高中数学必修2知识点归纳

1、必修 2 学问点归纳 第一章 空间几何体 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简洁组合体 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球；简洁组合体的 构成形式：一种是由简洁几何体拼接而成,例如课本图1.1-11 中（ 1）（2）物体表示的几何体；一种是由简洁几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图 1.1-11 中（3）（4）物体表示的几何体；简洁组合体棱柱：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱；棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,1、空间几何体的三视图和直观图底面与截面之间的

2、部分, 这样的多面体叫做棱台；把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照耀下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的；（1）定义：正视图：光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面对右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面对下面正投影得到的投影图；几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图；（2）三视图中反应的长、宽、高的特点： “ 长对正” ,“ 高平齐” ,“ 宽相等”2、空间几何体的直观图 （表示空间图形的平面图） . 观看者站在某一点观看几何体, 画出的图形 . 3、斜二测画法的基本步骤：建立适

3、当直角坐标系 xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）建立斜坐标系 x O y ,使 x O y =450（或 1350）,留意它们确定的平面表示水平平面；画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X轴,且长度保持不 变；在已知图形平行于 Y轴的线段,在直观图中画成平行于 Y轴,且长度变为原先的一半；一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 S 原图2 2 S 直观4、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S 侧面2rlrllS侧2r.lBrAAB=2 r圆锥侧面积：S侧面rlAl图中：扇形的半径长为l,圆心角为 ,弧 AB的长圆台侧面积：S侧面 r l R lO

4、 1 rlhO 2RR O体积公式：dr O11V柱体 S h；V 锥体3 S h；d= R 2-r 21V 台体 h S 上 S 上 S 下 S 下3球的表面积和体积：S 球 4 R 2,V 球 4R 33 . 一般地,面积比等于相像比的平方,体积比等于相像比的立方；其次章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理 1：假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；ABlAl BllA,B公理 1 的作用：判定直线是否在平面内2、公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；C AB如 A,B,C不共线,就 A,B,C确定平面推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面A

5、l如Al ,就点 A和 l 确定平面推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面Aml如mnA ,就m n确定平面推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面 m n如mn ,就m n确定平面公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据；3、公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线；P LP,Pl且Pl公理 3 作用：（1）判定两个平面是否相交的依据； （ 2）证明点共线、线共点等；4、公理 4：也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.ab cbac公理 4 作用：证明两直线平行；5、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两

6、个角相等或互补；a1 b a a b b且 1 与 2 方向相同 12b a a 1a 2 2b b 方向相同就 方向相反就 a a b b且 1 与 2 方向相反 1 2 180 1 2 1+ 2 180 作用：该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等；6、线线位置关系：平行、相交、异面；ab,abA,ba b异面（1）没有任何公共点的两条直线平行aaA（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线A7、线面位置关系：aa1a2A3（1）直线在平面内,直线与平面有很多个公共点；a（2）直线和平面平行,直线与平面无任何公共点；a（3）直线与平面相交,直

7、线与平面有唯独一个公共点；8、面面位置关系：平行、相交；9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）ab/ba/a证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质： 假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行；aaabb平行线的传递性：ab c bac面面平行的性质：假如一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行；aabb垂直于同一平

8、面的两直线平行；aabb直线与平面平行的性质：假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行； （上面的）10、面面平行：（即两平面无任何公共点）（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；a , ba b Aa , b判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两平面平行a babAaa bba b（2）两平面平行的性质：性质：假如一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行；aabb性质：平行于同一平面的两平面平行；性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；A CCDACBDB DAB性

9、质：两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行；aa或aa11、线面垂直：定义：假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直；判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；lmAllnmnm n 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；aabbl性质：垂直于同始终线的两平面平行 l12、面面垂直：定义：两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,就这两个平面垂直；l l（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）性质：两个平面相互垂直,就一个平面内垂直于交线的

10、直线垂直于另一个平面；lmmll证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特殊是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（ “ 三垂” 指的是“ 线面垂”P如 图：PO OA 是 PA 在平面 上的射影斜 又直 线 a , 且 a OA A 影 O a线 即：线 影垂直 线 斜垂直,反之也成立；“ 线影垂” ,“ 线斜垂” ）a PA利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外仍有正方形、菱形对角线相互垂直等结论；空间角及空间距离的运算1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一

