的中C1 R RO 点,又 ORC 1 OQC 1,所以C1R=C 1Q,所以CC 1=C1B1,同理CD=C1C,所以该长方体为正方体；充分性得证；必要性留给读者自己证

12、明；2异面直线的相关问题；例3 正方体的12 条棱互为异面直线的有多少对？ 解 每条棱与另外的四条棱成异面直线,重复计数一共有异面直线12 4=48 对,而每一对异面直线被运算两次,因此一共有 48 24 对；2例4见图12-3,正方体,ABCDA1B1C1D1棱长为1,求面对角线A1C1与AB1所成的角；第 6 页,共 17 页 解 连结AC,B1C,由于A1A/ B1B/ C1C,所以A1A/ C1C,所以A1ACC 1为平行四边形,所以A1C1/ AC；所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角,由正方体的性质0 0AB1=B1C=AC,所以B1AC=60；所以A1C1与AB1

13、所成角为60；3平行与垂直的论证；例5 A ,B,C,D 是空间四点,且四边形ABCD 四个角都是直角,求证：四边形ABCD 是矩形； 证明 如ABCD 是平行四边形,就它是矩形；如ABCD 不共面,设过A,B,C 的平面为 ,过D 作 于D1,见图12-4,连结AD1,CD1,因DD1为AB AD1,又由于DD 平面 ,又AB ,所以DD1 AB,所以AB 平面ADD 1,所以AB AD1；同理BCCD1,所以ABCD 1为矩形,所以AD1C=90,但AD1AD,CD 1CD,所以 AD+CD=AC= AD 2 2 212CD 12,与 AD 12CD 12AD 2+CD 2冲突；所以ABC

14、D 是平面四边形,所以它是矩形；例6 一个四周体有两个底面上的高线相交；证明：它的另两条高线也相交； 证明 见图12-5,设四周体ABCD的高线AE 与BF 相交于O,由于AE 平面BCD,所以AE CD,BF 平面ACD,所以BF CD,所以CD 平面ABO,所以CD AB；设四周体另两条高分别为CM,DN,连结CN,由于DN平面ABC,所以DN AB,又AB CD,所以AB 平面CDN,所以AB CN；设CN 交AB 于P,连结PD,作CM PD 于M ,由 于AB 平面CDN,所以AB CM ,所以CM 平面ABD,即CM 为四周体的高,所以CM 与CM 重合,所 以CM,DN为 PCD

15、的两条高,所以两者相 交；第 7 页,共 17 页例7 在矩形ABCD中,AD=2AB,E 是AD中点,沿BE 将 ABE折起,并使AC=AD,见图12-6；求证：平面ABE 平面BCDE； 证明 取BE 中点O,CD中点M,连结AO,OM,OD,OC,就OM/BC,又CD BC,所以OM CD；又由于AC=AD,所以AM CD,所以CD平面AOM,所以AO CD；又由于AB=AE,所以AO BE；由于EDBC,所以BE 与CD不平行,所以BE 与CD是两条相交直线；所以AO 平面BC-DE；又直线AO 平面ABE；所以平面ABE 平面BCDE；4直线与平面成角问题；例8 见图12-7 ,正方

16、形ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 的中点,G 为0BF 的中点,将正方形沿EF 折成120 的二面角,求AG 和平面EBCF所成的角； 解 设边长AB=2,由于EF/ AD,又 AD AB；所以EF AB,所以BG= BF 1 1 5 ,又AE EF,BE EF,所以AEB=120；过A 作AM BE 02 2于M,就AEM=60,ME=1 AE 1,AM=AEsin60= 0 3 . 由余弦定理2 2 22 2MG=BM+BG-2BM.BGcosMBG= 3 52 3 5 1 9 5 32 2 2 3 5 4 4 2=2,所以MG= 2 . 由于EF AE,EF BE,所以EF 平面

17、AEB,所以EF AM,又AM BE,所以AM 平面BCE；所以AGM为AG与平面EBCF所成的角；36；所以AG 与平面EBCF 所成的角为6. 而tan AGM=2 244arctan 例9 见图12-8 ,OA 是平面 的一条斜 角,AB 于B,C 在 内,且AC OC,AOC= ,AOB=,BOC= ；证明：cos=cos.cos. 第 8 页,共 17 页 证明 由于AB ,AC OC,所以由三垂线定理,BC OC,所以OAcos =OB,OBcos =OC,又 RtOAC 中,OAcos=OC,所以 OAcoscos =OAcos,所以 cos=cos.cos. 5二面角问题；0

