高中数学平面向量知识点归纳总结

1、高中数学平面对量学问点总结 平面对量学问点总结 第一部分 :向量的概念与加减运算 一向量的概念 : ,向量与实数的积的运算； 1 向量 :向量就是既有大小又有方向的量叫向量； 2 向量的表示方法 : 1 几何表示法 : 点射线 有向线段具有确定方向的线段 有向线段的三要素 : 起 点,方向,长度 记作 留意起讫 2 字母表示法 : AB 可表示为 a 3,模的概念 :向量 AB 的大小长度称为向量的模； 记作:| AB | 模就是可以比较大小的 4,两个特别的向量 : 1 零向量长度 模为 0 的向量 ,记作 0 ； 0 的方向就是任意的； 留意 0 与 0 的区分 2 单位向量长度 模为 1

2、 个单位长度的向量叫做单位向量； 二 向量间的关系 : 1平行向量 :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量； 记作: a b c ab规定: 0 与任一向量平行 c 2 相等向量 :长度相等且方向相同的向量叫做相等向量； 记作: a = b 规定: 0 = 0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示 ,与起点无关； 3 共线向量 :任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量； 三向量的加法 : 1.定义 :求两个向量的与的运算 ,叫做向量的加法； 留意 :;两个向量的与仍旧就是向量 简称与向量 2.三角形法就 : aab a C b强调 : b a+ b aa+ b 1“

3、向量平移” 自由向量 :使前一个向量的终点为后一个向 a+量b的起点 A 2 可以推广到 n 个向量连加 A B C C A B 3a 0 0a a B 第 1 页,共 7 页高中数学平面对量学问点总结 4 不共线向量都可以接受这种法就三角形法就 3,加法的交换律与平行四边形法就 1向量加法的平行四边形法就 三角形法就 : 2向量加法的交换律 : a + b = b + a 3向量加法的结合律 : a + b + c = a + b +c 4,向量加法作图 :两个向量相加的与向量 末端； 四向量的减法 : 1, 用“相反向量”定义向量的减法 ,箭头 就是由始向量始端指向终向量 1“相反向量”的

4、定义 :与 a 长度相同,方向相反的向量；记作 a2规定 :零向量的相反向量仍就是零向量； a = a 任一向量与它的相反向量的与就是零向量； a + a = 0 假如 a, b 互为相反向量 ,就 a = b, b = a, a + b = 0 3向量减法的定义 :向量 a 加上的 b 相反向量 ,叫做 a 与 b 的差； 即:a b = a + b 求两个向量差的运算叫做向量的减法； 2,用加法的逆运算定义向量的减法 : 向量的减法就是向量加法的逆运算 : 如 b + x = a,就 x 叫做 a 与 b 的差 ,记作 a b3,向量减法做图 : AB 表示 a b；强调 :差向量“箭头”

5、指向被减数 总结 :1 向量的概念 :定义,表示法,模,零向量,单位向量,平行向量, 相等向量,共线向量 2 向量的加法与减法 :定义,三角形法就,平行四边形法就,运算定律 五: 实数与向量的积 强调 :“模”与“方向”两点 1,实数与向量的积 实数 与向 a 的积,记作: a 定义 :实数 与向量 a 的积就是一个向量 ,记作 : 量 a 1 | a |=| |a | 2 0 时 a 与 a 方向相同 ;0内分 P P 2 P1 P外分 0 -1 P1 P 2 外分 0 -10 内分 0 外分 -1 如 P 与 P1 重合 , =0 不存 P 与 P2 重合 在 2中点公式就是定比分点公式的

6、特例 3始点终点很重要 ,如 P 分 P1P2的定比 = 4公式 :如 x1, x2, x, 知三求一 1就 P 分 P2P1的定比 =2 2十.平面对量的数量积及运算律 一平面对量数量积 1定义 :平面对量数量积 内积的定义 ,a b = |a|b|cos , 并规定 0 与任何向量的数量积为 0； 2向量夹角的概念 :范畴 0 180 CA AC A B 3留意的=几0个问题 ;两A 个向量的数量积与向量同实数积有很大区准备； 分 1O两个向= 180 B 量的A数量积就是一个O实数 ,不就是向量 ,符号由B B O cos 的符号所 2 两个向量的A数量积称为内积 ,写成 B O O B