11、条上取一点,过该点作另一条直线平行线,如图：直线 a与b异面, b/b,直线 a与直线 b 的夹角为两异面直线 a 与 所成的角,异面直线所成角取值范畴是（0 ,90 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角；如图：PA是平面 的一条斜线, A 为斜足, O为垂足, OA叫斜线 PA在平面 上射影,PAO 为线面角；3. 二面角：从一条直线动身的两个半平面形成的图形,如图为二面角 l,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小；二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直如图：在二面角-l-中, O棱上一点,OA,OB,且 OA l OB l , 就 AOB 为二面角-

12、l-的平面角；用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：明确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直；（求空间角的三个步骤是“ 一找”、“ 二证” 、“ 三运算” ）4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度；如图 PQ 是两异面直线间的距离（异面直线的公垂线是唯独的,指与两异面直线垂直且相交的直线）5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的 射影的连线段的长度；如图： O为 P 在平面 上的射影,线段 OP的长度为点 P到平面 的距离 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成

13、是三棱锥的一个高；如图在三棱锥VABC中有：V SABCVA SBCV BSACV CSAB 第三章 直线与方程1. 直线方程的概念：一条直线 l 与一个二元一次方程 F x y , Ax By C 0 有如下两个对应：直线l上任意一点的坐标 , x y 都满意方程 F x y , Ax By C 0；以方程 F x y , Ax By C 0 的解为坐标的点 , x y 都在直线 l 上；就称方程 F x y , Ax By C 0 为直线l的方程,直线l为方程的直线；2. 直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与 x 轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角；3. 直线倾斜角的范畴：0 180

14、,当直线与 x 轴平行或者是重合时,倾斜角为 04. 直线斜率的定义：倾斜角不为 90 直线,倾斜角的正切值叫直线的斜率；记作 k tan 90 当倾斜角为90时直线的斜率不存在；5、直线l过点P x 1,y 1,P x2,y 2,就直线的斜率为：ky2y 1x 1x2xx 126、直线方程的表示形式：点斜式：yy0kxx0,kxb ,例如直线 l 过定点 0, 2 ,设当斜率不存在时,直线与x 轴垂直,倾斜角为90 ,此时直线方程为：xx ,如右图,特殊地y 轴所在直线方程为x0；当直线斜率k0时,直线与x轴平行或者是重合直线方程为：yy , x 轴所在的直线方程为y0；斜截式：ykxb（b

15、为直线在y轴上的截距）当直线过y轴上肯定点0, b 时,通常设直线方程为：yl:ykx2；xmya ,例如直线 l 过定点 2, 0 ,当直线过x轴上肯定点（a ,0）时,通常设直线方程为：设l:xmy2yy1xx 1两点式：y2y1x2x1截距式：xy1a0,b0,ab一般地,问题中显现两个截距时,通常设直线方程为xy1 a0,b0；Cab方程中a b 分别表示直线的横截距和纵截距,一般地,在直线方程中,令y0可求得横截距a,令x0可求得纵截距b一般式：AxByC02 AB20,全部直线方程都可化为一般式；当B0,直线的斜率kA,当B0时,直线斜率不存在,方程可化为xBA7、两直线的位置关系

16、的判定：当两直线倾斜角相等时,即|时,两直线平行；当两直线倾斜角满意|90 时,两直线垂直；当两直线倾斜角不相当时,两直线相交；对于直线l1:yk xb 1,l2:yk xb 有：k ；l1/ /l2k 1k21l和2l相交k1b 1b ；k 1k21. 1l和2l重合b 1b2；l 1l2k k2对于直线l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20有：A B ；l1/ /l2A B2A B 11l和2l相交A B2B CB C ；（2）2A B 2A B 1B B20. 1l和2l重合B C2B C ；l1l2A A28、交点与距离公式（1）两直线l1:A xB yC10,l2:A