18、0例10 见图12-9 ,设S 为平面ABC 外一点,ASB=45,CSB=60,二面角A SBC 为直角二面角,求 ASC 的余弦值； 解 作CM SB 于M,MN AS 于N,连结CN,由于二面角A SB C为直二面角,所以平面ASB 平面BSC；又CM SB,所以CM平面ASB,又MN AS,所以由三垂线定理的逆定理有CN AS,所以SC.cosCSN=SN=SC.cosCSM.cos ASB,所以cosASC=cos45cos60 = 2；4例11 见图12-10 ,已知直角 ABC 的两条直角 AC=2,BC=3,P 为斜边边AB 上一点,沿CP 将此三角形折成直二面 A CP B,

19、当AB= 7 时,角求二面角P AC B 的大小； 解 过P 作PD AC 于D,作PE CP 交BC 于E,连结DE,由于A CP B 为直二面角,即平面ACP 平面CPB,所以PE 平面ACP,又PD CA,所以由三垂线定理知DE AC,所以PDE为二面角PACB 的平面角；0设BCP=,就cosECD=cos .cos90 - =sincos,由余弦定2 理cosACB= 22 3721 ,所以sin cos= 1,所以sin2 =1. 22322a,PE=a. 所以tan 又02 ,所以 = ,设 4CP=a,就PD= 22PDE= PE PD 2. 所以二面角PACB 的大小为arc

20、tan 2；第 9 页,共 17 页6距离问题；例12 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,求对角线AC 与BC1的距 离；1BB1 解 以B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示；设P,Q 分别是BC1,CA上的点,且BP 1 BC 1 ,CQ 1 CA ,各点,各向量的坐标分别为3 3Aa,0,0,B0,0,0,C0,a,0 ,PQ BQ BP BC 1CA 1BC1 BC 1BA 1BC 1BC 1BB1 1BC 1BA 3333333331 1 a, a, 3 3 1a , 所以| PQ | 3a,所以PQ BC1 1a a+ 1 3a a=0, 333PQ CA 1a

21、a- 1 3a a=0. 所以PQ BC1 , PQ BC1CA；所以PQ为AC 与3的公垂线段,所以两者距离为3a. 3例13 如图12-12 所示,在三棱维S ABC 中,底面是边长 为4 2 的正三角形,棱SC 的长为2,且垂直于底面,E,D 分别是BC,AB 的中点,求CD 与SE 间的距离； 分析 取BD 中点F,就EF/CD,从而CD/ 平面SEF,要求CD 与SE 间的距离就转化为求点C 到平面SEF 间的距离； 解 设此距离为h,就由体积公式运算可得S SEF=3,S CEF 3. 所以h 2 3 . 37凸多面体的欧拉公式；例14 一个凸多面体有32 个面,每个面或是三角形或

22、是五边形,对于V 个顶点每个顶点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求100P+10T+V； 解 因F=32,所以32-E+V=2,所以E=V+30；由于T+P 个面相交于 每第 10 页,共 17 页个顶点,每个顶点动身有T+P 条棱,所以2E=VT+P. 由此得VT+P=2V+30 ,即VT+P-2=60. 由于每个三角形面有三条棱,故三角形面有VT 个,类似地,五边形有VP 个,又由于每个面或者是三角形3 5或者是五边形,所以 V T P =32,由此可得3T+5P=16,它的唯独正整3 5数解为T=P=2,代入VT+P-2=60 得V=30,所以100P+10T+V25；8与球

23、有关的问题；例15 圆柱直径为4R,高为22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个？ 解 最底层恰好能放两个球,设为球O1和球O2,两者相切,同时与圆柱相切,在球O1与球O2上放球O3与球O4,使O1O2与O3O4相垂直,且这4 个球任两个相外切,同样在球O3与球O4上放球O5与球O6,直到不能再放为止；先运算过R2O3O4与过O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为2 3R 2R；设共装K 层,就22- 2 Rh. 证明 不妨设A 到面BCD 的高线长AH=h,AC与BD 间的距离 为d,作AF BD 于点F,CNBD 于点N,就CN/HF,在面BCD内作矩形CNFE,连AE,由于BD

24、/CE,所以BD/ 平面ACE,所以BD 到面ACE 的距离为BD与AC间的距离d；在 AEF 中,AH为边EF 上的高,AE 边上的高FG=d,作EM AF 于M,就由EC/ 平面ABD 知,EM 为点C 到面ABD 的距离（因EM 面ABD）,于是EM AH=h；在RtEMF与Rt AHF 中,由EM AH得EF AF；又由于 AEH FEG,所以hAH AE AF EF 2；所dFG EF EF 以2dh. 注：在前面例题中除用到教材中的公理,定理外,仍用到了向量法,体积法,射影法,请读者在解题中认真总结；三,基础训练题1正三角形ABC 的边长 为个. 4,到A,B,C 的距离都是1 的