7、 a b;今后要学到两个向量的外积 O a b,而 ab 就是两个数量的积 ,书写时要严格区分； 第 4 页,共 7 页高中数学平面对量学问点总结 3 在实数中 ,如 a 0,且 a b=0,就 b=0;但就是在数量积中 ,如 a 0,且 a b=0, 不能推出 b=0；由于其中 cos 有可能为 0；这就得性质 2； 4 已知实数 a,b,cb 0,就 ab=bc a=c ；但就是 a b = b c a = c 如右图 :a b = |a|b|cos = |b|OA| b c = |b|c|cos = |b|OA| ac ab=bc 但 a c 5 在实数中 ,有a bc = ab c,但

8、就是 a bc ab c O b A 明显 ,这就是由于左端就是与 c 共线的向量 ,而右端就是与 a 共线的量,而一般 a 与 c 不共线； 向 （二）投影的概念及两个向量的数量积的性质 : 1.“投影”的概念 :作图 B B B 定义 :|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影； O O O 留意 :1b 投影也就是一个数量 ,不就是b向 b量； 2当 为锐角时投影为正值 ; O O a 当 为钝角时投影为负值 当B1 为直角时投影为 0; 当 = 0时投影为 |bO|; A B1 ; O O a A O O B 1 O a A O = 180 时投影为 |b|； 当 2.向量的数

9、量积的几何意义 : 数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积； 3.两个向量的数量积的性质 : 设 a, b 为两个非零向量 ,e 就是与 b 同向的单位向量； 1 2 3e a = a e =|a|cos aba b = 0 当 a 与 b 同向时 ,a b = |a|b|;当 a 与 b 反向时 ,a b = |a|b|； 特别的 a a = |a| 2 或 | a | a a a b 4 cos = | a | b | 十一, 5 |a b| |a|b| 平面对量的数量积的运算律 1. 交换律 :a b = b a 2. 结合律 : a b = a

10、 b = a b 3. 支配律 :a + b c = a c + b c 十二, 平面对量的数量积的坐标表示 1,设 a = x1, y1,b = x2, y2,x 轴上单位向量 j i = 0 2,a b = x1x2 + y1y2 3,长度,角度,垂直的坐标表示 i ,y 轴上单位向量 j ,就:i i = 1,j j = 1,i j = 1 a = x, y |a|2 = x2 + y2|a| = x2 y 2 第 5 页,共 7 页高中数学平面对量学问点总结 2如 A = x1, y1,B = x2, y2,就 AB = x 1 x 2 2 y y 2 2 3cos = | a | a

11、 b| b | x 1 2 x1 x 2 y 2 y1 y2 x 2 2y 2 24a b a b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0留意与向量共线的坐标表示原就 十三,平移 一,平移的概念 :点的位置,图形的位置转变 ,而形状,大小没有转变 ,从而导致 函数的解析式也随着转变；这个过程称做图形的平移； 作图,讲解 一个 平移实质上就是一个向量 二,平移公式 :设 PP = h, k,即: OP OP PP h 平移公式 x y x xy, =x, y + h, k y k 三,留意 :1 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2 知二求一 3 这个公式就是坐标系不动 ,点 Px,

12、y按向量 a = h, k平移到点 Px ,y；另一种平移就是 :点不动 , 把坐标系平移向量 a, 即: x x h；这两种变换使点在坐标系中的相对位置就是一 k y y 样的 , 这两个公式作用就是一样的； 十四, 正弦定理 1 正弦定理的表达 :在一个三角形中；各边与它所对角的正弦比相等 公式即 : a = b = c 它适合于任何三角形； sin A sin B sin C 2 可以证明 a = b = c =2R R 为 ABC 外接圆半径 sin A sin B sin C 3每个等式可视为一个方程 :知三求一 从理论上正弦定理可解决两类问题 : 1.两角与任意一边 ,求其它两边与一角 ; 2.两边与其中一边对角 ,求另一边的对角 ,进而可求其它的边与角； 十五, 余弦定理 1.余弦定理语言描述 :三角形任何一边的平方等于其它两边平方的与减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍； 2, a 2 余弦定理公式 : b2 c 2 2bc cos A b2a22 c 2ac cos B 第 6 页,共 7 页高中数学平面对量学问点总结 c 2 a 2 b 2 2ab cos C 4,