17、xB yC20的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解,即：A xB yC10A xB yC20当有唯独解时,两直线相交；当无解时,两直线平行；当有很多个解时,两直线重合；（2）过两直线l1:A x 1CB y 1C10,l2:A x 2B y 2C20交点的直线系方程为：A xB y1A xB yC20将含有一个参数的直线方程化为直线系方程的样式就可解决直线恒过定点问题；（3）两点间距离公式：l:PP 12Bycx20 x12y2y12Ax02 ABy02C（4）点P x0,y 0到直线Ax距离公式：dB（5）两平行线间的距离公式：对于直线| C C |dl 1 : A x B y C 1 0

18、, l 2 : A x B y C 2 0,1l与 2l间的距离为：A Bx 1 x 2x2y 1 y 2（6）线段中点坐标公式：y2,A x y 1 , B x 2 , y 2 ,M x y 是线段 AB的中点；第四章 圆与方程1、圆的第肯定义：到定点的距离等于定长的点的集合 . P M x y , | MO | r 圆的其次定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合；2、圆的标准方程：xxa2Dxyb2r ,圆心为 , a b ,半径为 r ；3、圆的一般方程：2y2EyF0D2E24F0；D,Ery1D2E24F；2圆心为22,半径y2DxEyF0表示点D,E当D2E24F

19、0时,方程x222当D2E24 F0时,方程x22DxEyF0不表示任何图形；4、点P x,y与圆xa2yb2r 的位置关系的判定：（1）当P x0,y 0满意x 0a2y0b2r 时点 P在圆上；（2）当P x0,y 0满意x 0a2y0b2r 时点 P 在圆内；（3）当P x0,y 0满意x 0a2y0b2r 时点 P 在圆外；5、求圆方程的方法,主要有两种：（1）待定系数法：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：依据提设,挑选标准方程或一般方程；依据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程；（2）利用三角形外心的定义及其垂径

20、定理求圆心坐标；三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；垂径定理：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程；6、直线与圆的位置关系的判定：几何法（ 1）相切：圆心到直线的距离d r ；l:Ax+By+C=00（2）相交：圆心到直线的距离dr ；（3）相离：圆心到直线的距离dr ；l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0d r Ca,b |Ax0+By0+C|圆C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2d rCa,b |Ax0+

21、By0+C|圆C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2drd=|Ax0+By 0+C|Ca,bA2+B2圆 C:（x-a2+y-b2=r2 相离： dr相切： d=r相切： dr 1+r 2外切 :有一个公共点,相交 :有两个公共点,圆心距 |r 1-r2 | C1C2 r1+r 2圆心距 C 1C 2 r1+r 2C1r 1r2C 2C1r 1r2C 2C1r 1r 2C 2圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+D 1x+E1y+F 1=02+y 2+D 2x+E2y+F 2=0圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+D 1x+E 1y+F1=02+y 2+D 2x+E 2y+F

22、2=0圆 C1:x 2 +y 2 +D1x+E 1y+F 1=0圆 C2:x 2 +y 2 +D2x+E 2y+F 2=0 x2y2D xE yF 10代数法 ; 将两圆的方程组成方程组x2y2D xE yF 20（1）如方程有一个解,两圆相切（内切或外切）；（2）如方程有两个不同解,两圆相交；（3）如方程有无解,两圆外离或内含特殊地,方程x2x2y2yD xE yF 1F 1x2y2D xE yF0表示过两圆交点的圆系方程；02D xE y在这个方程组中x2y2D xE yF 20用消去平方项后得一个直线方程,该直线方程过两圆的交点,因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程；如圆心C 到

23、公共弦的距离等于半径1r,或者是圆心C 到公共弦的距离等于半径2r,就两圆相切（外切或者内切）；如圆心C 到公共弦的距离等于小于1r,或者是圆心C 到公共弦的距离小于半径2r,就两圆相交；8、坐标法是解决几何问题的重要方法,其步骤是：第一步： 建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题 转化为代数问题；其次步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“ 翻译” 成几何结论9、 空间直角坐标系 : 确定空间直角坐标系中点的坐标的学问要点 1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点 O 引三条相互垂直且有相同单位长度的数轴 Ox , Oy Oz,x 轴、y轴、 z 轴叫做坐标轴 . 通 这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O x