25、平面有2空间中有四个点E,F,G,H,命题甲：E,F,G,H 不共面；命题第 12 页,共 17 页乙：直线EF 和GH 不相交,就甲是乙 的条件；3动点P 从棱长为a 的正方体的一个顶点动身,沿棱运动,每条棱至多经过一次,就点P 运动的最大距离为；+ 4正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是面ADD 1A1,面ABCD的中心,G 为棱CC1中点,直 线C1E,GF 与AB 所成的角分别是 ,；就 =；5如a,b 为两条异面直线,过空间一点 个；O 与a,b 都平行的平面有6CD是直角 ABC斜边AB 上的高,BD=2AD,将 ACD绕CD旋转使 二0 面角ACD B 为60 ,就

26、异面直线AC 与BD 所成的角为；7已知PA 平面ABC,AB 是O 的直径,C 是圆周上一点且AC=1AB,2就二面角A PC B 的大小为；. . 8平面 上有一个 ABC,ABC=105,AC=262 ,平面 两侧各有一点S,T,使得SA=SB=SC=41,TA=TB=TC=,5就ST= 9在三棱锥S ABC 中,底面ABC,二面角A SB C 为直二面 SA 角,如BSC=45,SB=a,就经过A,B,C,S 的球的半径为10空间某点到棱长为1的正四周体顶点距离之和的最小值为. 11异面直线a,b 中意a/ ,b/ ,b/ ,a/ ,求证： / ；12四周体SABC 中,SA,SB,S

27、C 两两垂 直,ABC, SBC, SCA, SAB的面积,求证：S0,S1,S2,S3分别表示2 S 2 S 2 S S 2. 13正三棱柱ABCA1B1C1中,E 在棱BB1上,截面A1EC侧面AA1C1C,（1）第 13 页,共 17 页求证：BE=EB 1；（2）如AA1=A1B1,求二面角EC-A1-B 1C1的平面角；四,高考水平训练题1三棱柱ABC-A 1B1C1中,M 为A1B1的中点,N为B1C与BC 1的交点,平面AMN交B1C1于P,就B P = . PC1 2. 空间四边形ABCD中,AD=1,BC= 3,且 ADBC,BD= 13 ,AC= 2 3 ,2就AC 与BD

28、 所成的角为. 3平面 平面 , =直线AB,点C,点D,BAC=45,00BAD=60,且CD AB,就直线AB与平面ACD所成的角为. 4 单位正方体ABCD A1B1C1D1中,二面角A BD1 B1大小为. 5如图12-13 所示,平行四边形ABCD的顶点A 在二面角 MN 的棱MN 上,点B,C,D 都在 上,且AB=2AD,DAN=45,BAD=60,如ABCD 在半平面 上射影为为菜,就二面角 MN = . 6已知异面直线a,b 成角为 ,点M,A 在a 上,点N,B 在b 上,MN 为公垂线,且MN=d,MA=m,NB=n；就AB 的长度为. 7已知正三棱锥S ABC 侧棱长

29、为4,ASB=45,过点A 作截面与侧棱SB,SC分别交于M,N,就截面 AMN 周长的最小值为. 8l 1 与l 2 为两条异面直线,l 1 上两点A,B 到l 2 的距离分别为a,b ,二面角Al2B 大小为 ,就l 1 与l 2 之间的距离为. 9在半径为R 的球O 上一点P 引三条两两垂直的弦PA,PB,PC,就第 14 页,共 17 页PA+PB+PC= . 10过 ABC 的顶点向平面 引垂 线就BAC与B1A1C1的大小关系是AA1,BB1,CC 1,点A1,B1,C1,. 0 0 011三棱锥ABCD中ACB=ADB=90,ABC=60,BAD=45,二面角A CD B 为直角

30、二面角；（1）求直线AC 与平面ABD 所成的角；（2）如M 为BC 中点,E 为BD 中点,求 AM与CE 所成的角；（3）二面角 M AE B 的大小；12四棱锥P ABCD 底面是边长 为4的正方形,PD底面ABCD,PD=6,M,N 分别是PB,AB 的中点,（1）求二面 角MDNC 的大小；（2）求异面直线CD 与MN 的距 离；13三棱锥SABC 中,侧棱SA,SB,SC 两两相互垂直,M 为 ABC 的重心,D 为AB 中点,作与SC 平行的直 线DP,证明：（1）DP 与SM相 交；（2）设DP 与SM 的交点为D,就D 为三棱锥S ABC 外接球球 心；五,联赛一试水平训练题

31、1现有边长分别为3,4,5 的三角形两个,边长分别为4,5,41 的三角形四个,边长分别为52 ,4,5 的三角形六个,用上述三角形为6面,可以拼成个四周体；2一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数m ,那么 nmn=；3已知三个平面 , 每两个平面之间的夹角都是02,第 15 页,共 17 页且=a, b, c ,命题甲：3；命题乙：a,b,c 相交于一点；就甲是乙的条件；4棱锥M ABCD 的底面是正方形,且MA AB,假如 AMD 的面积为1,就能放入这个棱锥的最大球的半径为. 5将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个全部二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱长为2,就最远两个顶点间距离为；6空间三条直线a,b,c 两两成异面直线